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Il. La force du jet étant connue, trouver la plus grande distance où la bombe peut être portée sur un plan quelconque, fig. 1. 2. & 3. Pl. VIII. n°. 2.

Il est évident par tout ce que l'on a exposé précédemment, que la plus grande distance où la bombe peut être portée sur un plan quelconque avec une charge de poudre exprimée par la force du jet A E, est déterminée par la partie A M du plan, comprise entre le point A, où l'on suppose le mortier & la parallele L M, à la force du jet A E, menée de l'extrémité L de la ligne C L qui coupe l'arc A L E en deux également. C'est pourquoi il ne s'agit que de trouver la valeur de A M dans les fig. 1. 2. & 3. pour la résolution du problème proposé.

Lorsque le plan est horisontal (fig. 1.), on a déja vu que la plus grande distance où la bombe peut tomber est égale à la moitié de la force du jet A E, & qu'elle se trouve en tirant le mortier sous l'angle L A M de 45 degrés.

Si le plan A Y (fig. 2.) est incliné au - dessus de l'horison A X, d'une quantité connue Y A X, il faut d'abord trouver l'angle de projection de la plus grande portée L A M, comme on l'a enseigné cidevant, & chercher ensuite la valeur de la ligne de projection A L.

Pour cet effet, considérez que l'angle N A Y est droit; qu'ôtant de cet angle les angles connus N A E & L A Y, il restera l'angle E A L: or dans le triangle rectangle A C L, connoissant A C égal à la moitié de la force du jet A E, & un angle C A L, on viendra par la Trigonométrie à la connoissance de A L.

Présentement dans le triangle A M L, on connoîtra le côté A L, l'angle L A M, & A M L égal à M A X, plus l'angle droit A R M; c'est pourquoi on viendra par la Trigonométrie à la connoissance de la plus grande distance A M, où la bombe peut être portée avec la charge du mortier exprimée par la force du jet A E.

Si le plan est incliné sous l'horison comme A Z (fig. 3.), & qu'on connoisse l'angle d'inclinaison X A Z formé par l'horisontale A X & le plan A Z, on cherchera d'abord, comme dans le cas précédent, l'angle de projection L A M, de la plus grande portée de la bombe; on ôtera ensuite de l'angle droit N A Z, l'angle de projection L A Z. il restera l'angle N A L, auquel ajoutant N A C égal à celui de l'inclinaison du plan X A Z, on aura E A L, ou C A L. Alors dans le triangle A C L, connoissant, outre cet angle, le côté C A, égal à la moitié de la force du jet, on viendra à la connoissance de A L.

La ligne de projection A L étant ainsi connue, de même que les angles de la base du triangle L A M, savoir L A M & A M L (ce dernier est égal à A P G, moins P A G), il sera aisé de venir par la Trigonométrie à la connoissance de A M, ou de la plus grande portée de la bombe.

III. La plus grande distance où une bombe puisse aller sur un plan quelconque étant connue, & la force du jet, trouver la distance où elle ira, tirée sous tel angle de direction que l'on voudra, le mortier étant toûjours chargé de la même quantité de poudre, ou, ce qui est la même chose, la force du jet étant toûjours la même.

Lorsque le plan est horisontal, les différentes portées sont entr'elles comme les sinus des angles doubles de l'inclinaison de mortier; c'est pourquoi l'on trouvera la distance demandée par cette analogie.

Comme le sinus total est au sinus de l'angle double de l'inclinaison du mortier; ainsi la plus grande distance est à la distance demandée.

Si le plan donné A Y (fig. 5.) est incliné sur l'horison A X, du centre O de l'arc A L N, on tirera le rayon O F: comme l'arc A L F est double de celui de l'inclinaison du mortier, l'angle A O E sera con<cb-> nu; le rayon A O le sera aussi: car connoissant dans le triangle rectangle O C A, le côté A C égal à la moitié de la force du jet, & l'angle O A C, qui est égal à celui de l'inclinaison du plan Y A X, on viendra aisément à la connoissance de O A. Ainsi dans le triangle A O F, on connoîtra les angles & les côtés O A & O F, qui feront venir à la connoissance de la ligne de projection A F. Dans le triangle A F G, on connoîtra le côté A F; de plus l'angle d'inclinaison donné F A G, & l'angle A G F égal à A P G, plus P A G; par conséquent on trouvera par la Trigonométrie la distance demandée A G.

Si le plan A Z est incliné sous l'horison (fig. 6.) il est évident qu'on viendra de la même maniere à la connoissance de sa ligne de projection A F, & ensuite à celle de la distance demandee A G.

I V. La plus grande distance où une bombe puisse aller sur un plan quelconque étant connue, & la force du jet, trouve l'angle de projection ou d'inclinaison du mortier pour la faire tomber à une distance donnée.

Si le plan est horisontal, on fera cette analogie.

Comme la plus grande distance est à la distance donnée; ainsi le sinus total est au sinus de l'angle double ds celui de projection.

