"523"> la distance où ce corps ira tomber, soit sur un plan horisontal A X, ou incliné au - dessus de l'horison A Y, ou au - dessous A Z; il faut sur A E, quadruple de A B, décrire un arc tangent au plan, qui coupera la ligne de projection en F ou f; si l'on abaisse de ce point la verticale F f G, le point G où elle rencontrera les plans A X, A Y & A Z, sera celui où le corps ira tomber.

Pour le démontrer, tirez la corde E F. On aura les deux triangles semblables E A F, F A G; car les angles E A F, A F G sont égaux étant alternes: de plus, l'angle F E A qui a pour mesure la moitié de l'arc F f A, est égal à F A G qui étant formé de la tangente A G & de la corde F A, a pour mesure la moitié du même arc F f A: donc les deux triangles A E F & F A G sont semblables. C'est pourquoi l'on a E A. A F :: A F. F G. Mais dans la proportion continue le premier terme est au dernier comme le quarré du premier est au quarré du second. Donc E A. F G:: [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Et [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Les deux premiers termes de cette derniere proportion expriment les vitesses que le mobile acquiert en tombant librement de E en A, & de F en G; car les vitesses peuvent être exprimées par les racines quarrées des espaces que la pesanteur fait parcourir au mobile. Il suit de - là que les espaces E A & A F étant entr'eux comme les vitesses précédentes, sont parcourus uniformément dans le même tems. Ainsi ils peuvent exprimer ces vitesses, mais les espaces parcourus par la pesanteur sont entr'eux comme les quarrés des vitesses. Donc, puisque E A & F G sont entr'eux comme les quarrés de E A & de A F, ces lignes sont celles que la pesanteur fait parcourir à la bombe ou au mobile dans le tems qu'il decriroit E A & A F uniformément, c'est - à - dire dans un tems double de celui qu'il employeroit à tomber de B en A, d'un mouvement accéléré, ou ce qui est la même chose, dans celui qu'il employeroit à monter de A en B, & à descendre de B en A.

Il est évident que cette démonstration s'applique également aux figures 1, 2 & 3 (Planc. VIII. n°. 2.) à la ligne de projection A f des mêmes figures, & à toutes les autres qu'on peut tirer de A aux différens points de l'arc A f F E; que si le plan est horisontal comme A X (fig. 1.), l'arc A f F E est une demi-circonférence dont A E est le diametre: mais que si le plan est élevé sur l'horison comme A Y (fig. 2.) l'arc précédent est plus petit que la demi - circonférence, & qu'il est plus grand quand le plan est abaissé sous l'horison, comme A Z (fig. 3.)

Pour décrire ces arcs dans ces deux derniers cas, il faut élever du point A sur A Y & A Z, la perpendiculaire indéfinie A N (fig. 2 & 3.); puis du point C milieu de A E, élever sur cette ligne une autre perpendiculaire C L, qui etant prolongée jusqu'à la rencontre de A N, la coupera dans le point O qui sera le centre de l'arc. C'est pourquoi, si de ce point pris pour centre, & de l'intervalle O A ou O E on décrit l'arc A f F N terminé en N (fig. 3.) par sa rencontre avec A N (fig. 3.) & prolongée jusqu'en E (fig. 4) on aura l'arc demandé.

La distance A G à laquelle la bombe va tomber du mortier, se nomme la ligne de but, ou l'amplitude de la parabole; A E quadruple de A B, la force du jet; & F G ou f G, la ligne de chûte.

Comme il n'est point d'usage de tirer les bombes parallelement à l'horison, nous n'entrerons point dans le détail des circonstances particulieres de ce jet; nous donnerons seulement la maniere de déterminer la hauteur le long de laquelle la bombe doit tomber pour acquérir la vitesse nécessaire pour décrire la ligne de projection qui dans ce cas est égale à celle de but, pendant que la pesanteur lui fait décrire la ligne de chûte.

Si l'on suppose que du point B (fig. 11), élevé sur l'horisontal A X de la quantité B A, on ait tiré une bombe avec une charge de poudre déterminée, & que la bombe ait été tomber en G sur A X, pour trouver la hauteur de laquelle elle auroit dû tomber pour acquérir la force ou la vitesse que lui imprime la charge de poudre du mortier pour décrire la ligne de projection B F d'un mouvement uniforme, pendant que la pesanteur lui fera décrire B A ou F G d'un mouvement accéléré, il faut mener B F parallele à A X, terminée en F par sa rencontre avec G F perpendiculaire à A X. On coupera B F en deux également en D, & l'on tirera A D, sur laquelle on élevera la perpendiculaire D E, qui sera terminée en E par sa rencontre avec le prolongement de A B; l'on aura E B pour la hauteur demandée.

