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réponds que les principes de cette géométrie sont simples & clairs, & qu'ils doivent être préférés dès qu'ils fournissent le moyen de démontrer plus aisément. Voy. Infini & Différentiel. En effet, pourquoi ne mettra - t - on pas à la tête d'un traité des sections coniques des principes de calcul différentiel, lorsque ces principes simplifieront & abregeront les démonstrations? J'ose dire que l'opinion contraire ne seroit qu'un préjugé mal fondé. Il y a cent raisons pour la détruire, & pas une pour la soûtenir. Les principes de la géométrie de l'infini étant applicables à tout, on ne sauroit les donner trop tôt; & il est bien aisé de les expliquer nettement. On doit traiter le problème des tangentes d'une courbe par le calcul différentiel, celui de la quadrature & de sa rectification par le calcul intégral, & ainsi du reste, parce que ces méthodes sont les plus simples & les plus aisées à retenir. Voyez Elémens & Mathématiques.

La maniere dont nous venons de démontrer l'égalité des parallélogrammes circonscrits à l'ellipse, a donné occasion à M. Euler de chercher les courbes qui peuvent avoir une propriété semblable. Voyez les mém. de Berlin, année 1745.

Au lieu de considérer d'abord l'ellipse par rapport à ses axes, on peut la considérer, comme nous avons fait dans l'article Conique. par rapport à son équation envisagée de la maniere la plus générale. Cette équation, comme on le peut voir à l'article cité, se réduira toûjours à l'équation des diametres u u= m - n z z, en ne faisant même changer de position qu'une des coordonnées. Voyez Courbe, &c.

Le sphéroïde formé par une ellipse autour de son axe, est à la sphere qui a cet axe pour diametre, comme le quarré de l'axe est au quarré de son conjugué; c'est une suite du rapport des ordonnees correspondantes de l'ellipse & du cercle qui a le même axe. Voyez Sphéroïde; voyez aussi les articles Coeur (Géométrie) & Conoïde.

Nous avons dit ci - dessus & au mot Conique, comment on décrit l'ellipse par un mouvement continu; cette maniere de la décrire est la plus simple qu'on puisse employer sur le terrein, & même sur le papier: mais toutes les descriptions organiques de courbes sur le papier sont incommodes. Voyez Compas elliptique. La description par plusieurs points doit être préférée. Voyez Description & Courbe. On peut décrire l'ellipse par plusieurs points, en divisant en raison du petit axe au grand les ordonnées du cercle circonscrit. Voyez à la fin du II. livre des sections coniques de M. de l'Hopital, plusieurs autres méthodes très - simples de décrire l'ellipse par plusieurs points. Il y a des géometres qui enseignent à décrire l'ellipse sur le papier par un mouvement continu, suivant la méthode qui sera expliquée à l'article Ovale; mais cette méthode est fautive: ce n'est point une ellipse qu'on décrit, c'est un composé d'arcs de cercle qui forment une ovale à la vûe, & qui n'est pas même proprement une courbe géométrique. Aucune portion d'ellipse n'est un arc de cercle. La preuve en est, que le rayon de la développée de cette courbe n'est constant en aucun endroit. On peut le démontrer d'une infinité d'autres manieres. Voyez Développée & Osculateur.

On a déjà dit un mot de l'usage de l'ellipse dans l'Astronomie, & on a vû ci - dessus que z étant l'anomalie vraie, a la distance moyenne, & f l'excentricité (Voyez Anomalie & Excentricité), on a la distance r de la planete au [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; or supposant f très - petite par rapport à a, on peut aisément réduire en série cette valeur de r. Voyez Binome, Développement, & Série; de plus l'élément du secteur qui représente l'anomalie moyenne (Voyez Loi de Kepler & Anomalie) est proportionnel à d z [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; d'où il est aisé de conclure par les séries & le calcul intégral, que si Z est l'anomalie moyenne, on aura Z=z+2 f sin. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sin. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sin. 3 z, &c. & par la méthode du retour des suites (Voyez Suite & Retour), on aura z=Z - 2f sin. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sin. 2 [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sin. 3 [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. ainsi on a également la valeur de l'anomalie moyenne par la vraie, ou celle de la vraie par la moyenne, ce qui donne la solution du problème de Kepler développé au mot Anomalie. J'ai mis ici ces formules, afin que les Astronomes puissent s'en servir au besoin. Voyez Equation du centre.

Si l'ellipse est peu excentrique, & qu'une des lignes menées au foyer soit a+z, l'autre sera a - z, z étant une très - petite quantité; donc le produit a a<-> z z de ces deux lignes peut être regardé comme constant & égal à a a, à cause de la petitesse de z z. Or si des deux extrémités d'un arc infiniment petit d'ellipse on mene des lignes à chaque foyer, on trouvera, après avoir décrit de petits arcs du foyer comme centre & des rayons a+z, a - z, que ces petits arcs sont égaux; nommant donc a chacun de ces petits arcs, on trouvera que le secteur qui a a+z pour rayon, est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & que l'angle qui a a - z pour rayon, est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc le rapport du secteur à l'angle est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc il peut être censé constant, sur quoi voyez l'article suivant Ellipse de M. Cassini.

De ce que la somme des lignes menées aux foyers est constante, il s'ensuit, comme il est aisé de le voir, que menant deux lignes d'un même point aux deux foyers, la différentielle de l'une est égale à la différentielle de l'autre prise négativement. Or on conclura de - là très - aisément, & par la plus simple géométrie élémentaire, que les deux lignes dont il s'agit font des angles égaux avec la tangente qui passe par le point d'où elles partent. Donc un corps partant du foyer d'une ellipse & choquant la surface, sera renvoyé à l'autre foyer. Voyez Réflexion. De - là l'usage de cette propriété dans l'Acoustique & & dans l'Optique. Voyez Miroir, Echo, Cabinets secrets . Voilà encore une propriété de l'ellipse que le calcul différentiel, ou plûtôt le simple principe de ce calcul démontre très - élégamment & très - simplement. Si les deux foyers d'une ellipse s'éloignent jusqu'à arriver aux extrémités du grand axe, l'ellipse devient alors une ligne droite; & si un des foyers restant en place, l'autre s'en éloigne à l'infini, elle devient parabole. Voyez Parabole.

Ellipses à l'infini ou de tous les genres, ce sont celles qui sont désignées par les équations générales [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & que quelques - uns appellent elliptoides. Voyez Elliptoïde. Mais ces mots ou façons de parler sont peu en usage.

L'ellipse ordinaire est nommée ellipse apollonienne ou d'Apollonius, quand on la compare à celles - ci, ou qu'on veut l'en distinguer. V. Apollonien. (O)

Ellipse