Page 9:498

sur D G, prenez D C = s, & prenant C G pour diametre, les ordonnées paralleles a P M, & la ligne C H = p pour parametre, décrivez la parabole C M, & elle sera le lieu de la formule générale suivante.

[omission: formula; to see, consult fac-similé version] car si d'un de ses points quelconques M on tire l'ordonnée P M, les triangles A B E, A P F, seront semblables, & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Mais par la nature de la parabole [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & cette derniere équation deviendra la formule générale elle - même, si on y substitue à la place des droites qui sont employées, leurs valeurs marquées ci - dessus.

Cette équation est la plus générale qui puisse appartenir à la parabole, puisqu'elle renferme 1°. le quarré de chacune des inconnues x, y; 2°. le produit x y de l'une par l'autre; 3°. les inconnues linéaires x, y, & un terme tout constant. Une équation du second degré, ou les indéterminées x, y, se trouvent mêlées, ne sauroit contenir un plus grand nombre de termes.

Par le point fixe A, tirez la droite indéfinie A Q, (fig. 35) parallele à P M; prenez A B = m, tirez B E = n parallele à A P, & par les points déterminés A E, la droite A E = e; sur A P, prenez A D = r, tirez la droite indéfinie D G, parallele à A E, & prenez la portion D C = s. Enfin prenant pour diametre C G, & supposant les ordonnées paralleles à A P, & pour parametre la ligne C H = p, décrivez une parabole C M; cette parabole seroit le lieu de cette seconde équation ou formule. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] car si d'un point quelconque M on tire la droite M Q parallele à A P, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & ainsi par la propriété de la parabole, vous trouverez encore la seconde des équations générales ou des formules précédentes; & vous vous y prendrez de la même sorte, pour trouver les équations générales ou les formules des autres sections coniques.

Si on demande maintenant de décrire la parabole qui doit être le lieu de l'équation suivante, que nous supposerons donnée y y - 2 a y - b x + c c = o, comme y y se trouve ici sans fraction, de même que dans notre premiere formule, il vaudra mieux comparer la proposée avec cette premiere formule qu'avec l'autre; & d'abord puisque le rectangle x y ne se trouve point dans la proposée, ou qu'il peut y être censé multiplié par o, nous en conclurons que la fraction doit être = o, & par conséquent aussi qu'on doit avoir n, ou B E = o; de sorte que les points B, E, doivent être co - incidens, ou que la droite A E doit tomber sur A B & lui être égale, c'est - à - dire que m = e: détruisant donc dans la formule tous les termes affectés de ou de n, & substituant par - tout m à la place de e, elle se changera en y y - 2 r y - p x + r r + p s = o, & comparant encore les termes correspondans - 2 r y, & - 2 ay, - p x & - b x, enfin r r + p s, & c c, nous aurons r = a, p = b, & en substituant ces valeurs dans la derniere équation de comparaison, a a + b s = c c, ou bien [omission: formula; to see, consult fac-similé version], qui par conséquent sera une quantité négative, si a est plus grand que c, comme nous le supposons ici. Il ne serviroit de rien de comparer les deux premiers termes, parce qu'étant les mêmes des deux côtés, savoir y y, cette comparaison ne pourroit rien faire découvrir.

Or les valeurs de m, n, r, p, s, ayant été ainsi trouvées, on construira facilement le lieu cherché par les moyens qui nous ont servi à la construction de la formule & de la maniere suivante, comme B E (n) est = o (fig. 36.) & que les points B, E, coincident, ou que A E tombe sur A P, il faudra par cette raison tirer du point A la droite A D (r) parallele à P M & = a, & la droite D G parallele à A P, dans laquelle vous marquerez la droite D C [omission: formula; to see, consult fac-similé version], laquelle doit être prise au - delà de l'origine, dans un sens opposé à D G ou A P, parce que la fraction est négative par la supposition. Ensuite regardant D C comme diametre, prenant des ordonnées paralleles à P M, & la droite C H (p) = b pour parametre; vous décrirez une parabole, je dis qu'elle sera le lieu de l'équation donnée, & il est en esset aisé de le prouver. Si c'eût été le quarré x x qui se fût trouvé tout - d'un - coup sans fraction dans la proposée, il auroit été alors plus naturel de se servir de la seconde formule. On voit au reste qu'au moyen d'une division fort facile, on peut délivrer des fractions tel des deux quarrés qu'on voudra; & il faudroit commencer par cette division, si l'on voyoit que la comparaison des termes en dût devenir plus simple.

Voilà une idée de la méthode de construire les lieux des équations lorsqu'ils doivent être des sections coniques, ou ce qui est la même chose, lorsque les équations ne passent pas le second degré: car on doit sentir que les lieux à l'ellipse & à l'hyperbole, doivent se déterminer par une méthode semblable.

Mais une pareille équation étant donnée, aulieu de demander comme tout - à - l'heure, d'en construire le lieu, si on se contente de demander quelle doit être l'espece de la section conique qui en est le lieu, si c'est une parabole, une ellipse ou même un cercle, un hyperbole équilatere, ou non équilatere, il faudroit pour en juger commencer par faire passer d'un même côté tous les termes de l'équation, de façon qu'il restât zero de l'autre côté; & cela étant fait, il pourroit se présenter deux cas différens.

Premier cas; supposons que le rectangle x y, ne se trouve point dans l'équation; alors 1°. s'il n'y a qu'un des deux quarrés y y, ou x x, le lieu sera une parabole. 2°. Si les deux quarrés s'y trouvent tout - à - la - fois & avec le même signe, le lieu sera une ellipse, & en particulier un cercle, lorsque ni l'un ni l'autre des deux quarrés n'aura de coefsicient, ou (si on n'avoit point réduit l'un d'eux à n'en point avoir), lorsqu'ils auront les mêmes coefficiens, & que de plus l'angle des coordonnées sera droit. 3°. si les deux quarrés x x, & y y se trouvent dans l'équation, & avec des signes différens, le lieu sera une hyperbole

Next page

The Project for American and French Research on the Treasury of the French Language (ARTFL) is a cooperative enterprise of Analyse et Traitement Informatique de la Langue Française (ATILF) of the Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), the Division of the Humanities, the Division of the Social Sciences, and Electronic Text Services (ETS) of the University of Chicago.