La bombe en tombant de B en A acquiert une vitesse capable de lui faire décrire cette même ligne d'un mouvement uniforme pendant la moitié du tems de la durée de sa chûte d'un mouvement accéléré; elle doit donc décrire B D moitié de B F, dans le même tems; comme A B & B D sont ainsi parcourus uniformément dans le même tems, ces deux lignes sont entr'elles comme les vitesses qui les leur font parcourir. Mais à cause du triangle rectangle A D E, l'on a A B. B D::B D. B E; ce qui donne A B. B E::A B. B D. Or la vitesse par la chûte le long de A B est égale à la racine quarrée de A B; donc la racine quarrée de E B exprime la vitesse par B D: donc E B est la hauteur de laquelle la bombe doit tomber pour acquérir une vitesse capable de pousser la bombe par le mouvement de projection de B en D, dans le tems de la moitié de la durée de la chûte accélérée de la bombe le long de B A. Or dans un tems double cette même vitesse doit lui faire parcourir B F double de B D; donc elle lui fera parcourir cet espace dans le tems que la pesanteur fera parcourir à la bombe la ligne B A; donc, &c.

La force du jet, la ligne de projection, & la ligne de chùte sont en proportion continue, c'est - à - dire que (Planc. VIII. n°. 2. fig. 1, 2 & 3.) A E. A F::A F, F G; ce qui est évident, puisque les triangles semblables E A F, F A G donnent cette même proportion.

Il suit de - là que lorsqu'on connoît l'amplitude de la parabole, & l'angle de l'inclinaison du mortier, on peut trouver la force du jet. Car dans le triangle F G A on connoît A G par la supposition, ainsi que l'angle F A G. De plus l'angle A G F qui est droit fig. 1, & qui est égal à G A P, plus G P A, fig. 2, & au droit A P G moins P A G fig. 3. C'est pourquoi on viendra par la Trigonométrie à la connoissance de G F & de A F. Ces deux lignes étant connues, on trouvera A E, en cherchant une troisieme porportionnelle à G F & A F.

On voit par - là que si l'on tire une bombe avec une charge de poudre quelconque, qu'on observe l'angle d'inclinaison du mortier, & la distance où la bombe sera portée, on peut trouver la hauteur d'où elle auroit dû tomber pour acquérir une force qui agissant sur elle dans la direction du mortier, soit capable de produire le même effet que l'impulsion de la poudre dont il aura été chargé.

Si par les points f F (fig. 4.) on tire f d & F D perpendiculaire à A E, ces lignes seront égales à l'amplitude A G. Or comme tous les points de la demi - circonférence A F f E terminent les différentes lignes de projection selon lesquelles on peut tirer la bombe pour la faire tomber sur A X avec la charge de poudre exprimée par la force du jet A E, il s'ensuit que si de tous ces points on mene des perpendiculaires à A E, ou si l'on tire une infinité [p. 524] d'ordonnées à A E, elles exprimeront chacune la distance où la bombe ira tomber, tirée sous l'angle d'inclinaison formé par l'horisontale A X, & par les lignes de projection menées de A aux différens points ou aux ordonnées, rencontrant la demi - circonférence A f F E.

Il résulte de cette considération (Planc. VIII. n°. 2. fig. 1 & 4.), 1°. que le rayon C L étant la plus grande de ces ordonnées, exprime la plus grande distance A M où la bombe peut être chassée par la charge du mortier; comme l'on a cette amplitude lorsque la ligne de projection est A L qui donne l'angle L A M de 45 degrés, puisque sa mesure est la moitié de l'arc A ff L de 90 degrés, il s'ensuit que pour avoir la plus grande distance où la bombe peut aller, il faut que l'angle de projection soit de 45 degrés.

2°. Que comme les ordonnées également distantes du rayon C L perpendiculaire sur A E sont égales, les inclinaisons A f, A F également au - dessus & au - dessous de 45 degrés, donnent des amplitudes égales.

Ainsi l'angle de projection étant de 30 degrés ou de 60, la bombe ira à la même distance, parce qu'ils different également de 45 degrés.

3°. Comme les ordonnées d f, d f, sont les sinus des arcs A f, A f, & que les angles f A G, f A G ont pour mesure la moitié de ces arcs, les portées A G, A G égales aux ordonnées d f, d f sont entr'elles comme les sinus des arcs A f, A f, ou ce qui est la même chose, comme les sinus des angles doubles de l'inclinaison du mortier.

Ainsi, lorsque l'angle d'inclinaison du mortier est de 15 dégrés, l'arc A f est à 30; mais comme le finus de cet arc est la moitié du rayon, la portée de la bombe tirée sous l'angle de 15 degrés, est la moitié de celle qu'on a sous l'angle de 45 degrés.

Si l'on veut connoître la plus grande hauteur à laquelle la bombe s'éleve sur l'horisontal A X (fig. 1. Planc. VIII. n°. 2.), il faut du point I milieu de A G, élever sur cette ligne la perpendiculaire I R, prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre la ligne de projection A F. On suppose qu'elle le fait en R. Si l'on coupe ensuite I R en deux également en K, ce point sera celui de la plus grande élévation de la bombe, & par conséquent I K sera la hauteur demandée.

