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Si on tire la perpendiculaire P S à l'écliptique, la ligne droite R S, indique le lieu héliocentrique ou le lieu réduit à l'écliptique.
Le lieu geocentrique est ce point de l'écliptique,
auquel on rapporte une planete vue de la terre.
Voyez
Ainsi N E O R représentant l'écliptique, &c. T,
R donnera le lieu géocentrique. Sur le calcul du lieu
d'une planete, voyez
Lieu géometrique (Page 9:497)
Un lieu est une ligne dont chaque point peut également résoudre un problème indéterminé. S'il ne faut qu'une droite pour construire l'équation du probleme, le lieu s'appelle alors lieu à la ligne droite; s'il ne faut qu'un cercle, lieu au cercle; s'il ne faut qu'une parabole, lieu à la parabole; s'il ne faut qu'une ellipse, lieu à l'ellipse, & ainsi des autres, &c.
Les anciens nommoient lieux plans, les lieux des équations qui se reduisent à des droites ou à des cercles; & lieux solides ceux qui sont ou des paraboles, ou des hyperboles, ou des ellipses.
M. Wolf donne une autre définition des lieux, &
il les range en différens ordres, selon le nombre de
dimensions auxquelles la quantité indéterminée s'éleve
dans l'équation. Ainsi ce sera un lieu du premier
ordre, si l'équation est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; un lieu du second
ordre, si c'est y
Pour mieux concevoir la nature des lieux géométriques, supposons deux droites inconnues & variables
A P, P M (
Toutes les équations dont les lieux sont du premier
ordre peuvent se réduire à quelqu'une des quatre
formules suivantes: 1°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: 2°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: 3°.
[omission: formula; to see, consult fac-similé version]: 4°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version], dans lesquelles la quantité
inconnue y est supposée toûjours avoir été délivrée
de fractions, la traction qui multiplie l'autre
inconnue x est supposée réduite à cette expression
>; & tous les autres termes sont comme censés réduits
à celui + c. Le lieu de la premiere formule est
d'abord déterminé, puisqu'il est évident que c'est
une droite qui coupe l'axe dans son origine A, &
qui fait avec lui un angle tel que les deux inconnues
x, y soient toûjours entre elles comme a est à b. Or
supposant ce premier lieu connu, il faudra pour trouver
celui de la seconde formule [omission: formula; to see, consult fac-similé version], prendre
d'abord sur la ligne A P (
Il s'ensuit de là qu'il n'y a de lieu du premier degré que les seules lignes droites; ce qui peut se voir facilement, puisque toutes les équations possibles du premier degré se réduisent à l'une des formules précédentes.
Tous les lieux du second degré ne peuvent être que des sections coniques, savoir la parabole, l'ellipse ou le cercle, qui est une espece d'ellipse, & l'hyperbole, qui dans certains cas devient équilatere: si on suppose donc donnée une équation indéterminée, dont le lieu soit du second degré, & qu'on demande de décrire la section conique qui en est le lieu; il faudra commencer par considérer une parabole, une ellipse & une hyperbole quelconque, en la rapportant à des droites ou des coordonnées, telles que l'équation qui en exprimera la nature, se trouve être par là la plus composée & la plus générale qu'il soit possible. Ces équations les plus générales, ou ces formules des trois sections coniques & de leurs subdivisions étant découvertes, & en ayant examiné les caracteres, il sera aisé de conclure à laquelle d'entr'elles se rapportera l'équation proposée, c'est - à dire quelle section conique cette même équation aura pour lieu. Il ne s'agira plus après cela que de comparer tous les termes de l'équation proposée avec ceux de l'équation générale du lieu, auquel on aura trouvé que cette équation se rapporte, cela déterminera les coefficiens de cette équation générale, ou ce qui est la même chose, les droites qui doivent être données de proportion & de grandeur pour décrire le lieu; & ces coefficiens ou ces droites étant une fois déterminées, on décrira facilement le lieu, par les moyens que les traités des sections coniques fournissent.
Par exemple que A P, x, P M, y soient deux droites
inconnues & variables (
[omission: formula; to see, consult fac-similé version] car si d'un de ses points quelconques M on tire l'ordonnée P M, les triangles A B E, A P F, seront semblables, & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Mais par la nature de la parabole [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & cette derniere équation deviendra la formule générale elle - même, si on y substitue à la place des droites qui sont employées, leurs valeurs marquées ci - dessus.
Cette équation est la plus générale qui puisse appartenir à la parabole, puisqu'elle renferme 1°. le quarré de chacune des inconnues x, y; 2°. le produit x y de l'une par l'autre; 3°. les inconnues linéaires x, y, & un terme tout constant. Une équation du second degré, ou les indéterminées x, y, se trouvent mêlées, ne sauroit contenir un plus grand nombre de termes.
Par le point fixe A, tirez la droite indéfinie A Q,
(
Si on demande maintenant de décrire la parabole qui doit être le lieu de l'équation suivante, que nous supposerons donnée y y - 2 a y - b x + c c = o, comme y y se trouve ici sans fraction, de même que dans notre premiere formule, il vaudra mieux comparer la proposée avec cette premiere formule qu'avec l'autre; & d'abord puisque le rectangle x y ne se trouve point dans la proposée, ou qu'il peut y être censé multiplié par o, nous en conclurons que la fraction > doit être = o, & par conséquent aussi
Or les valeurs de m, n, r, p, s, ayant été ainsi
trouvées, on construira facilement le lieu cherché
par les moyens qui nous ont servi à la construction
de la formule & de la maniere suivante, comme
B E (n) est = o (
Voilà une idée de la méthode de construire les lieux des équations lorsqu'ils doivent être des sections coniques, ou ce qui est la même chose, lorsque les équations ne passent pas le second degré: car on doit sentir que les lieux à l'ellipse & à l'hyperbole, doivent se déterminer par une méthode semblable.
Mais une pareille équation étant donnée, aulieu de demander comme tout - à - l'heure, d'en construire le lieu, si on se contente de demander quelle doit être l'espece de la section conique qui en est le lieu, si c'est une parabole, une ellipse ou même un cercle, un hyperbole équilatere, ou non équilatere, il faudroit pour en juger commencer par faire passer d'un même côté tous les termes de l'équation, de façon qu'il restât zero de l'autre côté; & cela étant fait, il pourroit se présenter deux cas différens.
Premier cas; supposons que le rectangle x y, ne
se trouve point dans l'équation; alors 1°. s'il n'y a
qu'un des deux quarrés y y, ou x x, le lieu sera une
parabole. 2°. Si les deux quarrés s'y trouvent tout - à - la - fois & avec le même signe, le lieu sera une ellipse,
& en particulier un cercle, lorsque ni l'un ni
l'autre des deux quarrés n'aura de coefsicient, ou (si
on n'avoit point réduit l'un d'eux à n'en point avoir),
lorsqu'ils auront les mêmes coefficiens, & que de
plus l'angle des coordonnées sera droit. 3°. si les deux
quarrés x x, & y y se trouvent dans l'équation, &
avec des signes différens, le lieu sera une hyperbole
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