"516"> (fig. 21. n. 2.) de la maniere expliquée ci - dessus.

Ou en la définissant par une de ses propriétés supposée connue, c'est une ligne courbe dans laquelle le quarré de la demi - ordonnée P M (fig. 21.) est au rectangle des segmens A P, & B P de l'axe, comme le parametre est à l'axe; ainsi supposant A B=a, le parametre=b, P M=y, A P=x, on aura b:a:: y y: a x - x x, & par conséquent a y y=a b x - b x x.

Nous ne donnons point la démonstration de cette propriété, parce qu'elle se trouve par - tout. Nous avons exposé les différentes définitions qu'on peut donner de l'ellipse, & cette derniere propriété peut être regardée, si l'on veut, comme une des définitions qu'on peut en donner, auquel cas la démonstration en seroit superflue. Mais la meilleure maniere de traiter de l'ellipse & de toutes les sections coniques géométriquement, est de les considérer d'abord dans le cone, d'en déduire leur équation, & de les transporter de - là sur le plan, pour considérer plus facilement leurs propriétés, & pour trouver, si l'on veut, la maniere de les décrire par un mouvement continu, ou par plusieurs points. Ainsi des propriétés de l'ellipse transportée & considérée sur le plan, résulte la description de l'ellipse telle que nous l'avons donnée au mot Conique.

J'ai dit que la meilleure maniere de traiter géométriquement les sections coniques, & en particulier l'ellipse, étoit de les faire naître dans le cone; car si on veut les considérer algébriquement par la nature & les différences de leurs équations, la meilleure maniere est celle dont j'ai parlé au mot Conique. Voy. aussi les articles Courbe & Construction.

Si on prenoit les abscisses x au centre C, on trouveroit [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Quelquefois cette équation est plus commode que a y y=a b x - b x x.

De cette derniere équation il s'ensuit, 1°. que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à - dire que le quarré de la demi - ordonnée est égal au rectangle du parametre par l'abscisse, moins un autre rectangle formé par la même abscisse, & une quatrieme proportionnelle à l'axe, au parametre, & à l'abscisse.

2°. Le parametre, l'abscisse, & la demi - ordonnée d'une ellipse, étant donnés, on trouvera l'axe en faisant ces proportions [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Voyez Construction.

3°. L'abscisse A P, l'axe A B, & l'ordonnée P M, étant donnés, on trouve le parametre en faisant [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & construisant ensuite cette valeur de b suivant les regles expliquées au mot Construction.

4°. Si du grand axe A B comme diametre (figure 22.), on décrit un cercle A C B, & que par le foyer F on mene F C ordonnée à l'axe, F C sera la moitié du petit axe, & F D la moitié du parametre du grand axe. Car l'abscisse [omission: formula; to see, consult fac-similé version], p a étant le quarré du petit axe. V. Parametre & Foyer. Or [omission: formula; to see, consult fac-similé version], par la propriété du cercle; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] moitié du petit axe. Or C F2 est à D F2, comme la moitié du grand axe est au demi - parametre, c'est - à - dire comme le quarré de la moitié du petit axe est au quarré de la moitié du parametre; donc D F=la moitié du parametre. Le cercle qui a pour diametre le grand axe de l'ellipse, est appellé circonscrit à l'ellipse; le cercle qui a pour diametre le petit axe, est appellé cercle inscrit: en effet le premier de ces cercles est extérieur, le second intérieur à l'ellipse.

5°. Le parametre & l'axe A B étant donnés, on trouvera facilement l'axe conjugué, puisque c'est une moyenne proportionnelle entre l'axe & le parametre; à quoi il faut ajoûter que le quarré du demi - axe conjugué est égal au rectangle formé sur B f & f A (fig. 21.) ou sur A F & B F.

6°. Dans une ellipse quelconque, les quarrés des demi - ordonnées P M, p m, &c. sont entr'eux comme les rectangles formés sur les segmens de l'axe: d'où il s'ensuit que D C2: P M2:: C B2: A P X B P, & par conséquent D C2: B C2:: P M2: A P X B P; c'est - à - dire que le quarré du petit axe est au quarré du grand, comme le quarré de la demi - ordonnée est au rectangle formé sur les segmens de l'axe.

7°. La droite F D (fig. 24.) tirée du foyer F à l'extrémité du demi - axe conjugué, étant égale à la moitié de l'axe transverse A C, il s'ensuit que les axes conjugués étant donnés, on peut aisément déterminer les foyers. Pour cela on coupera le grand axe A B en deux parties égales en C, on élevera du point C la perpendiculaire C D égale au demi - axe conjugué; enfin du point D pris pour centre, & de l'intervalle C A, on décrira un arc de cercle, il déterminera les foyers F & f par ses intersections avec le grand axe.

