"518"> réponds que les principes de cette géométrie sont simples & clairs, & qu'ils doivent être préférés dès qu'ils fournissent le moyen de démontrer plus aisément. Voy. Infini & Différentiel. En effet, pourquoi ne mettra - t - on pas à la tête d'un traité des sections coniques des principes de calcul différentiel, lorsque ces principes simplifieront & abregeront les démonstrations? J'ose dire que l'opinion contraire ne seroit qu'un préjugé mal fondé. Il y a cent raisons pour la détruire, & pas une pour la soûtenir. Les principes de la géométrie de l'infini étant applicables à tout, on ne sauroit les donner trop tôt; & il est bien aisé de les expliquer nettement. On doit traiter le problème des tangentes d'une courbe par le calcul différentiel, celui de la quadrature & de sa rectification par le calcul intégral, & ainsi du reste, parce que ces méthodes sont les plus simples & les plus aisées à retenir. Voyez Elémens & Mathématiques.

La maniere dont nous venons de démontrer l'égalité des parallélogrammes circonscrits à l'ellipse, a donné occasion à M. Euler de chercher les courbes qui peuvent avoir une propriété semblable. Voyez les mém. de Berlin, année 1745.

Au lieu de considérer d'abord l'ellipse par rapport à ses axes, on peut la considérer, comme nous avons fait dans l'article Conique. par rapport à son équation envisagée de la maniere la plus générale. Cette équation, comme on le peut voir à l'article cité, se réduira toûjours à l'équation des diametres u u= m - n z z, en ne faisant même changer de position qu'une des coordonnées. Voyez Courbe, &c.

Le sphéroïde formé par une ellipse autour de son axe, est à la sphere qui a cet axe pour diametre, comme le quarré de l'axe est au quarré de son conjugué; c'est une suite du rapport des ordonnees correspondantes de l'ellipse & du cercle qui a le même axe. Voyez Sphéroïde; voyez aussi les articles Coeur (Géométrie) & Conoïde.

Nous avons dit ci - dessus & au mot Conique, comment on décrit l'ellipse par un mouvement continu; cette maniere de la décrire est la plus simple qu'on puisse employer sur le terrein, & même sur le papier: mais toutes les descriptions organiques de courbes sur le papier sont incommodes. Voyez Compas elliptique. La description par plusieurs points doit être préférée. Voyez Description & Courbe. On peut décrire l'ellipse par plusieurs points, en divisant en raison du petit axe au grand les ordonnées du cercle circonscrit. Voyez à la fin du II. livre des sections coniques de M. de l'Hopital, plusieurs autres méthodes très - simples de décrire l'ellipse par plusieurs points. Il y a des géometres qui enseignent à décrire l'ellipse sur le papier par un mouvement continu, suivant la méthode qui sera expliquée à l'article Ovale; mais cette méthode est fautive: ce n'est point une ellipse qu'on décrit, c'est un composé d'arcs de cercle qui forment une ovale à la vûe, & qui n'est pas même proprement une courbe géométrique. Aucune portion d'ellipse n'est un arc de cercle. La preuve en est, que le rayon de la développée de cette courbe n'est constant en aucun endroit. On peut le démontrer d'une infinité d'autres manieres. Voyez Développée & Osculateur.

On a déjà dit un mot de l'usage de l'ellipse dans l'Astronomie, & on a vû ci - dessus que z étant l'anomalie vraie, a la distance moyenne, & f l'excentricité (Voyez Anomalie & Excentricité), on a la distance r de la planete au [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; or supposant f très - petite par rapport à a, on peut aisément réduire en série cette valeur de r. Voyez Binome, Développement, & Série; de plus l'élément du secteur qui représente l'anomalie moyenne (Voyez Loi de Kepler & Anomalie) est proportionnel à d z [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; d'où il est aisé de conclure par les séries & le calcul intégral, que si Z est l'anomalie moyenne, on aura Z=z+2 f sin. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sin. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sin. 3 z, &c. & par la méthode du retour des suites (Voyez Suite & Retour), on aura z=Z - 2f sin. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sin. 2 [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sin. 3 [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. ainsi on a également la valeur de l'anomalie moyenne par la vraie, ou celle de la vraie par la moyenne, ce qui donne la solution du problème de Kepler développé au mot Anomalie. J'ai mis ici ces formules, afin que les Astronomes puissent s'en servir au besoin. Voyez Equation du centre.

Si l'ellipse est peu excentrique, & qu'une des lignes menées au foyer soit a+z, l'autre sera a - z, z étant une très - petite quantité; donc le produit a a<-> z z de ces deux lignes peut être regardé comme constant & égal à a a, à cause de la petitesse de z z. Or si des deux extrémités d'un arc infiniment petit d'ellipse on mene des lignes à chaque foyer, on trouvera, après avoir décrit de petits arcs du foyer comme centre & des rayons a+z, a - z, que ces petits arcs sont égaux; nommant donc a chacun de ces petits arcs, on trouvera que le secteur qui a a+z pour rayon, est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & que l'angle qui a a - z pour rayon, est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc le rapport du secteur à l'angle est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc il peut être censé constant, sur quoi voyez l'article suivant Ellipse de M. Cassini.

