"821"> deux parties; l'une connue, c'est l'intérêt du capital entier sur le pié du denier donné; l'autre inconnue, c'est une certaine portion du capital qu'il faut prendre pour completter le payement. Le capital étant écorné par le premier payement, l'intérêt sera moins fort la seconde année, & conséquemment (vû l'égalité des payemens) la portion qu'on prendra sur le capital sera plus grande, & ainsi de suite d'année en année. Ce qui donne deux suites, l'une décroissante pour les intérêts, l'autre croissante pour les diverses portions du capital, je m'attache à celle - ci; & pour découvrir la loi qui y régne, je nomme z, y, x, &c. dans le même ordre, les portions du capital compétantes aux premier, second, troisieme, &c. payemens, de sorte que z + y + x + &c. = a.

   Le premier payement sera ....  [omission: formula; to see, consult fac-similé version].
   Le second ............  [omission: formula; to see, consult fac-similé version].
   Le troisieme .......  [omission: formula; to see, consult fac-similé version].
     &c.

14. Comme ces payemens sont supposés égaux, on en peut former diverses équations, comparant le premier avec le second, celui - ci avec le troisieme, &c. La premiere équation fait trouver ... [omission: formula; to see, consult fac-similé version] La seconde .... [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou (substituant au lieu de y sa valeur).. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Ce qui suffit pour donner à connoître que la suite en question est une progression géométrique, dont l'exposant est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: & dès - là le problème est résolu; car des cinq élémens qui entrent en toute progression géométrique, (Voyez Progression) trois pris comme on voudra étant connus, donnent les deux autres. Or on connoît ici la somme a, le nombre des termes n, & l'exposant p: on connoîtra donc les deux autres, & nommément le premier terme dont il s'agit ici principalement ... il sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; à quoi ajoutant l'intérêt du capital entier qui est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou (réduisant tout au dénominateur pn - 1) [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Mais comme cette expression de la valeur de r exige dans l'application des réductions pénibles, au lieu de p remettant [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui lui est égal, naît une nouvelle formule qui a cela de commode, que toute les réductions y sont faites d'avance, & qu'il n'y a qu'à substituer. On la voit ci - dessous avec celles qui en dérivent d'une part, & vis - à - vis les mêmes par les logarithmes.

15. [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Envain ressasseroit - on ces formules pour en tirer une qui donnât directement la valeur de [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou de p; on se trouve nécessairement renvoyé à une équation du degré n.

16. Comme z (ou la portion du capital qui entre dans le premier payement) est la seule vraie inconnue de cette question; si on veut l'avoir directement, de l'équation ci - dessus z+y+x+&c.=a (après avoir préalablement réduit tout en z) on tirera généralement [omission: formula; to see, consult fac-similé version] C'est - à - dire que pour avoir z, il faut multiplier a par une fraction dont le numérateur étant dn - 1, le dénominateur est la somme des produits des puissances successives de d (depuis l'exposant [omission: formula; to see, consult fac-similé version] jusqu'à l'exposant o inclusivement) multipliées terme à terme, mais dans un ordre renversé, par les puissances pareilles de [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

17. Remarquez que cette derniere formule n'est la formule particuliere de z (premier & plus petit terme de la progression que forment entr'elles les diverses portions du capital) que parce qu'on a pris pour numérateur de la fraction le premier & plus petit terme du dénominateur, savoir dn - 1. Si, (laissant d'ailleurs tout le reste du second membre dans le même état) on eût pris pour numérateur le second terme du dénominateur, sçavoir [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on eût eu la formule de y; celle de x, si on eût pris le troisieme, &c. En un mot, la formule donnera la valeur du terme de la progression correspondant (quant au rang) à celui du dénominateur qu'on aura pris pour numérateur de la fraction... Cette remarque trouvera plus bas son application.

18. Exemple. Que la somme prétée soit 10000 livres, l'intérêt à 4 pour , & qu'il y ait 4 payemens égaux.

       a=10000 livres.
Faisant d=100       [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & substituant,
       i=4                            on trouvera
       n=4

1°. Par la formule du N°. 15) [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

2°. Par celle du N°. 16. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Ajoutant 400 liv. pour l'intérêt de la 1re année, on a comme ci - devant ... [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

3°. Par les logarithmes) celui de r se trouve 3.4401058: or le nombre qui répond à ce logarithme est entre 2754 & 2755, beaucoup plus près de ce dernier.

19. Dans la question qu'on vient de résoudre (le capital, l'intérêt, le nombre & les termes des payemens restant d'ailleurs les mêmes) si l'on supposoit que la dette originaire ne fût exigible que dans un an, au lieu de l'être actuellement, comme on l'avoit supposé N°. 12: quel seroit alors chaque payement égal?

Ce qui rend l'espece du cas présent différente de celle du précédent; c'est que le premier payement se faisant au même terme que la dette originaire eût dû être payée, n'est point sujet à intérêts, & sera pris en entier sur le capital. Procédant d'ailleurs comme ci dessus, on retrouve encore entre les diverses portions du capital z, y, x, &c. la progression géométrique dont l'exposant est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; avec cette difference que z (qui en étoit là le premier & plus petit terme, parce qu'il étoit joint au plus fort intérêt) en est au contraire ici le dernier & plus [p. 822] grand, parce que l'intérêt auquel il est joint, est le moindre qu'il soit possible ou nul, & qu'il complette seul son payement. Pour en avoir donc la valeur, il faut, conformément à la remarque N°. 17, substituer (dans la formule du N°. 16) [omission: formula; to see, consult fac-similé version] au lieu de dn - 1 pour numérateur de la fraction. Ce qui donnera [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Comme on peut le vérifier.

