"632"> le logarithme du nombre immédiatement au - dessus 9237, c'est - à - dire celui de 9238, lequel

est .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  3. 9655780.
& j'en soustrairois celui de 9237, trouvé 
ci - dessus, sçavoir, .  .  .  .  .   3. 9655309.
& il resteroit .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 471.

sçavoir, .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 4. 9655309.
& la différence logarithmique trouvée, .  .  235.
& il viendroit .  .  .  .  .  .  .  . 4. 9655544.

Si le nombre proposé étoit une fraction ou un entier plus une fraction, il faudroit d'abord réduire le tout à une seule fraction, & chercher séparément le logarithme du numérateur & celui du dénominateur pour la méthode qu'on vient de donner, ensuite on retrancheroit les deux logarithmes l'un de l'autre, & on auroit le logarithme de la fraction proposée.

Soit proposé de plus de trouver le nombre correspondant à un logarithme plus grand qu'aucun de ceux qui sont dans les tables. Soustrayez d'abord du logarithme donné le logarithme de 10, ou celui de 100, ou celui de 1000, ou celui de 10000, le premier en un mot, de cette espece qui donnera un restant d'un nombre de caracteres, tels qu'il s'en trouve dans les tables. Trouvez le nombre correspondant à ce restant considéré lui - même comme logarithme, & multipliez ce nombre trouvé par 100, par 1000, ou par 10000, &c. le produit sera le nombre cherché.

Supposons par exemple, qu'on demande le nombre correspondant au logarithme 7. 7589982, vous en ôterez le logarithme du nombre 10000, lequel est 4. 0000000, & le restant sera 3. 7589982, lequel correspond dans les tables au nombre 5741. Vous multiplierez donc ce dernier nombre par 1000, & le produit 57411100 sera le nombre cherché. Si on propose de trouver le nombre, ou pour parler plus proprement, la fraction correspondante à un logarithme négatif, il faudra ajoûter au logarithme donné, le dernier logarithme de la table; c'est - à - dire, celui du nombre 10000, ou pour mieux dire, il faudra soustraire le premier pris positivement du second, & trouver le nombre correspondant au reste de la soustraction regardée comme logarithme. Vous ferez de ce nombre le numérateur d'une fraction, à laquelle vous donnerez 10000 pour dénominateur, & cette fraction sera le nombre cherché. Par exemple, supposons qu'on demande la fraction correspondante au logarithme négatif, . . 0. 3679767. je le soustrais du logarithme de 10000, ou de . . . . . . . . . . . . 4. 0000000. & le restant est . . . . . . . . . 3. 6320233. auquel correspond dans les tables le nombre 4285 . la fraction cherchée sera donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. On appercevra la raison de cette regle, en observant que toutes fractions étant le quotient de son numérateur par son dénominateur, l'unité doit être à la fraction comme le dénominateur est au numérateur; mais comme l'unité est à la fraction qui doit corres<cb-> pondre au logarithme négatif donné, ainsi 10000 est au nombre correspondant au logarithme restant; donc si l'on prend 10000 pour dénominateur, & le nombre correspondant pour numérateur, on aura la fraction requise.

Soit enfin proposé de trouver un quatrieme proportionnel à trois nombres donnés. Vous ajouterez le logarithme du second à celui du troisieme, & de la somme que cette addition vous aura fournie, vous ôterez le logarithme du premier, le restant sera le logarithme du quatrieme nombre cherché. Par exemple, soit donné les nombres 4, 68 & 3.

Le logarithme de 68 est . . . 1. 8325089.

Le logarithme de 3 est . . . 0. 4771213.

Je les ajoute, & je trouve pour somme . . . . . . . . . . . 2. 3096302.

Le logarithme de 4 est . . . 0. 6020600.

Je fais la soustraction, & il reste . .1. 7075702, qui doit être le logarithme du nombre cherché; & comme le nombre correspondant dans les tables est 51, j'en conclus que 51 est le nombre cherché lui - même.

Ce problème est du plus grand usage dans la Trigonométrie. Voyez Triangle & Trigonométrie.

Tous ces problèmes sur les logarithmes se déduisent évidemment de la théorie des logarithmes donnée ci - dessus, & ils peuvent se démontrer aussi par la théorie de la logarithmique qu'on trouvera à son article.