De ce que la somme des lignes menées aux foyers est constante, il s'ensuit, comme il est aisé de le voir, que menant deux lignes d'un même point aux deux foyers, la différentielle de l'une est égale à la différentielle de l'autre prise négativement. Or on conclura de - là très - aisément, & par la plus simple géométrie élémentaire, que les deux lignes dont il s'agit font des angles égaux avec la tangente qui passe par le point d'où elles partent. Donc un corps partant du foyer d'une ellipse & choquant la surface, sera renvoyé à l'autre foyer. Voyez Réflexion. De - là l'usage de cette propriété dans l'Acoustique & & dans l'Optique. Voyez Miroir, Echo, Cabinets secrets . Voilà encore une propriété de l'ellipse que le calcul différentiel, ou plûtôt le simple principe de ce calcul démontre très - élégamment & très - simplement. Si les deux foyers d'une ellipse s'éloignent jusqu'à arriver aux extrémités du grand axe, l'ellipse devient alors une ligne droite; & si un des foyers restant en place, l'autre s'en éloigne à l'infini, elle devient parabole. Voyez Parabole.

Ellipses à l'infini ou de tous les genres, ce sont celles qui sont désignées par les équations générales [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & que quelques - uns appellent elliptoides. Voyez Elliptoïde. Mais ces mots ou façons de parler sont peu en usage.

L'ellipse ordinaire est nommée ellipse apollonienne ou d'Apollonius, quand on la compare à celles - ci, ou qu'on veut l'en distinguer. V. Apollonien. (O)

Ellipse (Page 5:518)

Ellipse de M. Cassini, autrement nommée cassinoïde, est une courbe que feu M. Jean Dominique Cassini avoit imaginée pour expliquer les mouvemens des planetes; cette courbe a deux foyers F, f (fig. 24.), dont la propriété est telle que le produit F M X M f de deux lignes quelconques menées de ces foyers à un point quelconque M de la courbe, est toûjours égal à une quantité constante; au lieu que dans l'ellipse ordinaire ou d'Apollonius, c'est la somme de ces lignes, & non leur produit, qui est [p. 519] égale à une quantité constante. M. l'abbé de Gua dans ses usages de l'analyse de Descartes, a déterminé les principales propriétés de cette courbe. Il y examine les différentes figures qu'elle peut avoir, & dont nous avons rapporté quelques - unes à l'article Conjugué, & il conclud que cette courbe n'a pas été bien connue par ceux qui en ont parlé avant lui, si on en excepte cependant l'illustre M. Grégory. Voyez astron. physiq. & géométr. élément. page 33'. édit. de Geneve, 1726, ou les trans. phil. Sept. 1704.

Pour avoir une idée des propriétés de cette courbe, soit a son demi - axe, f la distance d'un des foyers au centre, x l'abscisse prise depuis le centre, y l'ordonnée, on aura, comme il est aisé de le prouver par le calcul [omission: formula; to see, consult fac-similé version], par la propriété de cette courbe, ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou enfin [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc, 1°. cette équation ne donnera jamais que deux valeurs réelles tout au plus pour y, l'une positive, l'autre négative, & égale à la positive; car les deux valeurs qu'on auroit en mettant le signe - devant [omission: formula; to see, consult fac-similé version] seroient imaginaires, puisque y seroit la racine d'une quantité négative. 2°. En supposant même le signe + devant cette derniere quantité, il est visible que la valeur de y ne sera réelle que quand [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à dire quand [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc si [omission: formula; to see, consult fac-similé version], l'ordonnée sera réelle, sinon elle sera imaginaire.

Donc si a a=2 f f, l'ordonnée sera nulle au centre, & la courbe aura la figure d'un 8 de chiffre ou lemniscate (Voyez Lemniscate); car on aura alors x x=ou>2 f f - a a, condition pour que l'ordonnée soit nulle ou réelle. Si 2 f f>a a, les ordonnées réelles ne commenceront qu'au point où [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & elles finiront au point où x=a; car (a a - f f)2 doit aussi être>ou=(x x - f f)2. Ainsi dans ce cas la courbe sera composée de deux courbes conjuguées & isolées, distantes l'une de l'autre de la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & si dans cette supposition on a de plus [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou s=a, la courbe se réduira à deux points conjugués uniques. Si f>a, la courbe sera totalement imaginaire. Enfin si 2 f f<a a, la courbe sera continue, & aura toutes ses ordonnées réelles, égales & de signe contraire, depuis x=0 jusque'à x=a.

