ASYMPTOTE

Mais cette définition générale de l'asymptote n'est pas exacte, car elle peut être appliquée à des lignes qui ne sont pas des asymptotes. Soit (fig. 20. n°. 2. sect. con.) l'hyperbole KSL; son axe CM; son axe conjugué AB. On sait que si du centre C, on mene les droites indéfinies CD, CE, paralleles aux lignes BS, AS, tirées du sommet S de l'hyperbole, aux extrémités de son axe conjugué: ces lignes CD, CE, seront les asymptotes de l'hyperbole KSL.

Soient tirées les paralleles fg, hi, &c. à l'asymptote CD; il est évident que ces paralleles indéfiniment prolongées, vont en s'approchant continuellement de l'hyperbole qu'elles ne rencontreront jamais. La défin tion précédente de l'asymptote convient donc à ces lignes; elle n'est donc pas exacte.

Qu'est - ce donc qu'une asymptote en général? C'est une ligne, qui étant indéfiniment prolongée s'approche continuellement d'une autre ligne aussi indéfiniment prolongée, de maniere que sa distance à cette ligne ne devient jamais zéro absolu, mais peut toûjours être trouvée plus petite qu'auune grandeur donnée.

Soit tirée la ligne Nopq perpendiculairement à l'asymptote CD, & à ses paralleles fg, hi &c. il est évident que l'asymptote CD peut approcher de l'hyperbele, plus près que d'aucune grandeur donnée; car la propriété de l'asymptote CD consiste en ce que le produit de Cp par pq est toûjours constant; d'où il s'ensuit que Cp augmentant à l'infini, pq diminue aussi à l'infini: mais la distance des paralleles fg, hi à cette courbe sera toûjours au moins de np, de op, &c. & par conséquent ne sera pas plus petite qu'aucune grandeur donnée. Voyez Hyperbole.

Le mot asymptote est composé de A' privatif, de SUN, avec, & de P.PW, je tombe; c'est - à - dire, qui n'est pas co - incident, ou qui ne rencontre point. Quelques auteurs Latins ont nommé les asymptotes, lineoe intactoe.

Certains Géometres distinguent plusieurs especes d'asymptotes; il y en a, selon ces auteurs, de droites, de courbes, &c. Ils distribuent les courbes en concaves, convexes, &c. & ils proposent un instrument pour les tracer toutes: le mot d'asymptote tout court ne désigne qu'une asymptote droite.

L'asymptote se définit encore plus exactement une ligne droite, qui étant indéfiniment prolongée, s'approche continuellement d'une courbe, ou d'une portion de courbe aussi prolongée indéfiniment, de maniere que sa distance à cette courbe ou portion de courbe ne devient jamais zéro absolu, mais peut toûjours être trouvée plus petite qu'aucune grandeur donnée.

Je dis 1°. d'une courbe ou d'une portion de courbe, asin que la définition convienne, tant aux courbes serpentantes qu'aux autres.

Car la ligne fgh, (fig. 20. n°. 3.) ne peut être considérée comme l'asymptote de la courbe serpen<cb-> tante mnoprs, que quand cette courbe a pris un cours réglé relativement à elle; c'est - à - dire un cours, par lequel elle a été toûjours en s'en approchant.

Je dis 2°. que la distance de l'asymptote à la courbe peut toûjours être trouvée moindre qu'aucune grandeur donnée; car sans cette condition, la définition conviendroit à l'asymptote, & à ses paralleles. Or une définition ne doit convenir qu'à la chose définie.

On dit quelquefois que deux courbes sont asymptotes l'une à l'autre, lorsqu'indéfiniment prolongées elles vont en s'approchant continuellement, sans pouvoir jamais se rencontrer. Ainsi deux paraboles de même parametre, qui ont pour axe une même ligne droite, sont asymptotes l'une à l'autre.

Entre les courbes du second degré, c'est - à - dire entre les sections coniques, il n'y a que l'hyperbole qui ait des asymptotes.

Toutes les courbes du troisieme ordre ont toûjours quelques branches infinies, mais ces branches infinies n'ont pas toûjours des asymptotes; témoins les paraboles cubiques, & celles que M. Newton a nommées paraboles divergentes du troisieme ordre. Quant aux courbes du quatrieme, il y en a une infinité, qui non - seulement n'ont pas quatre asymptotes, mais qui n'en ont point du tout, & qui n'ont pas même dé branches infinies, comme l'ellipse de M. Cassini. Voyez Courbe, Branche, Ellipse , &c.

La Conchoïde, la Cissoide, & la Logarithmique qu'on ne met point au nombre des courbes géométriques ont chacune une asymptote. Voyez Courbe.

L'asymptote de la conchoïde est très - propre pour donner des notions claires de la nature des asymptotes en général. Soit (Planch. de l'Analys. fig. premiere) MMAM une portion de conchoïde, C le pole de cette courbe, & BR une ligne droite au - delà de laquelle les parties QM, EA, QM, &c. des droites tirées du pole C, sont toutes égales entr'elles. Cela posé, la droite BR sera l'asymptote de la courbe. Car la perpendiculaire MI étant plus courte que MO & MR plus courte que MQ, &c. il s'ensuit que la droite BD va en s'approchant continuellement de la courbe MMAM; desorte que la distance MR va toûjours en diminuant, & peut être aussi petite qu'on voudra, sans cependant être jamais absolument nulle. Voyez Divisibilité, Infini, &c. Voyez aussi Conchoide.

On trace de la maniere suivante les asymptotes de l'hyperbole. Soit (Planch. des sect. coniq. fig. 20) une droite DE tirée par le sommet A de l'hyperbole, parallele aux ordonnées Mm, & égale à l'axe conjugué de; en sorte que la partie AE soit égale à la moitié de cet axe, & l'autre partie DA égale à l'autre moitié. Les deux lignes tirées du centre C de l'hyperbole par les points D & E, savoir CF & CG, seront les asymptotes de cette courbe.

Il résulte de tout ce que nousavons dit jusqu'ici, qu'une courbe peut avoir dans certains cas pour asymptote une droite, & dans d'autres cas une courbe. Toutes les courbes qui ont des branches infinies, ont toûjours l'une ou l'autre de ces asymptotes; & quelquefois toutes les deux; l'asymptote est droite, quand la branche infinie est hyperbolique; l'asymptote est courbe, lorsque la branche infinie est paraboiique, & alors l'asymptote courbe est une parabole d'un degré plus ou moins élevé. Ainsi la théorie des asymptotes des courbes dépend de celle de leurs branches infinies. Voyez Branche.

Une courbe géométrique ne peut avoir plus d'asymptotes droites qu'il n'y a d'unités dans l'exposant de son ordre. Voyez Stirling, Enum. lin. 3i. ord. prop. VI. cor. 7. & l'Introduction à l'analyse des Lignes courbes, par M. Cramer, p. 344. art. 147. Ce dernier ouvrage contient une excellente théorie des asymp -

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