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Il est fait mention du log au II. liv. des Rois, vj. 25, comme d'une mesure de tous liquides. Dans le Lévitique, chap. xiv. v. 12, ce mot signifie particulierement la mesure d'huile, que les Lépreux étoient obligés d'offrir au temple après leur guérison.

Suivant les écrivains juifs, le log faisoit la quatrieme partie d'un caph, la douzieme d'un hin, la soixante - douzieme d'un bath, ou épha, & la sept cens vingtieme d'un choron ou chomer. Cet article, pour le dire en passant, contient plus d'erreurs que de lignes dans le dictionnaire de Trévoux. Voyez l'appréciation du log, au mot Mesure. (D. J.)

LOGARITHME (Page 9:630)

LOGARITHME, s. m. (Arithmét.) nombre d'une progression arithmétique, lequel répond à un autre nombre dans une progression géométrique.

Pour faire comprendre la nature des logarithmes, d'une maniere bien claire & bien distincte, prenons les deux especes de progression qui ont donné naissance à ces nombres; savoir, la progression géométrique, & la progression arithmétique: supposons donc que les termes de l'une soient directement posés sous les termes de l'autre, comme on le voit dans l'exemple suivant,

1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. 128.
0. 1. 2. 3.  4.  5.  6.   7.

Ces logarithmes ont été inventés pour rendre le calcul plus expéditif, comme on le verra plus bas.

Le mot logarithme est formé des mots grecs LO/GOS2, raison, & A)/RI/QMO/S2, nombre; c'est - à - dire raison de nombres.

Afin que l'on entende maintenant la doctrine & l'usage des logarithmes, il faut se rendre bien attentif aux propositions suivantes.

Proposition premiere. En supposant que le logarithme de l'unité soit o, le logarithme du produit de deux nombres quelconques, tels que 4 & 8, sera toujours égal à la somme 5 des logarithmes des deux racines ou produisans; ce qui est évident par les deux progressions que l'on a citées, car ajoutant 2 à 3, on a la somme 5, qui est le logarithme du produit 32, ce qui doit arriver effectivement; car puisque 4 x 8 = 32, l'on aura cette proportion géométrique, 1.4::8. 32, dont les logarithmes doivent une proportion arithmétique, ainsi l'on aura l 1. l 4: l 8. l 32 (la lettre l signifie le logarithme du nombre qu'elle précede); mais on sait que dans une proportion arithmétique, la somme des extrèmes est égale à la somme des moyens; ainsi l 1 + l 32 = l 4 + l 8; or le logarithme de 1 ou l 1 = 0 (par la supp.); donc l 32 = l 4 + l 8. C. Q. F. D.

Proposition seconde. Le logarithme du quotient 16 du nombre 64 divisé par 4, est égal à la différence qu'il y a entre le logarithme de 64 & le logarithme de 4; c'est - à - dire que l 16 = l 64 - l 4; car par la supposition [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc en multipliant par 4, 64 x 1 = 16 x 4, ainsi 1.4::16.64; donc l 1 + l 64 = l 4 + l 16. Or l 1 = 0; par conséquent l 64 = l 4 + l 16; donc enfin l 64 - l 4 = l 16. C. Q. F. D.

Proposition troisieme. Le logarithme d'un nombre n'est que la moitié du logarithme de son quarré. Démonstration; prenez 8, quarrez le, vous aurez 64. Il faut donc prouver que [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: par la supposition 8 x 8 = 64 x 1; donc 1.8::8.64; ainsi l 1. l 8: l 8. l 64; donc l 1 + l 64 = l 8 + l 8 = 2 l 8, or l 1 = 0; donc l 64 = 2 l 8, & par conséquent en divisant l'un & l'autre nombre par 2, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. C. Q. F. D.

