"118"> qu'alors t croissant, u diminue; sur quoi voyez mon traité de Dynamique, articles 19 & 20. Or nommant e l'espace parcouru, on a u=(d e)/(d t) (voyez Vitesse); donc l'équation F d t= d u, donne aussi celle - ci F d t2= d d e; c'est - à - dire que les petits espaces que fait parcourir à chaque instant une force accélératrice ou retardatrice, sont entr'eux comme les quarrés des tems.

Cette équation F d t2= d d e, ou, ce qui revient au même, l'équation F d t= d u n'est point un principe de méchanique, comme bien des auteurs le croyent, mais une simple définition; la force accélératrice ne se fait connoître à nous que par son effet: cet effet n'est autre chose que la vitesse qu'elle produit dans un certain tems; & quand on dit, par exemple, que la force accélératrice d'un corps est réciproquement proportionnelle au quarré de la distance, on veut dire seulement que d u/d t est réciproquement proportionnel à ce quarré; ainsi F n'est que l'expression abregée de (d u)/(d t), & le second membre de l'équation qui exprime la valeur de (d u)/(d t). Voyez l'article Accélératrice & mon traité de Dynamique déjà cités.

L'équation (d d e)/(d t2)=F fait voir que pendant un instant l'effet de toute force accéleratrice quelconque est comme le quarre du tems; car la quantité variable F pouvant être censee constante pendant un instant, (d d e)/(d t2) est donc constant pendant cet instant, & par conséquent d d e est comme d t2. Ainsi pendant un instant quelconque les petits espaces qu'une force accélératrice quelconque fait parcourir, sont entr'eux comme les quarrés des tems ou plûtôt des instans correspondans; toute cause accélératrice agit donc dans un instant de la même maniere & suivant les mêmes lois que la pesanteur agit dans un tems fini; car les espaces que la pesanteur fait parcourir sont comme les quarrés des tems. Voyez Accélération & Descente. Donc si on nomme a l'espace que la pesanteur p feroit parcourir pendant un tems quelconque Q, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; formule générale pour comparer avec la pesanteur p une force accélératrice quelconque F.

Mais il y a sur cette formule une remarque importante à faire; elle ne doit avoir lieu que quand on regarde comme courbe rigoureuse la courbe qui auroit les tems t pour abscisses & les espaces e pour ordonnées; ou, ce qui revient au même, qui représenteroit par l'équation entre ses coordonnées l'equation entre e & t. Voyez Equation. Car si on regarde cette courbe comme polygone, alors d d e prise à la maniere ordinaire du calcul différentiel aura une valeur double de celle qu'elle a dans la courbe rigoureuse, & par conséquent il faudra supposer [omission: other; to see, consult fac-similé version], afin de conserver à F la même valeur. Voyez sur cela les mots Courbe polygone & Différentiel , page 988. col. 1. C'étoit faute d'avoir fait cette attention, que le célebre M. Newton s'étoit trompé sur la mesure des forces centrales dans la premiere édition de ses Principes; M. Bernoulli l'a prouvé dans les mémoires de l'académie des Sciences de 1711; on faisoit alors en Angleterre une nouvelle édition des principes de M. Newton; & ce grand homme se corrigea sans répondre. Pour mieux faire sentir par un exemple simple combien cette distinction entre les deux équations est nécessaire, je suppose F constante & égale à p; on aura donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] par la premiere équation; & en intégrant [omission: mormula; to see, consult fac-similé version]. Donc si t est=Q, on auroit e=a/2; ce qui est contre l'hypothèse, puisqu'on a supposé que a est l'espace decrit dans le tems S, & que par conséquent si t=Q, on aura e=a; au contraire en faisant [omission: mormula; to see, consult fac-similé version], on trouvera, comme on le doit, e=a. Cette remarque est très - essentielle pour éviter bien des paralogismes.

L'équation F d t=d u, donne F d e=u d u, à cause de d t=(d e)/u; donc u u=2 s F d e; autre équation entre les vitesses & les espaces pour les forces accélératrices. Donc si, par exemple, F est constant, on aura u u=2 F e; c'est l'équation entre les espaces & les vîtesses, dans le mouvement des corps que la pesanteur anime.

Forces centrales & centrifuges (Page 7:118)