Ce sinus étant connu, on cherchera dans les tables de sinus l'angle auquel il appartiendra; sa moitié sera la valeur de l'angle de projection demandé.

Si le plan est incliné au - dessus ou au - dessous de l'horison comme A Y & A Z (fig. 5. & 6.), il y a plus de difficulté à trouver l'angle dont il s'agit; voici néanmoins une méthode assez facile pour y parvenir.

Nous supposerons d'abord (fig. 5.) que le plan A Y est élevé sur l'horison A X d'une quantité connue Y A X; que E A est la force du jet, & l'arc A L E décrit du point O, milieu du diametre A N, renferme toutes les différentes lignes de projection que la charge de poudre du mortier, ou la force du jet peut faire décrire à la bombe. Nous supposerons aussi que A G est la distance donnée. C'est pourquoi si l'on imagine que par G, on a mené G F parallele à A E, qui coupe l'arc A L E en s, & F; tirant du point A, les lignes de projection A f, & A F, elles donneront l'angle demandé f A G, ou F A G.

Pour venir à la connoissance de cet angle par le calcul, il faut observer que dans le triangle A G F, on connoît le côté donné A G; de plus l'angle A G F égal à G A P plus G P A; qu'ainsi si l'on parvient à la connoissance de G F, ou de A F, on pourra connoître par la Trigonométrie, l'angle de projection F A G.

Pour cet effet, soit tiré du centre O de l'arc A L F sur A E, la perpendiculaire O C, qui étant prolongée jusqu'à la rencontre de cet arc en L, le coupera en deux également, ainsi que A E en C, & F f en T.

On aura le triangle rectangle A C O, dans lequel le côté A C qui est égal à la moitié de la force du jet A E sera connu, ainsi que l'angle O A C, égal à celui de l'élévation du plan Y A X, ou G A P; c'est pourquoi on viendra par la Trigonométrie à la connoissance de O C & de O A, égale à O L.

Présentement si l'on prolonge F G jusqu'à ce qu'elle rencontre l'horisontale A X dans le point P, il sera aisé, dans le triangle rectangle A P G, semblable au triangle A C O, de venir à la connoissance de A P & de P G.

Comme C T est égale à A P, à cause des paralleles A E & F P, O T qui est égal à O C plus C T sera connue; si l'on ôte O T de O L, il restera T L.

Cette ligne étant connue, on viendra par la propriété du cercle, à la connoissance de FT ou T f, en multipliant O L plus O T par T L, & extrayant laracine quarrée du produit. [p. 526]

Pour déterminer F G ou f G, il faut considérer que C A moins P G est égale à T G; ajoûtant T F à cette ligne, on a F G, & ôtant T f de cette même ligne A C, il restera f G.

G F ou G f étant connue, on connoît dans le triangle A F G ou A f G deux côtés, & l'angle AGF compris par ces côtés; c'est pourquoi on viendra par la Trigonométrie à la connoissance des angles F A G, A F G.

Lorsque le plan sur lequel la bombe doit tomber, est incliné sous l'horison A X, comme A Z fig. 6. il est clair qu'on déterminera de la même maniere la valeur de l'angle de projection F A G, pour faire tomber la bombe à la distance donnée A G.

Remarques. 1°. Il est évident que, si la distance A P, prise du point A, où l'on suppose la batterie, fig. 5 & 6. jusqu'à la rencontre de la ligne de chûte F G avec l'horisontale A X, est plus grande que C L, le problème est impossible; car, dans ce cas la ligne de chûte ne toucheroit ni ne rencontreroit l'arc A L E dans aucun point. Et 2°. que si A P se trouve égale à C L, l'angle cherché sera celui de la plus grande portée de la bombe.

2°. On peut, par la résolution des problèmes précédens, calculer des tables pour trouver avec toutes les charges de poudre qu'on peut employer, les distances où les bombes iront tomber, soit que le plan sur lequel on les tire soit horisontal, ou incliné à l'horison, sous tel angle d'inclinaison que l'on voudra, & réciproquement pour trouver les angles d'inclinaison, lorsque les distances où les bombes doivent tomber sont données. M. Bélidor a rempli cet objet dans le Bombardier françois pour les plans horisontaux; les deux derniers problemes qu'on vient de résoudre, donnent les moyens de continuer ces tables pour les autres plans.

2°. Il faut observer que, comme il y a deux angles de projection pour chaque amplitude de la bombe, au - dessus de la plus grande portee, & que le plus grand lui donne plus d'élévation que le petit, on doit se servir du premier lorsque l'objet des bombes est de ruiner des édifices, le second & le plus petit angle doit être employé pour tirer des bombes dans les ouvrages attaqués, & sur des corps de troupes, parce que les bombes ayant alors moins d'élévation, elles s'enfoncent moins dans la terre, ce qui en rend les éclats plus dangereux.