Proposition quatrieme. Le logarithme d'un nombre n'est que le tiers du logarithme de son cube. Démonstration; prenez le nombre 2 & faites son cube 8, je dis que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], car puisque 4 x 2 = 8 x 1, on aura 1. 4::2. 8; donc l 1. l 4: l 2. l 8; or par la démonstration précédente, 4 étant le quarré de 2, l 4 = 2 l 2; donc l 1. 2 l 2: l 2. l 8; par conséquent l 1 + l8 = 2 l 2 + l 2 = 3 l 2, & comme l 1 = 0, on aura l 8 = 3 l 2; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. C. Q. F. D.

Les propriétés que nous venons de démontrer, ont servi de fondement à la construction des tables des logarithmes, moyennant lesquelles on fait par l'addition & la soustraction, les opérations que l'on seroit obligé sans leurs secours, d'exécuter avec la multiplication, la division & l'extraction des racines, comme on va le faire voir en reprenant les deux progressions précédentes:

 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. 128. &c.
 0. 1. 2. 3.  4.  5.  6.   7. &c.

Voulez - vous multiplier 4 par 16, cherchez les logarithmes 2. 4. qui répondent à ces nombres, faitesen la somme 6, elle est le logarithme de leur produit 64.

Cherchez donc dans la table le nombre qui répond au logarithme 6, vous trouverez 64, qui est effectivement le produit de 4 par 16.

S'il s'agissoit de diviser 128 par 8, on chercheroit les logarithmes 7, 3. De ces nombres on ôteroit 3 de 7, le reste 4 seroit le logarithme de leur quotient, auquel répond le nombre 16.

Si on cherche la racine quarrée de 64, on n'a qu'à prendre la moitié de son logarithme 6, c'est 3 auquel répond 8; ainsi 8 est la racine quarrée de 64.

Il n'est pas plus difficile de trouver la racine cubique de 64, prenez le tiers de son logarithme 6, vous aurez 2, auquel répond 4.

Ainsi 4 est la racine cubique de 64. On feroit donc avec une extrème facilité, les opérations les plus laborieuses du calcul, si l'on avoit les logarithmes d'une grande quantité de nombres; & c'est à quoi l'on a tâché de parvenir dans la construction des tables des logarithmes.

La découverte des logarithmes est dûe au baron Neper, écossois, mort en 1618. Il faut avouer cependant que Stifelius, arithméticien allemand, avoit remarqué avant lui la propriété fondamentale des logarithmes; savoir que le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme de leurs logarithmes. Mais cette proposition resta stérile entre ses mains, & il n'en tira aucun usage pour abreger les opérations, ce qui fait l'essentiel de la découverte de Neper. Kepler dit aussi que Juste - Byrge, astronome du landgrave de Hesse, avoit imaginé les logarithmes; mais de l'aveu de Kepler même, l'ouvrage où Byrge en parloit, n'a jamais paru.

Neper publia en 1614, sa découverte dans un livre intitulé mirifici logarithmorum canonis descriptio. Les logarithmes des nombres qu'il donne dans cet ouvrage, different de ceux que nous employons aujourd'hui dans nos tables; car dans les nôtres le logarithme de 10 est l'unité, ou ce qui est la même chose, 1,000000; & dans celles de Neper, le logarithme de 10 est 2, 3025850. Nous verrons au mot Logaritmique, la raison de cette différence. Mais cette supposition lui paroissant peu commode, il indiqua lui - même des tables de logarithmes, telles que nous les avons aujourd'hui. Elles furent construites après sa mort par Henri Briggs, dans son ouvrage intitulé Arithmetica logarithmica. Adrien Ulacq, mathématicien des Pays - bas, perfectionna le travail de Briggs; & plusieurs autres ont travaillé depuis sur cette matiere. Les tables de logarithmes, qui ont aujourd'hui le plus de réputation pour l'étendue & l'exactitude, sont celles de Gardiner, in - 4°. Celles de M. Deparcieux, de l'académie des Sciences, mé<pb-> [p. 631] ritent aussi d'être citées. Voyez l'histoire des Mathématiques de M. Montucla, tom. II. part. IV. liv. I.

