"265"> teur commun, & écrivez - le sous la différence des numérateurs.

(+) On voit par cette opération que lorsqu'il s'agit d'additionner & de soustraire des fractions, on peut les réduire à la même dénomination par la premiere regle générale, sans s'embarrasser si les dénominateurs ont un commun diviseur, ou non; il suffira de réduire à la plus simple expression la fraction unique qui sera le résultat de la derniere opération. En effet qu'on ait, par exemple, à ajoûter avec , on peut écrire indifféremment , après avoir réduit au même dénominateur par la seconde regle, ou en réduisant au même dénominateur par la premiere regle , en réduisant & divisant le haut & le bas par g.

XV. Multiplieation & division. Nommant premiere fraction celle qui représente le multiplicande ou le dividende, & seconde fraction celle qui représente le multiplicateur ou le diviseur, multipliez terme - à - terme la premiere fraction par la seconde, directe s'il s'agit de multiplication, & renversée s'il s'agit de division.

Le produit de.

Le quotient de.

Pour le démontrer, soit d'où ; & Il faut faire voir que & que .

Or, que dans le premier membre de ces deux dernieres égalités, au lieu de a & de c, on substitue leurs valeurs b p & d q, on aura .........

XVI. Si, pour la division on a préféré'e renversement de la fraction qui représente le diviseur à la pratique usitée de multiplier en croix, qui au fond est la même chose; c'est que la regle presentée sous ce point de vûe rend plus sensiblement raison d'une espece de paradoxe qui a coûtume de frapper les commençans. Il arrive souvent dans la multiplication des fractions que le produit est plus petit que le multiplicande, & au contraire dans leur division, que le quotient est plus grand que le dividende; & cela ne peut manquer d'arriver toutes les fois que la fraction qui représente le multiplicateur ou le diviseur est plus petite que l'unite; car alors son numérateur est plus petit que son dénominateur. Quand donc la fraction reste directe dans la multiplication, c'est le plus petit terme qui multiplie la premiere fraction, tandis que le plus grand la divise: cette premiere fraction doit donc être plus diminuée qu'augmentée, & devenir plus petite. Quand au contraire la fraction se renverse dans la division, c'est le plus grand terme qui multiplie la premiere fraction, tandis que le plus petit la divise; elle gagne donc plus qu'elle ne perd, & doit devenir plus grande.

XVII. Soit à diviser par , le quotient sera . Ce qui fait voir que quand le dividende & le diviseur ont un dénominateur commun, on peut négliger celui - ci, & prendre pour quotient des deux fractions celui même de leurs numérateurs.

(+) On peut voir au mot Division des remar<cb-> ques sur la division des fractions les unes par les autres, ou des entiers par des fractions; on y a expliqué très - clairement & à priori pourquoi un nombre quelconque divisé par une fraction, donne un quotient plus grand que iui. On a vû aussi au mot Exposant, comment la fraction se change en a - n.

(+) On a prouvé au mot Diviseur (voyez ce mot, & l'addition qu'on y a faite dans l'errata du cinquieme Volume), que si deux nombres a, b, n'ont aucun diviseur commun, & que deux autres nombres c, d, n'ayent aucun diviseur commun entr'eux, ni avec les deux premiers; alors dans le produit , a c & b d n'auront aucun diviseur commun. De - là il s'ensuit que si est une fraction réduite à ses moindres termes; & en général sera aussi une fraction réduite à ses moindres termes. Donc une fraction, soit pure, soit mixte, élevée à une puissance quelconque, donne toûjours une fraction; donc un nombre entier qui n'a point pour racine quarrée, cubique, &c. un nombre entier, ne sauroit avoir une fraction (même mixte) pour racine; donc la racine d'un tel nombre est incommensurable. Voyez Incommfnsurable.

XVII. C'est à la multiplication qu'on doit rappeller la réduction des fractions de fraction, & non à la division, comme au 1er coup - d'oeil on pourroit être tenté de le croire. Prendre en effet les de , n'est - ce pas, ce me semble, diviser par ? Non, c'est au contraire le multiplier, & l'on va en convenir. Si l'on n'avoit à prendre que le tiers de , il faudroit (n°. VII.) multiplier le dénominateur par 3 pour avoir ; mais c'est les deux tiers qu'il s'agit de prendre. Il faut donc doubler ce qu'on a trouvé, c'est - à - dire (ibidem.) multiplier le numérateur par 2. La seconde fraction reste donc directe dans l'opération, ce qui (n°. XV.) détermine celle - ci à être une multiplication. Donc de .