Description & usage de l'instrument universel pour jetter les bombes. Quoique les différens calculs nécessaires pour tirer les bombes avec regle & principes soient fort simples, cependant, comme il peut arriver que tous ceux qui peuvent être chargés de la pratique du jet des bombes, n'en soient pas également capables, on a imaginé différens instrumens pour leur épargner ces calculs ou pour les abréger. On peut voir ces différens instrumens, & la maniere de s'en servir dans l'Art de jetter les bombes par M. Blondel. Nous donnerons seulement ici la construction & l'usage de celui qui peut servir le plus généralement à ce sujet, & qu'on appelle par cette raison l'instrument universel.

C'est un cercle X, fig. 7. assez grand pour être divisé en degrés; il est d'une matiere solide, comme de cuivre ou de bois. Il a une regle A F tangente à sa circonférence, attachée fixement à l'extrémité de son diametre A B, & de pareille longueur; elle est divisée dans un grand nombre de parties égales, comme par exemple 200.

On attache à la tangente ou à la regle A F, un filet R P, de maniere qu'on puisse le faire couler le long de A F; ce filet est tendu par un plomb P, qui tient à son extrémité.

Pour trouver, par le moyen de cet instrument, l'inclinaison qu'il faut donner au mortier pour jetter une bombe à une distance donnée sur un plan horisontal, on de niveau avec la batterie.

On cherchera d'abord la force du jet, en tirant le mortier avec la charge de poudre dont on veut se servir, sous un angle d'inclinaison pris à volonté.

La force du jet A E, fig. 8. étant trouvée, par exemple de 923, pour connoître l'angle d'inclinaison ou de projection F A G, on fera une regle de trois, dont les deux premiers termes seront la force du jet A E, & le diametre A B de l'instrument universel X, égal à la regle A F, divisée en 200 parties égales; le troisieme terme de cette regle sera la distance donnée A G, que nous supposerons ici de 250 toises.

Ainsi nommant x le quatrieme terme de cette regle, l'on aura 923. 200 :: 250. x; faisant l'opération, on trouvera 54 pour la valeur de x, ou du quatrieme terme.

On fera couler le filet R P de l'instrument universel X, fig. 7 & 8. depuis A jusqu'à la 54e division R de la regle A F; on mettra ensuite cet instrument dans une situation verticale, & de maniere que la regle A F soit parallele à l'horison. Alors le filet R P coupera l'instrument dans deux points d & D, qui donneront les arcs A d, A D, dont la moitié sera la valeur de l'angle cherché.

Pour le démontrer, il faut imaginer l'instrument universel X, placé immédiatement sous l'horisontale A G, fig. 8, de maniere que le diametre A B soit dans le prolongement de la force du jet A E. On verra alors que les parties A d, A d D du demi - cercle de X sont proportionnelles à A f & A f F de la demi circonférence A f F E, ou que les triangles A R D, A G F sont semblables, ainsi que A R d, A G f; d'où il suit que les arcs A d & A d D sont de même nombre de degrés que A f & A f F; mais f A G & F A G sont les angles de projection pour faire tomber la bombe au point G. Donc, &c.

Remarque. Si le filet R P, au lieu de couper le demi cerle de l'instrument ne faisoit que le toucher, l'angle de projection cherché seroit de 45 degrés, & la portée donnée seroit la plus grande. Mais s'il tomboit en dehors le problème seroit impossible, c'est - à - dire, que la charge de poudre déterminée, ne seroit pas suffisante pour chasser la bombe à la distance donnée.

Si l'angle d'inclinaison du mortier, ou de la ligne de projection est donné, & qu'on veuille savoir à quelle distance la charge du mortier portera la bombe sur un plan horisontal, supposant cette charge, ou la force du jet, la même que dans le problème précédent.

On fera couler le filet R P le long de la regle A F, fig. 7 & 8. qu'on tiendra dans une situation parallele à l'horison, jusqu'à ce qu'il coupe le demi-cercle de l'instrument dans un point d, qui donne l'arc A d double de l'inclinaison donnée: après cela on comptera exactement le nombre des parties de A F, depuis A jusqu'en R, que nous supposons être le point auquel le filet R P étant parvenu, donne l'arc A d double de l'inclinaison du mortier. Supposant que le nombre des parties de cette regle, depuis A jusqu'en R, soit 54, on fera une regle de trois, dont les deux premiers termes seront toutes les parties de la regle A E, & celle de la force du jet A E. Le troisieme sera A R, supposé de 54 parties; ainsi l'on aura 200. 923 :: 54. x: faisant cette regle, on trouvera 250 toises pour la distance A G où la bombe ira tomber.

Si le plan sur lequel la bombe doit tomber, est plus élevé ou plus bas que la batterie, on trouvera de même avec l'instrument universel, l'angle d'inclinaison convenable pour la faire tomber à une distance donnée.

Soit le plan A Y, fig. 9. élevé sur: l'horison A, & d'une quantité connue Y A M; le point de ce

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