Cette courbe que M. Cassini avoit voulu introduire dans l'Astronomie, n'est plus qu'une courbe purement géométrique & de simple curiosité, car on sait que les planetes décrivent des ellipses apolloniennes ou ordinaires. On demandera peut - être par quelle raison M. Cassini avoit substitué cette ellipse à celle de Kepler. Voici ma conjecture sur ce sujet. On sait que la plûpart des planetes décrivent des ellipses peu excentriques. On sait aussi, & on peut le conclure de l'article ellipse qui précede, que dans une ellipse peu excentrique les secteurs faits par les rayons vecteurs à un foyer sont proportionnels à très - peu - près aux angles correspondans faits à l'autre foyer; & c'est sur cette propriété que Ward ou Sethus Wardus a établi sa solution approchée du problème qui consiste à trouver l'anomalie vraie d'une planete, l'anomalie moyenne étant donnée. Voyez Ellipse & Anomalie. Voyez aussi les instit. astronomiq. de M. le Monnier, page 506, & suiv. Le rapport du secteur infiniment petit à l'angle correspondant, est comme le rectangle des deux lignes menées au foyer, & dans une ellipse peu excentrique, ce rectangle est à - peu - près constant: voilà le principe de Ward. Or M. Cas<cb-> sini paroît avoir raisonné ainsi: Puisque le rapport des secteurs élémentaires aux angles correspondans est comme ce réctangle, il sera constant dans une courbe où le rectangle seroit constant; il a en conséquence imaginé sa Cassinoïde.

Mais, 1°. quand la Cassinoïde auroit cette propriété de la proportionnalité des secteurs aux angles, ce ne seroit pas une raison pour l'introduire dans l'Astronomie à la place de l'ellipse conique que les planetes décrivent en effet; que gagne - t - on à simplifier un problème, lorsqu'on change l'état de la question? 2°. Si dans l'ellipse conique le rapport des secteuis aux angles est comme le rectangle des deux lignes menées aux soyers, c'est que la somme de ces deux lignes est constante (Voyez Ellipse); sans cela la proportion n'a plus lieu. Ainsi même dans l'ellipse cassinienne les secteurs ne sont pas conune les angles. J'ai crû cette remarque assez importante pour ne la pas negliger ici. (O)

ELLIPSE (Page 5:519)

ELLIPSE, nom que les Horlogers donnent à une piece adaptée sur la roue annuelle d'une pendule d'équation. Voyez la figure 41. Planche d'Horlogerie. C'est une grande plaque de laiton dont la courbure est irréguliere, mais ressemblant à - peu - près à celle d'une ellipse. Cette piece sert à faire avancer ou retarder l'aiguille des minutes du tems vrai selon l'équation du soleil. Voyez là - dessus l'article Pendule d'Equation, où l'on explique comment cela se fait, & de quelle maniere on donne à cette plaque la courbure requise. (T)

ELLIPSOIDE (Page 5:519)

ELLIPSOIDE, s. m. (Géom.) est le nom que quelques géometres ont donné au solide de révolution que forme l'ellipse en tournant autour de l'un ou de l'autre de ses axes. Voyez Sphéroïde & Conoïde. L'ellipsoïde est allongé, sil'ellipse tourne autour de son grand axe; & applati, si elle tourne autour de son petit axe. Voyez Allongé, Applati. L'ordonnée de l'ellipse génératrice est toûjours à l'ordonnée correspondante du cercle qui a pour diametre l'axe de révolution, comme l'autre axe est à l'axe de révolution: donc les cercles décrits par ces ordonnées (lesquels cercles forment les élémens de la sphere & de l'ellipsoïde) sont entr'eux comme le quarré de l'axe de révolution est au quarré de l'autre axe: donc la sphere est à l'ellipsoïde comme le quarré de l'axe de révolution est au quarré de l'autre axe. Voyez Axe, Conjugué, Cercle, Conoïde . (O)

ELLIPTICITE (Page 5:519)

ELLIPTICITE, s. f. (Géom.) Quelques géometres modernes ont donné ce nom à la fraction qui exprime le rapport de la différence des axes d'une ellipse, au grand ou au petit axe de cette ellipse. Plus cette fraction est grande, plus, pour ainsi dire, l'ellipse est ellipse, c'est - à - dire plus elle s'éloigne du cercle par l'inégalité de ses axes; ainsi on peut dire que le degré d'ellipticité d'une ellipse est représenté par cette fraction. Il seroit à souhaiter que cette expression fût adoptée; elle est commode, claire & précise. (O)

ELLIPTIQUE (Page 5:519)

ELLIPTIQUE, adjectif formé d'ellipse. Cette phrase est elliptique, c'est - à - dire qu'il y a quelque mot de sous - entendu dans cette phrase. La langue latine est presque toute elliptique, c'est - à - dire que les Latins faisoient un fréquent usage de l'ellipse; car comme on connoissoit le rapport des mots par les terminaisons, la terminaison d'un mot réveilloit aisément dans l'esprit le mot sous - entendu, qui étoit la seule cause de la terminaison du mot exprimé dans la phrase elliptique: au contraire notre langue ne fait pas un usage aussi fréquent de l'ellipse, parce que nos mots ne changent point de terminaison; nous ne pouvons en connoître le rapport que par leur place ou position, relativement au verbe qu'ils précedent ou qu'ils suivent, ou bien par les prépositions dont ils sont le complément. Le premier de ces deux cas

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