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La ligne droite D E menée par le sommet A de
l'hyperbole, parallelement à l'ordonnée, Mm (
Si l'on mene, par le sommet A d'une hyperbole,
une ligne droite D E, parallele aux ordonnées Mm,
& égale à l'axe conjugué, c'est - à - dire dont les
parties D A & D E soient égales au demi axe
conjugué, & qu'on tire du centre C par D & E
les lignes C F & C G, ces lignes seront les asymptotes
de l'hyperbole. Voyez
Le quarré double du triangle rectangle C I A,
c'est - à - dire, le quarré dont le côté seroit C I ou I A,
est appellé la puissance de l'hyperbole Voyez
Propriétés de l'hyperbole Dans l'hyperbole, les
quarrés des demi - ordonnées sont l'une à l'autre
comme les rectangles de l'abscisse, par une
ligne droite composée de l'abscisse & de l'axe
transverse; d'où il suit qu'à mesure que les abscisses
x augmentent, les rectangles ax + x
2°. Le quarré de l'axe conjugué, est au quarré
de l'axe tranverse, comme le parametre est au même
axe transverse; d'où il suit que, puisque b:a::PM
3°. Décrire une hyperbole par un mouvement continu:
plantez aux deux points F & Z (
4°. Si l'on prolonge la demi ordonnée P M
(
5°. Dans une hyperbole le rectangle de M R & de
M r est égal à la différence des quarrés P R
6°. Lorsque Q M est pararallele à l'asymptote C G,
le rectangle de Q M par C Q, est égal à la puissance
de l'hyperbole; d'où il suit 1°. qu'en faisant
C I = A I = a, C Q = x, & Q M = y, on aura
a
7°. Dans l'hyperbole, l'axe transverse est au parametre
comme la somme de la moitié de l'axe transverse
& de l'abscisse est à la sousnormale; & la somme
du demi - axe transverse & de l'abscisse, est à
l'abscisse, comme la somme de l'axe transverse entier
& de l'abscisse à la sous - tangente. Voyez
8°. Si l'on tire au dedans des asymptotes d'une hyperbole, & d'un de ses points m (
9°. Si l'on tire une ligne droite H K, de telle maniere qu'on voudra, entre les asymptotes d'une hyperbole, les segmens H E & m K compris de chaque côté entre l'hyperbole & ses asymptotes, seront égaux. Il suit de là, si E m = o, que la ligne droite H K sera tangente à l'hyperbole; par conséquent la tangente F D, comprise entre les asymptotes, est coupée en deux au point d'attouchement V. Enfin, le rectangle des segmens H m & m K paralleles à la tangente D F, est égal au quarré de la moitié de la tangente D V.
10°. Si par le centre C (
11°. Si l'on tire d'un point quelconque A & d'un
autre point quelconque de l'hyperbole M (
12°. Si l'on prend une des asymptotes, qu'on la
divise en parties égales, & que par chaque point de
toutes ces divisions qui forment autant d'abseisses
qui augmentent sans cesse également, on mene des
ordonnées à la courbe parallelement à l'autre asvmptote: les abscisses représenteront une suite infinie
de nombres naturels, & les espaces hyperboliques
ou asymptotiques correspondans, la suite des logarithmes
des mêmes nombres. Voyez
Il suit delà que différentes hyperboles donneront différentes suites de logarithmes aux mêmes nom<pb-> [p. 404]
Nous avons rapporté sans démonstration ces différentes
propriétés de l'hyperbole, par les raisons qui
ont été déjà dites au mot
Les hyperboles à l'infini, ou du plus haut genre,
sont celles qui sont exprimées par l'équation
a y
L'hyperbole du premier genre a deux asymptotes;
celles du second peuvent en avoir trois; celles du
troisieme, quatre, &c. Voyez
Nous avons vû ci - dessus que l'équation x y = a b,
ou x y = a a, marquoit l'hyperbole rapportée à ses
asymptotes. De même on peut en général prendre
l'équation x
Hyperbole (Page 8:404)
L'hyperbole est une figure de Rhétorique, qui selon Seneque, mene à la vérité par quelque chose de faux, d'outré, & affirme des choses incroyables, pour en persuader de croyables. L'hyperbole exprime au - delà de la vérité pour mener l'esprit à la mieux connoître.
Il y a des hyperboles qui consistent dans la seule
diction, comme quand on nomme géant un homme
de haute taille; pigmée, un petit homme; mais elles
sont souvent dans une pensée qui contient une ou
plusieurs périodes; & l'hyperbole de la pensée se
trouve également dans la diminution, comme dans
l'augmentation des choses qu'elle décrit, quoique
cette figure se plaise plus ordinairement dans l'excès
que dans le défaut. Le trait d'Agésilas à un homme
qui relevoit hyperboliquement de fort petites choses,
est remarquable; il lui dit
L'hyperbole n'a rien de vicieux pour être ultrà fidem, pourvû qu'elle ne soit pas ultrà modum, comme
L'on voit par cet exemple, que les belles hyperboles cachent ce qu'elles sont; & c'est ce qui leur arrive, quand je ne sais quoi de grand dans les circonstances, les arrache à celui qui les emploie; il faut donc qu'il paroisse, non que l'on ait amené les choses pour l'hyperbole, mais que l'hyperbole est née de la chose même. Les esprits vifs, pleins de feu, & que l'imagination emporte hors des regles & de la justesse, se laissent volontiers entraîner à l'hyperbole.
Cette figure appartient de droit aux passions véhémentes,
parce que les actions & les mouvemens
qui en résultent, servent d'excuse, & pour ainsi dire,
de remede à toutes les hardiesses de l'élocution. Cependant les hyperboles sont aussi permises dans le comique,
pour émouvoir le public à rire; c'est une
passion qu'on veut alors produire. On ne trouva
point mauvais à Athènes, ce trait de l'acteur, qui
dit, en parlant d'un fanfaron pauvre & plein de vanité:
Mais dans les choses sérieuses, il faut très - rarement employer l'hyperbole, & l'on doit d'ordinaire
la modifier quand on s'en sert; car je croirois assez
que c'est une figure défectueuse en elle - même, puisque
par sa nature elle va toujours au - delà de la vérité: cependant je pourrois citer quelques exemples
rares, où l'hyperbole sans aucune modification, frappe
noblement l'esprit. Un particulier ayant annoncé
dans Athènes la mort d'Aléxandre, l'orateur Démades s'écria,
Mais cette figure a encore plus de grace en poésie qu'en prose, quand elle est accompagnée d'un brillant coloris & d'images représentées dans un beau jour. C'est ainsi que Virgile nous peint hyperboliquement la légereté de Camille à la course.
Illa vel intactoe segetis per summa volaret Gramina, nec teneras cursu loesisset aristas, Vel mare per medium fluctu suspensa tumente Ferret iter, celeres nec tingeret oequore plantas.
C'est encore ainsi que Malherbe, pour peindre le tems heureux qu'il promet à Louis XIII. dans l'ode qu'il lui adresse, dit:
La terre en tous endroits produira toutes choses, Tous métaux seront or, toutes fleurs seront roses; Tous arbres oliviers. L'an n'aura plus d'hiver; le jour n'aura plus d'ombre; Et les perles sans nombre Germeront dans la Seine au milieu des graviers.
Il n'est pas besoin que j'entasse un plus grand nombre d'exemples, il vaut mieux que j'ajoûte une réflexion générale sur les hyperboles.
Il y en a que l'usage a rendu si communes, qu'on
en saisit la signification du premier coup, sans avoir
besoin de penser qu'il faut les prendre au rabais.
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