Pour le démontrer, considérez que I R coupant A G en deux également, coupe de même A F en R, & que comme I R est la moitié de la ligne de chûte F G, I K moitié de I R est le quart de F G. Or le tems que la bombe emploie à parcourir A F par son mouvement de projection, est double de celui de A R; mais les espaces que la pesanteur lui fait parcourir, sont entr'eux comme les quarrés des tems; donc la ligne de chûte F G est quadruple de R K ou I K; donc I K exprime la plus grande élévation de la bombe sur l'horisontale A X.

Les principes précédens suffisent pour la résolution des différens problèmes qui concernent le jet des bombes, lorsque le plan où elles doivent tomber est de niveau avec la batterie. On peut aussi les appliquer aux plans élevés au - dessus de l'horison, ou inclinés au - dessous, mais d'une maniere moins générale, parce que dans ces deux derniers cas les portées ne sont point entr'elles comme les sinus des angles doubles de l'inclinaison du mortier. Nous ferons voir la maniere de faire cette application dans les problèmes suivans; mais auparavant nous allons donner le moyen de trouver l'angle de projection qui donne la plus grande portée de la bombe, soit que le plan sur lequel elle doit tomber soit élevé sur l'horison, ou incliné au - dessous.

Soient pour cet effet les figures 2 & 3. Planc. VIII. n°. 2. Nous supposerons dans la premiere que le plan A Y sur lequel la bombe doit tomber, est élevé sur l'horisontale A X de 20 degrés, & dans la seconde, que A Z est au - dessous, de la même quantité.

Cela posé, l'arc dont A E est la corde, sera de 40 degrés plus petit que la demi - circonférence; car l'angle N A E est égal à G A X formé par le plan incliné A Y, & l'horisontale A X: or E A N a pour mesure la moitié de l'arc N E; mais cette moitié étant de 20 degrés, par la supposition le double E N doit en avoir 40. Si l'on ôte ce nombre de 180 degrés, valeur de la demi - circonférence, il restera 140 degrés pour l'arc A L E, dont A E est la corde.

La perpendiculaire C L qui coupe la corde E A en deux également, coupe de la même maniere l'arc A L E; c'est pourquoi dans cet exemple l'angle L A G de la plus grande portée a pour mesure le quart de 140 degrés, c'est - à - dire 35 degrés.

Il est évident que les angles également au - dessus & au - dessous de cet angle, donneront les mêmes portées, ainsi que ceux qui different également de 45 degrés, lorsque le plan sur lequel la bombe doit tomber, est horisontal ou de niveau avec la batterie.

Si le plan A Z, fig. 3, est au - dessous de l'horisontale A X de 20 degrés, l'arc A L N E en aura 180 plus 40, c'est à - dire 220; le quart de ce nombre qui est 55, donnera dans cet exemple l'angle de projection de la plus grande portée de la bombe sur A Z.

Il est aisé de tirer de - là une regle générale pour avoir l'angle de la plus grande portée de la bombe sur un plan élevé sur l'horison ou incliné au - dessous d'une quantité connue.

Dans le premier cas, il faut ôter de 180 degrés le double de l'angle de l'élévation du plan, & prendre le quart du reste: dans le second, il faut ajoûter à 180 degrés le double de l'inclinaison du plan, & prendre également le quart de la somme qui en résulte; ou bien il faut dans le premier cas, ôter de 45 degrés la moitié de l'angle de l'élévation du plan, & ajoûter dans le second à 45 degrés la moitié de l'inclinaison du plan sous l'horison.

Problèmes. I. Ayant tiré une bombe sous un angle de projection pris à volonté, & connoissant la distance où elle aura été tomber sur un plan horisontal, trouver la force du jet.

Soit (fig. 4. Pl. VIII. n°. 2.) l'angle de projection F A Y, & G le point où la bombe aura tombé sur le plan horisontal A Y.

Comme on suppose que A G est connue, on trouvera par la Trigonométrie F G & A F, cherchant ensuite une troisieme proportionnelle à F G & A F, on aura la force du jet A F.

Si le plan est incliné au - dessus ou au - dessous de l'horison d'une quantité connue G A X, (fig. 5.) on connoîtra dans le triangle F A G, l'angle A G F, qui est égal à G A P, plus A P G, l'angle de projection F A G, & le côté A G; c'est pourquoi on viendra par la Trigonométrie à la connoissance des deux autres côtés A F & FG.

Si le plan est incliné au - dessous de l'horison, (fig. 6.) on connoîtra l'angle d'inclinaison X A Z, & par conséquent A G P, qui en est le complément; l'angle P A F formé par l'horisontale A X, & la ligne de projection A F est aussi connue. Donc G A F qui est égal à G A P, plus P A F, le sera également; or comme le côté A G est supposé connu, on connoît dans le triangle G A F un côté & les angles; c'est pourquoi on peut par la Trigonométrie venir à la connoissance des deux autres côtés G F & A F.

Les lignes de chûte & de projection, (fig. 5. & 6.) étant connues, on leur cherchera une troisieme proportionnelle, qui sera la force du jet E A.

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