Il suit qu'ayant un nombre quelconque de fractions de fraction, pourvû que ce qui étoit numerateur reste numérateur, & que ce qui étoit dénominateur reste dénominateur, on peut d'ailleurs transposer entr'elles les fractions, & échanger leurs termes comme on voudra, sans que la valeur de la suite en soit altérée, puisque les deux termes de la fraction qui l'exprimera seront toûjours formés respectivement des mêmes facteurs. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

XIX. Elévation & extraction. Faites séparément sur les deux termes de la fraction celle des deux opérations qu'exige la circonstance, & elle se trouvera faite sur la fraction elle - même. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

(+) XX. Fractions décimales. On a trai cette matiere au mot Décimal, auquel nous renvoyons. Nous remarquerons seulement qu'au lieu du point dont nous avons parlé dans cet article, & qui sert à distinguer les parties décimales des entiers, quelques auteurs se servent d'une virgule; ce qui revient au même, & ce qui est quelquefois plus commode, lorsqu'il est à craindre que le point ne soit pris pour un signe de multiplication. D'autres ont employé une autre maniere, mais moins commode: par exemple, pour désigner 3.0206, c'est - à - dire quatre parties décimales, ou ce qui revient au mê<pb-> [p. 266] me, un dénominateur égal à l'unité suivi de quatre zéros, ils écrivent 30206''''; de même pour désigner 3.206, ils écrivent 3206''', & ainsi du reste.

XXI. Fractions sexagésimales. On nomme ainsi un ordre de fractions dont les dénominateurs sont les puissances successives de 60. On en peut imaginer de tant d'autres especes qu'on voudra; mais nous ne nous y arrêterons pas: outre que leur utilité est bornée à un objet particulier, leur calcul peut aisément se déduire par analogie de tout ce qui a précédé.

(+) Ces fractions, dont le calcul est peu d'usage, ont été imaginées par quelques arithméticiens à cause de la division du cercle en 360 degrés, = 6 x 60, du degré en 60 minutes, de la minute en 60 secondes, &c. Mais on eût beaucoup mieux fait d'employer la division décimale pour les parties du cercle, & en général pour toutes les divisions quelconques, comme on l'a déjà dit au mot Decimal.

XXII. Il est encore d'autres fractions d'un ordre transcendant, qu'on nomme continues; mais comme elles peuvent toûjours se résoudre en suites, nous les renvoyerons à cet article, celui - ci n'étant déjà que trop long. Voyez Suite. Cet article, à quelques additions près marquées d'une (+), est de M. Rallier des Ourmes.

Fraction rationnelle (Page 7:266)

Fraction rationnelle, est le nom que l'on donne à des fractions algébriques qui ne renferment point de radicaux, comme . M.Bernoulli a donné dans les mém. de l'acad. des Sciences de Paris pour l'année 1702, une méthode pour intégrer en général toutes les fractions différentielles rationnelles, comme , &c. dans lesquelles a, b, f, n, m, q, p, &c. sont des constantes quelconques; il démontre que ces fractions peuvent toûjours s'intégrer par logarithmes réels ou imaginaires, & que leur intégration peut se réduire par conséquent, ou à la quadrature de l'hyperbole, ou à celle du cercle. Cette méthode a été depuis extrèmement perfectionnée par plusieurs géometres; dans les journaux de Leipsick de 1718, 1719; dans les mémoires de l'académie de Petersbourg, t. VI. dans l'ouvrage de M. Cottes, intitulé harmonia mensurarum; dans l'ouvrage de dom Charles Walmesley, qui a pour titre, mesure des rapports; dans celui de M.Maclaurin, qui a pour titre, a treatise of fluxions, traité des fluxions, tome II. dans le traité de M. Moivre, inti tulé miscellanea analytica de seriebus & quadraturis, &c. On peut aussi voir plusieurs recherches nouvelles sur cette matiere dans une dissertation imprimée tome II. des mémoires françois de l'académie de Berlin, 1746. Cette dissertation a pour titre, Recherches sur le calcul intégral. J'y démontre, 1°. que toute quantité algébrique rationnelle m x ..... + t d'un degré quelconque, est réductible ou en facteurs simples, tels que x + a, ou en facteurs trinomes, tels que xx + b x + c, a, b, c, étant des quantités réelles. C'est ce que personne avant moi n'avoit démontré, & ce qui étoit nécessaire pour rendre complette la méthode d'intégrer les fractions rationnelles différentielles. On peut voir cette démonstration dans le traité du calcul intégral de M. de Bougainville, II. partie. 2°. J'y donne le moyen de réduire à des fractions rationnelles une grande quantité de différentielles qui renferment des radicaux. On peut aussi voir cette méthode dans l'ouvrage que je viens de citer, ainsi qu'une méthode particuliere pour intégrer les fractions rationnelles, & pour démontrer la méthode de M.Bernoulli; méthode que j'avois présentee à l'acadénde des Sciences en 1741, avant que d'avoir l'honneur d'y être reçu. Cet ouvrage de M.de Bougainville contient d'ailleurs le préeis de tout ce que les auteurs cités ont donné de meilleur sur cette branche importante du calcul intégral. Voyez Integral & Imaginaire. (O)