Théorie des logarithmes. Soit proposé de trouver le logarithme d'un nombre quelconque, & de construire un canon ou une table pour les logarithmes naturels. 1°. Comme 1, 10, 100, 1000, 10000, &c. constituent une progression géométrique, leurs logarithmes peuvent donc être pris dans une progression arithmétique à volonté; or pour pouvoir exprimer par des fractions décimales les logarithmes de tous les nombres intermédiaires, nous prendrons la progression 0. 0000000, 1. 0000000, 2. 0000000, 3. 0000000, 4 0000000, &c. de maniere que le premier de ces nombres ou zero, soit le logarithme de 1, que le second soit le logarithme de 10, le troisieme celui de 100, & ainsi de suite. Voyez Décimal. 2°. Il est évident qu'on ne pourra point trouver des logarithmes exacts pour les nombres qui ne sont point compris dans la série géométrique ci - dessus, 1, 10, 100, &c. mais on pourra en avoir de si approchans de la vérité, que dans l'usage ils seront aussi bons que s'ils étoient exacts. Pour rendre ceci sensible, supposons qu'on demande le logarithme du nombre 9; j'introduirai entre 1. 0000000 & 10. 0000000, un moyen proportionnel géométrique, & cherchant entre leurs logarithmes 0. 00000000 & 1. 00000000, un moyen proportionnel arithmétique, celui ci sera évidemment le logarithme de l'autre, c'est - à - dire d'un nombre qui surpassera 3 d'un peu plus que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent qui sera encore fort éloigné de 9. Je chercherai donc entre 3 [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & 10, un autre moyen proportionnel géométrique, qui approchera par conséquent plus de 9 que le premier; & entre 10 & ce nouveau moyen proportionnel, j'en chercherai encore un troisieme, & ainsi de suite, jusqu'à ce que j'en trouve deux consécutifs, dont l'un soit immédiatement au dessus, & l'autre immédiatement au - dessous de 9, & cherchant un moyen proportionnel entre ces deux nombres là, & puis encore un autre entre celui - là & celui des deux derniers qui aura 9 entre lui & le précédent, on parviendra enfin à un moyen proportionnel qui sera égal 9 [omission: formula; to see, consult fac-similé version], lequel n étant pas éloigné de 9 d'une dix millionieme partie d'unité, son logarithme peut, sans aucune erreur sensible, être pris pour le logarithme de 9 même. Je reviens donc à mes moyens proportionnels géométriques ,& prenant l'un après l'autre, le logarithme de chacun d'eux par l'introduction d'autant de moyens proportionnels arithmétiques, je trouve enfin que 0. 9542425 est le logarithme du dernier moyen proportionnel géométrique; & j'en conclus que ce nombre peut être pris sans erreur sensible, pour le logarithme de 9, ou qu'il en approche extrèmement.

3°. Si on trouve de même des moyens proportionnels entre 1.0000000 & 3. 1622777, que nous avons vû plus haut être le moyen proportionnel entre 1. 0000000 & 10.0000000, & qu'on cherche en même tems le logarithme de chacun d'eux, on parviendra à la fin à un logarithme très - approchant de celui de 2, & ainsi des autres. 4°. Il n'est cependant pas nécessaire de prendre tant de peine pour trouver les logarithmes de tous les nombres, puisque les nombres, qui sont le produit de deux nombres, ont pour logarithmes, la somme des logarithmes de leurs produisans; & réciproquement, si l'on a le logarithme du produit de deux nombres, & celui de l'un de ses produisans, on aura facilement le logarithme de l'autre produisant; de même ayant le logarithme d'un quarré, d'un cube, &c. on a celui de sa racine, ainsi qu'on l'a démontré dans les propositions précédentes; par conséquent, si l'on prend la moitié du logarithme de 9 trouvé ci - dessus, l'on aura le logarithme de 3, sçavoir 0. 4771212.