Nous terminerons celui - ci par une question qui a été fort agitée entre MM. Léibnitz & Bernoulli. Les logarithmes des quantités négatives sont - ils réels ou imaginaires? M. Léibnitz tenoit pour le second, M. Bernoulli pour le premier. On peut voir les lettres qu'ils s'écrivoient à ce sujet; elles sont imprimées dans le commercium epistolicum de ces deux grands hommes, publié en 1745 à Lausanne. J'eus autrefois (en 1747 & 1748) une controverse par lettres avec le célebre M. Euler sut le même sujet; il soutenoit l'opinion de M. Léibnitz, & moi celle de M. Bernoulli. Cette controverse a occasioné un savant mémoire de M. Euler, imprimé dans le volume de l'académie de Berlin pour l'année 1709. Depuis ce tems, M. de Foncenex a traité la même matiere dans le premier volume des mémoires de l'académie de Turin, & se déclare pour le sentiment de M. Euler qu'il appuie de nouvelles preuves. J'ai composé sur ce sujet un écrit dans lequel je me déclare au contraire pour l'opinion de M. Bernoulli. Comme cet écrit aura probablement vu le jour avant la publication du présent article, je ne l'insererai point ici, & je me contenterai d'y renvoyer mes lecteurs, ainsi qu'aux écrits dont j'ai parlé; ils y trouveront toutes les raisons qu'on peut apporter pour & contre les logarithmes imaginaires des quantités négatives. Je me bornerai à dire ici, 1°. Que si on prend entre deux nombres réels & positifs, par exemple 1 & 2, une moyenne proportionnelle, cette moyenne proportionnelle sera aussi - bien - 2 que + 2, & qu'ainsi le logarithme de - 2 & celui de 2 seront le même, savoir log. . 2°. Que si dans l'équation y = cx & le logarithmique (Voyez Logarithmique & Exponentiel) on fait x = ½, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & qu'ainsi le logarithmique aura des ordonnées négatives & positives, en tel nombre qu'on voudra à l'infini; d'où il s'ensuit que les logarithmes de ces ordonnées seront les mêmes, c'est - à - dire des quantités réelles. 3°. A ces raisons ajoutez celle qui se tire de la quadrature de l'hyperbole entre ses asymptotes, que M. Bernoulli a donnée le premier, & que j'ai fortifiée par de nouvelles preuves; ajoutez enfin beaucoup d'autres raisons que l'on peut lire dans mon mémoire, ainsi que mes ré<pb-> [p. 633] ponses aux objections de MM. Euler & de Foncenex, & on sera, je crois, convaincu que les logarithmes des nombres négatifs peuvent être réels. Je dis peuvent être, & non pas sont; c'est qu'en effet on peut prendre tel système de logarithmes qui rendra imaginaires les logarithmes des nombres négatifs. Par exemple, M. Euler prouve très - bien que si on exprime les logarithmes par des arcs de cercle imaginaires, le logarithme de - 1 sera imaginaire; mais au fond tout sy stème de logarithmes est arbitraire en soi; tout dépend de la premiere supposition qu'on a faite. On dit, par exemple, que le logarithme de l'unité est = 0, & que les logarithmes des fractions sont négatifs. Tout cela n'est qu'une supposition; car on pourroit prendre une telle progression arithmétique que le logarithme de l'unité ne fût pas égal à 0, & que les logarithmes des fractions fussent des quantités réelles & positives. Il y a bien lieu de craindre que toute cette dispute sur les logarithmes imaginaires, ne soit qu'une dispute de mots, & n'ait été si agitée que faute de s'entendre. Ce n'est pas le premier exemple de dispute de mots en Géométrie. Voyez Contingence & Forces vives.

MM. Gregori, Mercator, Newton, Halley, Cotes, Taylor, &c. ont donné différentes méthodes pour la construction des tables des logarithmes, que l'on peut voir dans les Transactions philosophiques. Voyez sur - tout un mémoire de M. Halley dans les Transact. philos. de 1695. n°. 216. Sans entrer ici dans ce détail, nous donnerons une méthode assez simple pour calculer les logarithmes.

Nous supposerons d'abord (voyez l'article Logaritmique) que la soutangente de la logarithmique soit égale à l'ordonnée que l'on prend pour l'unité, nous prendrons une ordonnée 1 - u qui soit plus petite que l'unité, & nous aurons, en nommant l'abscisse d x, l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version], comme il résulte de l'article cité; d'où il s'ensuit encore que x est égal au logarith. de 1 - u, & qu'ainsi le logarithme de 1 - u est égal à l'intégrale de [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Or faisant la division suivant les regles ordinaires, ou supposant [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on trouve (voyez Division, Binome, Exposant, Serie, Suite &c.) que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. dont l'intégrale est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. à l'infini; & cette série est convergente, parce que les numérateurs & les dénominateurs vont toujours en diminuant, car u est plus petit que l'unité. Voyez Fraction. On aura donc, en prenant un certain nombre de termes de cette suite, la valeur approchée du logarithme de 1 - u; or connoissant le logarithme de la fraction 1 - u, on connoîtra le logarithme du nombre entier qui est troisieme proportionnel à cette fraction & à l'unité; car ce logarithme est le même, mais pris avec un signe positif. Par exemple, si on veut avoir le logarithme du nombre 10, on cherchera celui de la fraction [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc le logarithme de est [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. & ainsi de suite; & cette quantité prise avec le signe +, est le logarithme de 10.

