Un lieu est une ligne dont chaque point peut également résoudre un problème indéterminé. S'il ne faut qu'une droite pour construire l'équation du probleme, le lieu s'appelle alors lieu à la ligne droite; s'il ne faut qu'un cercle, lieu au cercle; s'il ne faut qu'une parabole, lieu à la parabole; s'il ne faut qu'une ellipse, lieu à l'ellipse, & ainsi des autres, &c.

Les anciens nommoient lieux plans, les lieux des équations qui se reduisent à des droites ou à des cercles; & lieux solides ceux qui sont ou des paraboles, ou des hyperboles, ou des ellipses.

M. Wolf donne une autre définition des lieux, & il les range en différens ordres, selon le nombre de dimensions auxquelles la quantité indéterminée s'éleve dans l'équation. Ainsi ce sera un lieu du premier ordre, si l'équation est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; un lieu du second ordre, si c'est y2 = a x, ou y2 = a2 - x2, &c. un lieu du troisieme, si on a pour équation y3 = a2 x, ou y3 = a x2 - x3... &c.

Pour mieux concevoir la nature des lieux géométriques, supposons deux droites inconnues & variables A P, P M (Pl. d'analyse, fig. 29, 30), qui fassent entre elles un angle donné quelconque. A P M, dont nous nommerons l'une, par exemple A P, qui a son origine fixe en A, & qui s'etend indéfiniment dans une direction donnée, x, & l'autre P M, qui change contmuellement de position & de grandeur, mais qui reste toujours parallele à elle - même, y. Supposons de plus une équation qui ne contrenne d'inconnues que ces deux quantités x, y, mêlées avec des quantités connues, & qui exprime le rapport de la variable A P, x, à la valeur de P M, ou de l'y correspondante; enfin imaginons qu'a l'extrémité de chaque valeur possible de x, on ait tracé en effet l'y correspondante que cette équation détermine; la ligne droite ou courbe qui passera par les extrémités de toutes les y ainsi tracées, ou par tous les points M, sera nommée en général lieu géométrique, & lieu de l'équation proposée en particulier.

Toutes les équations dont les lieux sont du premier ordre peuvent se réduire à quelqu'une des quatre formules suivantes: 1°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: 2°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: 3°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: 4°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version], dans lesquelles la quantité inconnue y est supposée toûjours avoir été délivrée de fractions, la traction qui multiplie l'autre inconnue x est supposée réduite à cette expression ; & tous les autres termes sont comme censés réduits à celui + c. Le lieu de la premiere formule est d'abord déterminé, puisqu'il est évident que c'est une droite qui coupe l'axe dans son origine A, & qui fait avec lui un angle tel que les deux inconnues x, y soient toûjours entre elles comme a est à b. Or supposant ce premier lieu connu, il faudra pour trouver celui de la seconde formule [omission: formula; to see, consult fac-similé version], prendre d'abord sur la ligne A P (fig. 31.), une partie A B = a, & tirer B E = b & A D = c paralleles à P M. Vous tirerez ensuite du même côté que A P & vers E la ligne A E d'une longueur indéfinie, & la ligne droite & indéfinie D M parallele à A E; je dis que la ligne D M est le lieu de l'équation, ou la formule que nous voulions construire. Car si par un point quelconque M de cette ligne, on tire M P parallele à A Q, les triangles A B E, A P F, seront semblables; ce qui donnera A B, a, B E, b :: AP, [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Si on fait c = o, c'est à - dire si les points D A tombent l'un sur l'autre, & D M sur A F, la ligne A F sera alors le lieu de l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Pour trouver le lieu de la troisicme formule, il faudra s'y prendre de cette sorte: vous ferez A B = a (fig. 32.) & vous tirerez les droites B E = b, A D = c paralleles à P M, l'une de l'un des côtés de A P, & l'autre de l'autre côté: par les points A, E, vous tirerez la droite A E, que vous prolongerez indésiniment vers E, & par le point D la ligne D M, parallele à A E, je dis que la droite indéfinie G M sera le lieu cherché. Car nous aurons toûjours P M (y) = P F, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Enfin pour trouver le lieu de la quatrieme formule, sur A P (fig. 33.), vous prendrez A B = a, & vous tirerez B E = b, & A D = c, l'une d'un des côtés de A P, & l'autre de l'autre côté. De plus, par les points A, E, vous tirerez A E, que vous prolongerez indéfiniment vers E, & par le point D la ligne D M parallele à A E, je dis que D G sera le lieu cherché. Car si par un de ses points quelconques M on tire la ligne M P parallele à A Q, on aura toûjours [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Il s'ensuit de là qu'il n'y a de lieu du premier degré que les seules lignes droites; ce qui peut se voir facilement, puisque toutes les équations possibles du premier degré se réduisent à l'une des formules précédentes.

Tous les lieux du second degré ne peuvent être que des sections coniques, savoir la parabole, l'ellipse ou le cercle, qui est une espece d'ellipse, & l'hyperbole, qui dans certains cas devient équilatere: si on suppose donc donnée une équation indéterminée, dont le lieu soit du second degré, & qu'on demande de décrire la section conique qui en est le lieu; il faudra commencer par considérer une parabole, une ellipse & une hyperbole quelconque, en la rapportant à des droites ou des coordonnées, telles que l'équation qui en exprimera la nature, se trouve être par là la plus composée & la plus générale qu'il soit possible. Ces équations les plus générales, ou ces formules des trois sections coniques & de leurs subdivisions étant découvertes, & en ayant examiné les caracteres, il sera aisé de conclure à laquelle d'entr'elles se rapportera l'équation proposée, c'est - à dire quelle section conique cette même équation aura pour lieu. Il ne s'agira plus après cela que de comparer tous les termes de l'équation proposée avec ceux de l'équation générale du lieu, auquel on aura trouvé que cette équation se rapporte, cela déterminera les coefficiens de cette équation générale, ou ce qui est la même chose, les droites qui doivent être données de proportion & de grandeur pour décrire le lieu; & ces coefficiens ou ces droites étant une fois déterminées, on décrira facilement le lieu, par les moyens que les traités des sections coniques fournissent.

Par exemple que A P, x, P M, y soient deux droites inconnues & variables (fig. 34); & que m, p, r, s, soient des droites données; sur la ligne A P, prenez la portion A B = m, & tirez B E = n, A D = r; & par le point A, tirez A E = e, & par le point D, la ligne indéfinie D G parallelle à A E;

Next page

The Project for American and French Research on the Treasury of the French Language (ARTFL) is a cooperative enterprise of Analyse et Traitement Informatique de la Langue Française (ATILF) of the Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), the Division of the Humanities, the Division of the Social Sciences, and Electronic Text Services (ETS) of the University of Chicago.