Il seroit inutile de pousser plus loin cette spéculation.

20. Il est évident que le calcul de l'intérêt & celui de l'escompte (Voyez Escompte) sont fondés sur les mêmes principes & assujettis aux mêmes regles, avec quelque légere différence dans l'application, qui en produit d'essentielles dans les résultats. Que, dans la premiere formule du N°. 6, on renverse la fraction [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en sorte qu'elle devienne [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on aura la formule de r pour l'escompte simple, & par elle les autres qui en dérivent. De même, que dans les formules du N°. 9, on prenne p non pour [omission: formula; to see, consult fac-similé version], mais pour [omission: formula; to see, consult fac-similé version], elles deviendront celles même de l'escompte correspondante.

On a vû ci - dessus que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est l'intérêt redoublé ou composé pour un nombre m d'années quelconque, en y comprenant le principal; & que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est l'intérêt simple pour un nombre pareil d'années, en y comprenant de même le principal. Or il est aisé de voir, 1°. que si m est un nombre entier > que l'unité, on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; car [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. Voyez Puissance & Binome; or cette quantité est évidemment égale à [omission: formula; to see, consult fac-similé version] une quantité réelle positive; donc elle est plus grande que [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

2°. Si m = 1, les deux quantités sont égales, comme il est très - aisé de le voir.

3°. Si [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; car en élevant de part & d'autre à la puissance p, on aura d'une part [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & de l'autre, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] une quantité positive.

4°. Delà il est aisé de voir que si m est un nombre fractionnaire quelconque plus grand que l'unité, on aura en général [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & au contraire si m est un nombre fractionnaire quelconque plus petit que l'unité.

Donc en général, quand on en emprunte à intérêt composé, la somme dûe est plus forte s'il y a plus d'un an écoulé, qu'elle ne le seroit dans le cas de l'intérêt simple; & au contraire, s'il y a moins d'un an écoulé, la somme dûe est moins forte que dans le cas de l'intérêt simple.

Pour rendre sensible à tous nos lecteurs cette observation importante, supposons qu'un particulier prête à un autre une somme d'argent à 3 pour 1 d'intérêt par an; cette usure exorbitante ne peut sans doute jamais avoir lieu en bonne morale; mais l'exemple est choisi pour rendre le calcul plus facile: il est clair qu'au commencement de la premiere année, c'est - à - dire dans l'instant du prêt, le débiteur devra simplement la somme prêtée 1; qu'au commencement de la seconde année il devra la somme 4, & que cette somme 4 devant porter son intérêt à 3 pour 1, il sera dû au commencement de la troisieme année la somme 4, plus 12 ou 16; ensorte que les sommes 1, 4, 16, dûes au commencement de chaque année, c'est - à - dire à des intervalles égaux, formeront une proportion qu'on appelle geométrique, c'est - à - dire dans laquelle le troisieme terme contient le second comme celui - ci contient le premier. Or, par la même raison, si on cherche la somme dûe au milieu de la premiere année, on trouvera que cette somme est 2, parce que la somme dûe au milieu de la premiere année doit former aussi une proportion géométrique avec les sommes 1 & 4 dûes au commencement & à la fin de cette année; & qu'en effet la somme 1 est contenue dans la somme 2, comme la somme 2 l'est dans la somme 4. Présentement dans le cas de l'intérêt simple, le débiteur de la somme 4 au commencement de la seconde année, ne devroit que la somme 7 & non 16 au commencement de la troisieme: mais au milieu de la premiere année, il devroit la somme 2 & ½; car l'argent qui rapporte 3 pour 1 à la fin de l'année dans le cas de l'intérêt simple, & 6, c'est - à - dire le double de 3 à la fin de la seconde année, doit rapporter , c'est - à - dire la moitié de 3 au milieu de la premiere année. Donc dans le cas de l'intérêt composé, le débiteur devra moins avant la fin de la premiere année, que dans le cas de l'intérêt simple. Donc si l'intérêt composé est favorable au créancier dans certains cas, il l'est au débiteur dans d'autres cas; la compensation, il est vrai n'est pas égale, puisque l'avantage du débiteur finit avec la premiere année, & que celui du créancier commence alors pour aller toûjours en croissant à mesure que le nombre des années augmente: néanmoins il est toûjours utile d'avoir fait cette observation, ne fût - ce que pour montrer que l'intérêt simple dans certains cas, est non - seulement moins favorable au débiteur, mais qu'il peut même être regardé comme injuste, si la convention est telle que le débiteur soit obligé de s'acquitter dans le courant de l'année de l'emprunt.

Si on représente les sommes dûes par les ordonnées d'une ligne courbe dont la premiere ordonnée (celle qui répond à l'abscisse = o) soit=à la somme prêtée, & dont les ordonnées répondantes à chaque abscisse représentent les sommes dûes à la fin du tems représenté par cette abscisse; il est aisé de voir 1°. que dans le cas de l'intérêt simple cette courbe sera une ligne droite; 2°. que dans le cas de l'intérêt composé, elle tournera sa convexité vers son axe; 3°. que dans le cas de l'intérêt composé si on nomme a la premiere ordonnée, & a + b l'ordonnée qui répond à une abscisse = t; l'ordonnée qui répondra à une abscisse quelconque p t sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; p étant un nombre quelconque entier ou rompu, plus grand ou plus petit que l'unité. Voyez Logarithme & Logarithmique. Donc en général la somme dûe au bout du tems p t sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & si on suppose p infiniment petit, la différence des quantités a & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sera à la quantité a comme la quantité p t est à la soutangente d'une logarithmique, qui ayant a pour premiere ordonnée, t pour abscisse, auroit a + b pour l'abscisse correspondan<pb->

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