FRACTURE (Page 7:266)

FRACTURE, s. f. terme de Chirurgie, solution de continuité, ou division faite subitement dans les os, par la violence de quelque cause extérieure contondante. On appelle plaies de l'os, les divisions qui y sont faites par instrument tranchant.

Les fractures sont transversales, obliques, ou longitudinales. Les praticiens n'admettent point la fracture simple de l'os, suivant sa longueur; parce qu'il n'y a aucun coup capable de fendre l'os en long, qui ne puisse le rompre de - travers avec bien plus de facilité. On trouve néanmoins, à la suite des plaies d'armes à feu, les os fendus suivant leur longueur, jusque dans les articulations: mais ces exemples ne prouvent point la possibilité de la fracture longitudinale simple.

Presque toutes les fractures ont des figures differentes. Les fractures en - travers sont avec des inégalités: ou bien les os sont cassés net, comme une rave: quelquefois un des bouts de l'os cassé est seulement éclaté, & forme une espece de bec qui ressemble à celui d'une flûte. Les fractures obliques sont de deux sortes: les unes sont obliques dans toute leur étendue; & d'autres sont transversales pendant quelques lignes, & obliques dans le reste de leur étendue. Il y a des fractures dans lesquelles les os sont brisés en plusieurs éclats; il n'est pas possible de rien déterminer sur leurs figures, qui peuvent être variées à l'infini.

Les fractures different entre elles par l'éloignement des pieces fracturées: l'écartement est plus considérable dans les unes que dans les autres; & il y en a sans déplacement. Les os peuvent être dép acés suivant leur longueur, quand les bouts chevauchent les uns sur les autres; ou bien ils sont déplacés suivant leur épaisseur: il arrive même souvent, dans le dérangement transversal, que les bouts sont portés en sens contraire, sans cesser de se toucher par quelques points des surfaces de la fracture.

Par rapport aux accidens, les fractures sont divisées en simples, en composées, & en compliquées. La fracture est simple, lorsqu'il n'y a qu'un seul os de rompu, sans autre accident contraire à l'indication curative générale, qui consiste dans la réunion des parties divisées. La fracture est composée, lorsqu'il y a en même tems deux ou trois os de cassés dans la partie, sans cependant qu'il y ait d'accidens. La fracture compliquée est celle qui est accompagnée de maladies ou d'accidens qui multiplient les indications, & demandent qu'on employe différens remedes, ou qu'on fasse des opérations différentes pour parvenir à leur guérison: comme sont les luxations, les plaies, les apostèmes accompagnés de fievre, de douleur, de convulsion, &c. Parmi ces accidens, il v en a qui exigent des secours plus prompts que la fracture. Si la plaie qui complique une fracture l'étoit elle - même d'hémorrhagie, il faudroit commencer par arrêter le sang, dont l'effusion forme l'accident le plus pressant. Quand il se rencontre en même tems fracture & luxation, celle - ci doit être réduite la pre miere; à - moins que la fracture voisine de l'articulation, un gonflement considérable, ou autres circonstances ne le permettent pas. Pour peu qu'il y ait d'inconvéniens à réduire préliminairement la luxation, on donnera les premiers soins à la fracture: car on peut réussir dans la réduction d'une luxation ancienne. Voyez Luxation.

On distingue encore les fractures en complettes & en incomplettes. La fracture est complette, lorsque l'os est enserement casse; & incomplette, lorsque sa continuité est conservés en partie, au moyen de

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