8°. Comme la somme des deux droites FM & fM, tirées des deux points F & f, au même point de la circonférence M, est toûjours égale au grand axe A B, il s'ensuit de - là que les axes conjugués d'une ellipse étant donnés, on peut facilement décrire l'el lipse. Voyez Conique.

9°. Le rectangle formé sur les segmens de l'axe conjugué est au quarré de la demi - ordonnée, comme le quarré de l'axe conjugué est au quarré du grand axe; d'où il s'ensuit que les coordonnées à l'axe conjugué ont entr'elles un rapport analogue à celui qui regne entre les coordonnées au grand axe.

10°. Pour déterminer la soûtangente P T (figure 23.) & la soûnormale P R dans une ellipse quelconque, on fera: comme le premier axe est au parametre, ainsi la distance de la demi - ordonnée au centre est à la soûnormale. Voyez Soûnormale.

11°. Le rectangle sous les segmens de l'axe est égal au rectangle formé de la distance de la demi-ordonnée au centre & de la soûtangente. Voyez Soûtangente.

12°. Le rectangle fait de la soûtangente & de la distance de l'ordonnée au centre, est égal à la différence du quarré de cette distance & du quarré du demi - axe transverse.

13°. Dans toute ellipse le quarré de la demi - ordonnée à un diametre quelconque, est au quarré du demi - diametre conjugué, comme le rectangle fait sous les segmens du diametre est au quarré du diametre; & par conséquent le rapport des demi - ordonnée, des diametres est le même que celui des ordonnées des axes; le parametre d'un diametre quelconque est aussi une troisieme proportionnelle à ce diametre & à son conjugué.

Nous avons rapporté ces propriétés de l'ellipse la plûpart sans démonstration, pour deux raisons: la premiere, afin que le lecteur ait sous les yeux dans un assez petit espace les principales propriétés de l'ellipse, auxquelles il peut joindre celles dont on a déjà fait mention à l'article Conique. La seconde raison est de donner au lecteur l'occasion de s'exercer en cherchant la démonstration de ces propriétés. Toutes celles que nous venons d'énoncer se déduisent aisément de l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], selon qu'on prendra les abscisses au centre ou au sommet, pour démontrer plus simplement ces propriétés. Pour démontrer les propriétés des foyers, on nommera C F (fig. 21.) f; & on remarquera que si e est le second axe, on aura [p. 517] [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. En voilà plus qu'il n'en faut pour mettre le lecteur sur la voie. On peut remarquer ici en passant que le cercle est une espece d'ellipse dans laquelle les foyers coïncident avec le centre.

Pour trouver les tangentes de l'ellipse, rien n'est plus simple & plus commode que d'employer la méthode du calcul différentiel; on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc la soûtangente [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Voyez les articles Soûtangente & Tangente. A l'égard de la soûperpendicuculaire ou soûnormale, elle est [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. En voilà assez pour démontrer les propositions énoncées ci - dessus au sujet des tangentes de l'ellipse.

Nous avons déjà vû au mot Conique, & nous prouverons encore au mot Quadrature, que la quadrature de l'ellipse dépend de celle du cercle, puisque l'ellipse est au cercle circonscrit en raison du petit axe au grand. A l'égard de la rectification de l'ellipse, c'est un problème d'un genre supérieur à celui de la quadrature du cercle, ou du moins tout - à - fait indépendant de cette quadrature. Voyez Rectification; voyez aussi dans les mémoires que j'ai donnés à l'académie de Berlin pour l'année 1746, & dans le traité du calcul intégral de M. de Bougainville le jeune, les différentielles qui se rapportent à la rectification de l'ellipse.

Au lieu de rapporter l'ellipse à des coordonnées rectangles ou à des ordonnées paralleles, on peut considérer son équation par rapport à l'angle que font avec l'axe les lignes menées du foyer. Cette considération est utile dans l'Astronomie, parce que les planetes, comme l'on sait, décrivent des ellipses dont le soleil est le foyer. Or si on nomme a la moitié du grand axe d'une ellipse, f la distance du foyer au centre, q le cosinus de l'angle qu'une ligne menée du foyer à l'ellipse, fait avec l'axe, r la longueur de cette ligne; on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], si on rapporte l'équation au foyer le plus éloigné, & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], si on la rapporte au foyor le plus proche. De - là on peut tirer la solution de plusieurs problèmes astronomiques, comme de decrire une ellipse dans laquelle trois distances au foyer sont données, &c. Voyez les mémoires de l'académ. de Berlin pour l'année 1747, & plusieurs autres ouvrages d'Astronomie.

