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totes des courbes géométriques & de leurs branches, chap. viii.

Si l'hyperbole GMR, fig. 12. est une des courbes dont la nature exprimée par l'équation aux asymptotes soit renfermée dans l'équation générale xm yn =am+n; tirez la droite PM, partout où vous voudrez, parallele à l'asymptote CS; achevez le parallélogramme PCOM. Ce parallélogramme sera à l'espace hyperbolique PMGB, terminé par la ligne PM, par l'hyperbole indéfiniment continuée vers G, & par la partie PB de l'asymptote indéfiniment prolongée du même côté, comme m - n est à n. Ainsi lorsque m sera plus grand que n, l'espace hyperbolique sera quarrable. Si m=n, comme dans l'hyperbole ordinaire, le parallélogramme PCOM sera à l'espace hyperbolique comme zéro est à 1. c'est - à - dire, que cet espace sera infini relativement au parallélogramme, & par conséquent non quarrable. Enfin fi m est moindre que n, le parallélogramme sera à l'espace hyperbolique comme un nombre négatif à un nombre positif, l'espace PMGB sera infini, & l'espace MPCE sera quarrable. Voyez la fin du cinquieme livre des sections coniques de M. le marquis de l'Hôpital. Voyez aussi un mémoire de M. Varignon imprimé en 1705. parmi ceux de l'Académie Royale des Sciences, & qui a pour titre Réflexions sur les espaces plus qu'infinis de M. Wallis. Ce dernier Géometre prétendoit que l'espace MPGB, étant au parallélogramme comme un nombre positif à un nombre négatif, l'espace MPGB étoit plus qu'infini. M. Varignon censure cette expression, qui n'est pas sans doute trop exacte. Ce qu'on peut assûrer avec certitude, c'est que l'espace PMGB est un espace plus grand qu'aucun espace fini, & par conséquent qu'il est infini.

Pour le prouver, & pour rendre la démonstration plus simple, faisons a=1, & nous aurons l'équation xmyn=1 ou y=x - m/n. (Voyez Exposant.) Donc ydx, élément de l'aire PMGB=x - m/n dx, dont l'intégrale (Voyez Intégral) est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; pour compléter cette intégrale, il faut qu'elle soit =o lorsque x=o; d'où il s'ensuit que l'intégrale complete est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc 1°. Si m < n, on a 1 - m/n égal à une quantité positive. Ainsi l'intégrale se réduit à [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui représente l'espace ECPM, d'où l'on voit que cet espace est fini tant que x est fini, & que quand x devient infini, l'espace devient infini aussi. Donc l'espace total renfermé par la courbe & ses deux asymptotes, est infini; & comme l'espace ECPM est fini, il s'ensuit que l'espace restant PMGB est infini.

Il n'y a que l'hyperbole ordinaire où les espaces PMGB, ECPM, soient tous deux infinis; dans toutes les autres hyperboles l'un des espaces est infini, & l'autre fini; l'espace infini est PMGB dans le cas de m < n, & dans le cas de m > n c'est PMCE. Mais il faut observer de plus que dans le cas de m < n, l'espace infini PMGB est plus grand en quelque maniere que celui de l'hyperbole ordinaire, quoique l'un & l'autre espace soient tous deux infinis; c'est - là sans doute ce qui a donné lieu au terme plus qu'infini de M. Wallis. Pour éclaircir cette question, supposons CP=1 & PM=1, & imaginons par le point M une hyperbole équilatere entre les deux asymptotes CB, CE, que je suppose faire ici un angle droit; ensuite par le même point M décrivons une hyperbole, dont l'équation soit xmyn=1, m étant < n, il est visible que dans l'hyperbole ordinaire y=x - 1, & que dans celle - ci y=x - m/n; d'où l'on voit que x étant plus grand que 1, c'est - à - dire que CP, l'ordonnée correspondante de l'hyperbole ordinaire, sera plus petite que celle de l'atre hyperbole. En effet, si x est plus grand que 1, & que m/n soit < 1, il s'ensuit que x - m/n sera > x - 1, puisque m étant < n, on a xn > xm, lorsque x est plus grand que 1. D'où il s'ensuit que x > x m/n & 1/x ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou x - m/n. Donc l'espace PMGB de l'hyperbole représentée par xmyn=1, renfermera l'espace de l'hyperbole ordinaire représentée par l'équation xy=1, & ayant la même ordonnée PM. Ainsi, quoique ce dernier espace soit infini, on peut dire que l'autre, qui est infini à plus forte raison, est en quelque maniere un infini plus grand. Voyez à l'article Infini, la notion claire & nette que l'on doit se former de ces prétendus infinis plus grands que d'autres.

Soit MS, sig. 33. une logarithmique, PR son asymptote, PT sa soûtangente, & PM une de ses ordonnées. L'espace indéterminé RPMS sera égal à PM x PT; & le solide engendré par la révolution de la courbe autour de son asymptote VP, sera égal à la moitié du cylindre, qui auroit pour hauteur une ligne égale à la soûtangente, & pour demi - diametre de sa base, une ligne égale à l'ordonnée QV. Voyez Logarithmique.

ASYMPTOTIQUE