Dans les logarithmes, les nombres qui précedent le point expriment des entiers; & ceux qui sont après le point, expriment le numérateur d'une fraction, dont le dénominateur est l'unité, suivie d'autant de zéros que le numérateur a de figures. L'on donne à ces entiers le nom de caractéristiques, ou d'exposans, parce qu'ils marquent, en leur ajoutant 1, combien de caracteres doit avoir le nombre auquel le logarithme correspond; ainsi 0 à la tête d'un logarithme, ou placé dans le logarithme avant le point, signifie que le nombre correspondant ne doit avoir que le seul caractere des unités, qu'une seule figure, parce que ajoutant 1 à 0 caractéristique, on aura le nombre 1, qui marque le nombre de figures qu'a le nombre auquel se rapporte le logarithme; 1 caractéristique signifie que le nombre correspondant au logarithme, contient non - seulement des unités, mais encore des dixaines, & non pas des centaines; qu'en un mot, il contient deux figures, & qu'il a sa place entre dix & cent, & ainsi des autres exposans ou caractéristiques. Il s'ensuit donc que tous les nombres, lesquels quoique différens, ont néanmoins autant de caracteres ou de figures les uns que les autres; par exemple, les nombres compris entre 1 & 10, entre 10 & 100, entre 100 & 1000, &c. doivent avoir des logarithmes dont la caractéristique soit la même, mais qui different par les chiffres placés à la droite du point.

Si le nombre n'est nombre qu'improprement, mais qu'il soit en effet une fraction décimale exprimée numériquement, ce qui arrivera lorsqu'il n'aura de caractere réel qu'après le point, alors il devra évidemment avoir un logarithme négatif, & de plus la caractéristique de ce logarithme négatif marquera combien il y aura de 0 dans le nombre avant sa premiere figure réelle à gauche, y compris le 0, qui est toujours censé se trouver avant le point; ainsi le logarithme de la fraction décimale 0. 256 est 1. 40824; celui de la fraction décimale 0.0256 est 2.40824, &c.

Tout cela est une suite de la définition des logarithmes; car puisque les nombres entiers 1, 10, 100, &c. ont pour logarithme 0, 1, 2, &c. les fractions , , &c. qui forment une progression géométrique avec les entiers 1, 10, 100, &c. doivent avoir pour logarithmes les nombres négatifs, 1, 2, &c. qui forment une progression arithmétique avec les nombres 0, 1, 2, &c. donc &c.

Soit proposé maintenant de trouver le logarithme d'un nombre plus grand que ceux qui sont dans les tables, mais moindre que 10000000. Retranchez au nombre proposé ses quatre premieres figures vers la gauche, cherchez dans les tables le logarithme de ces quatre premieres figures, ajoutez à la caractéristique de ce logarithme autant d'unités qu'il est resté de figures à droite dans le nombre proposé. Soustrayez ensuite le logarithme trouvé de celui qui le suit immédiatement dans les tables, & faites après cela cette proportion, comme la différence des nombres qui correspondent à ces deux logarithmes consécutifs est à la différence des logarithmes eux - mêmes, ainsi ce qui reste à droite dans le nombre proposé est à un quatrieme terme, que nous pourrons nommer la différence logarithmique; en effet, si vous l'ajoutez au logarithme d'abord trouvé, vous pourrez sans erreur sensible, prendre la somme pour le logarithme cherché. Si l'on demandoit par exemple, le logarithme du nombre 92375, je commencerai par en retrancher les quatre premieres figures à gauche, sçavoir 9237, & je prendrois dans les tables les logar. 3. 9655309 du nombre qu'elles forment à elles seules, dont j'augmenterois la caractéristique 3 d'une unité, ce qui me donneroit 4. 9655309, auquel il ne s'agiroit plus que d'ajouter la différence logarithmique convenable: or pour la trouver, je prendrois dans les tables

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