Mais la maniere la plus générale de considérer l'ellipse en Géométrie, est de la considérer par l'équation aux ordonnées paralleles. Nous allons entrer dans quelques considérations sur ce sujet, qui pourront être utiles aux commençans, peut - être même aux géometres plus avancés.

L'équation d'une ellipse rapportée aux axes, les coordonnées étant prises au centre, est y y=kg x x, k exprimant un quarré ou rectangle connu, & g un nombre constant & connu; cela résulte de ce qu'on a vû ci - dessus. Transformons les axes de cette courbe, de maniere qu'ils ne soient plus rectangles, si on veut, mais qu'ils ayent la même origine, & servons - nous pour cela des regles expliquées aux articles Courbe & Transformation, on verra qu'en supposant un des axes dans une position quelconque, il sera possible de donner une telle position à l'autre, que l'équation transformée soit de cette forme u u=m - n z z, m & n marquant aussi des constantes déterminées. En effet supposons que l'angle des premiers axes soit droit, que E soit l'angle du nouvel axe avec l'un des axes primitifs, & F l'angle que l'axe cherché fait avec l'axe conjugué à l'axe primitif; soit sinus E=e, cosinus [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on aura sinus [omission: formula; to see, consult fac-similé version], cosin. 90+E= - e; soit sinus F=f, & cosinus [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on trouvera [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Or sinus 90+E - F=sin. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] cosin. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Substituant ces valeurs, & chassant x & y, on aura une équation en z & en u, qui sera la transformée de l'équation y y=k - g x x; & supposant dans cette transformée que les termes où se trouve u z se détruisent, on aura la valeur de f en e convenable pour cela, & l'équation u u=mn z z. Cela posé,

Il est visible que pour chaque z, u a toûjours deux valeurs égales, l'une positive, l'autre négative; que lorsque [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on a u=0 dans chacune de ces deux valeurs, & qu'ainsi la tangente à l'extrémité d'un des deux axes est parallele à l'autre axe, & réciproquement; car la tangente est une ordonnée qui coupe la courbe en deux points coïncidens. Voyez Tangente & Courbe. On verra de plus que f=0 rend e=0; que f=1 rend e=1, 1 représentant le sinus total, que f= - 1 rend e= - 1, & qu'ainsi il n'y a que deux axes dans l'ellipse qui se coupent à angles droits; mais que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], r étant moindre que 1, donne deux valeurs de e aussi égales entr'elles, & qu'ainsi il y a toûjours deux diametres différens qui sont avec leur conjugué le même angle, si cet angle est moindre qu'un droit. On peut aussi déduire des valeurs de f en e, & de celles de m & n, que le rectangle des deux axes est égal au parallélogramme formé sur deux diamerres conjugués, & que le quarré des deux axes est égal au quarré des deux diametres. Mais ces propositions peuvent encore se démontrer de la maniere suivante, qui est bien plus simple.

Pour démontrer que les parallélogrammes formés autour des deux diametres conjugués sont égaux, imaginez un diametre infiniment proche d'un des conjugués, & ensuite imaginez le conjugué à ce diametre infiniment proche. Achevez les deux parallélogrammes, ou plûtôt le quart de ces parallélogrammes, vous verrez à l'instant, & pour ainsi dire à l'oeil, par le parallélisme des tangentes aux diametres conjugués, que ces deux parallélogrammes infiniment proches sont égaux; leur différence, s'il y en avoit, ne pouvant être qu'infiniment petite du second ordre par rapport à eux. Donc, &c.

Pour démontrer maintenant que la somme des quarrés des diametres conjugués est constante, conservez la même figure, appellez a un des demi - diametres, b son conjugué, a+d a, le demi - diametre infiniment proche de a, b - d b le demi - diametre conjugué; il faut donc prouver que a a+b b=a a+ 2 a d a+b b - 2 b a b (voyez Différentiel) ou que a d a=b d b. Or traçant du centre de l'ellipse & des rayons a, b, deux petits arcs de cercle x, z, on verra d'abord évidemment que les deux quarts d'ellipse renfermés entre les demi - diametres conjugués, sont égaux, & qu'ainsi a x=b z. Or x est à d a & z est à d b, comme le sinus de l'angle des diametres est au cosinus du même angle; donc x: d a:: z: d b; donc puisque a x=b z, on aura a d a=b d b.

On objectera peut - être que ces deux démonstrations sont tirées de la considération des quantités infiniment petites, c'est - à - dire d'une géométrie transcendante supérieure à celle des sections coniques. Je

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