Tout cela est vrai dans l'hypothese que la soutangente de la logarithmique soit = 1; mais si on vouloit que le logarithme de 10 fût 1, par exemple, au lieu d'être égal à la série précédente, alors tous les logarithmes des autres nombres devroient être multipliés par le rapport de l'unité à cette série. Voyez Logarithmique. (O)

LOGARITMIQUE (Page 9:633)

LOGARITMIQUE, s. f. (Géométrie.) courbe qui tire ce nom de ses propriétés & de ses usages dans la construction des logarithmes & dans l'explication de leur théorie.

Si l'on divise la ligne droite A X (Pl. d'Analyse, fig. 37.) en un nombre égal de parties, & que par les points A, P, p, de division, on tire des lignes toutes paralleles entr'elles & continuellement proportionnelles, les extrémités N, M, m, &c. de ces dernieres lignes, formeront la ligne courbe appellée logarithmique, de sorte que les abscisses A P, A p, sont ici les logarithmes des ordonnées P M, p m, &c. puisque ces abscisses sont en progression arithmétique pendant que les ordonnés sont en progression géométrique. Donc si AP = x, A p = u, P M = y, p m = z, & qu'on nomme l y & l z les logarithmes de y & de z, on aura x = l y, u = l z, & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Propriétés de la logarithmique. Dans une courbe quelconque, si on nomme s la soutangente, on a <-> [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Voyez Soutangente. Or dans la logarithmique, si on prend d x constant, c'est - à - dire les abscisses en progression arithmétique, dont la différence soit d x, les ordonnées seront en progression géométrique, & par conséquent les différences de ces ordonnées (voyez Progression géométrique) seront entr'elles comme les ordonnées; donc sera constant, d'où sera constant; donc puisque (hyp.) d x est constant, s le sera aussi; donc la soutangente de la logarithmique est constante; j'appelle cette soutangente a.

2°. Si on fait a = 1, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; dont l'intégrale est x = log. y; & si on suppose un nombre c, tel que son logarithme, soit = 1, on aura x log. c = log. y, & par conséquent log. cx = log. y & y = cx. Voyez Logarithme. C'est - là ce qu'on appelle repasser des logarithmes aux nombres, c'est - à - dire d'une équation logarithmique x = l y, à une équation finie exponentielle y = cx. Voyez Exponentiel.

3°. Nous avons expliqué au mot Exponentiel ce que signifie cette équation y = cx appliquée à la logarithmique. En général, si dans une même logarithmique on prend quatre ordonnées qui soient en proportion géométrique; l'abscisse renfermée entre les deux premieres sera égale à l'abscisse renfermée entre les deux autres, & le rapport de cette abscisse à la soutangente sera le logarithme du rapport des deux ordonnées. C'est une suite de l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui donne [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en supposant que y = b, lorsque x = 0.

4°. Si on prend pour l'unité dans la logarithmique l'ordonnée qui est égale à la soutangente, on trouvera que l'abscisse qui répond au nombre 10 (c'est - à - dire à l'ordonnée qui seroit égale à dix fois celle qu'on a prise pour l'unité) on trouvera, dis - je, que cette abscisse ou le logarithme de 10 est égal à 2, 30258509 (voyez Logarithme), c'est - à - dire que cette abscisse est à la soutangente comme 230258509 est à 100000000; c'est sur ce fondement que Képler avoit construit ses tables de logarithmes, & pris 2, 3025850 pour le logarithme de 10.

5°. Mais si on place autrement l'origne de la logarithmique, & de maniere que l'ordonnée 1 ne soit plus égale à la soutangente, & que l'abscisse comprise entre les ordonnées 1 & 10 soit égale à 1; ce qui se peut toujours supposer, pusqu'on peut placer l'origine des x où l'on voudra, alors le logarithme de 10 sera 1, ou 1, 0000000, &c. & la soutangente sera telle que l'on aura 2, 3025850 à l'unité, comme 1,0000000 est à la valeur de la sou<pb->

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