Forces centrales & centrifuges. Nous avons donné la définition des forces centrales au mot Central* , & nous y renvoyons, ainsi qu'à la division des forces centrales en centripetes & centrifuges, selon qu'elles tendent à approcher ou à éloigner le corps du point fixe ou mobile auquel on rapporte l'action de la force centrale. Ce même mot de force centrifuge signifie encore plus ordinairement cette force par laquelle un corps mu circulairement tend continuellement à s'eloigner du centre du cercle qu'il décrit. Cette force se manifeste aisément à nos sens dans le mouvement d'une fronde; car nous sentons que la fronde est d'autant plus tendue par la pierre, que cette pierre est tournée avec plus de vîtesse; & cette tension suppose dans la pierre un effort pour s'eloigner de la main, qui est le centre du cercle que la pierre décrit. En effet la pierre mue circulairement tend continuellement à s'echapper par la tangente, en vertu de la force d'inertie, comme on l'a prouvé au mot Centrifuge. Or l'effort pour s'échapper par la tangente, tend à éloigner le corps du centre, comme cela est évident, puisque si le corps s'échappoit par la tangente, il s'eloigneroit toûjours de plus en plus de ce même centre. Donc l'effort de la pierre, pour s'échapper par la tangente, doit tendre la fronde. Veut - on le voir d'une maniere encore plus distincte? Le corps arrivé au point A (fig. 24. Méchaniq.) tend à se mouvoir par la tangente ou portion de tangente infiniment petite A D. Or par le principe de la décomposition des forces (voyez Décomposition & Composition), on peut regarder ce mouvement suivant A D comme composé de deux mouvemens, l'un suivant l'arc A E du cercle, l'autre suivant la ligne E D, qu'on peut supposer dirigée au centre. De ces deux mouvemens, le corps ne conserve que le mouvement suivant A E; donc le mouvement suivant E D est détruit; & comme ce mouvement est dirigé du centre à la circonférence, c'est en vertu de la tendance à ce mouvement que la fronde est bandée.

Un corps qui se meut sur toute autre courbe que sur un cercle, fait effort de même à chaque instant pour s'échapper par la tangente; ainsi on a nommé en général cet effort force centrifuge, quelle que soit la courbe que le corps décrit.

Pour calculer la force centrifuge d'un corps sur une courbe quelconque, il suffit de la savoir calculer dans un cercle; car une courbe quelconque peut être regardée comme composée d'une infinité d'arcs de cercle, dont les centres sont dans la développée. Voyez Développée & Osculateur. Ainsi connoissant la loi des forces centrifuges dans le cercle, on connoîtra celle des forces centrifuges dans une courbe quelconque. Or il est facile de calculer la force centrifuge dans un cercle; car suivant ce que nous avons

* N. B. Dans cet article, N°. 12. au lieu de raison inverse de la triplée, il faut lire raison sous - doublee de la triplée; & N°. 13. à la tin, il faut lire sinus pour cosinus.

Dans le cercle polygone on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; parce que regardant A D comme le prolongement d'un petit côté du cercle, on a D E:A E::A E est au rayon (A B/2; & dans cette même hypothèse on a F: [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; équation qui est la même que la précédente. On voit donc qu'en s'y prenant bien, la valeur de la force centrifuge se trouve la même dans les deux cas.

Si on appelle u la vîtesse du corps, & si on suppose u égale à la vitesse que le corps auroit acquise en tombant de la hauteur h, en vertu de la pesanteur p, on aura u u=2 p h. Voyez Accélération, Pfsanteur, & ce que nous avons dit ci - dessus à l'occasion de l'équation F d e=u d u. De plus on aura par la même raison [omission: formula; to see, consult fac-similé version] pour la vîtesse que le corps acquerroit en tombant de la hauteur a pendant le tems Q; & comme cette vîtesse feroit parcourir uniformément l'espace 2 a pendant le même tems Q (voyez Accélération & Descente), on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & voilà la démonstration du théorème que nous avons donné d'apres M. Huyghens au mot Central; car on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. On peut voir les consequences de ce théorème au même mot Central.

On lit dans certains ouvrages que la force centrifuge est égale au quarré de la vîtesse divisé par le rayon, & dans d'autres qu'elle est égale au quarré de la vîtesse divisé par le diametre: cette différence d'expressions ne doit point surprendre; car le mot égale ne signifie ici que proportionnelle, comme on l'a expliqué dans l'article Equation; cela signifie donc seulement que les forces centrifuges dans deux cercies différens sont comme les quarrés des vîtesses divisés par les rayons, ou ce qui est la même chose, par les diametres. Voyez le mot Equation à la fin.

Au reste la raison de cette différence apparente de valeur que les auteurs de Méchanique ont donnée à la force centrifuge, vient de ce qu'ayant pris la ligne D E pour représenter la force centrifuge, le tems d t étant constant, les uns ont considéré D E dans la courbe polygone, les autres dans la courbe rigoureuse. Dans le premier cas D E=A E2 divisé par le rayon; & dans le second D E=A E2 divisé par le diametre. Or A E est ici comme la vîtesse, puisqu'on suppose d t constant; donc au lieu de A E2, on peut mettre la quarré de la vîtesse. Donc, &c. Ces différentes observations contribueront beaucoup à éclaircir ce que les différens auteurs ont écrit sur les forces centrales & centrifuges.

Puisque 2 p h=u u, & que A B/2 est le rayon du cercle, il s'ensuit que si on fait ce rayon=r, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], soit que u & r soient constans, ou non; c'est - à - dire que l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], aura lieu dans toutc; les courbes, u étant la vîtesse en un point quelconque, & r le rayon de la developpée. Remarquez que la force centrifuge F est ici supposée dirigee par rapport au centre du cercle osculateur, qui est le point où le rayon osculateur touche la développée. Si on veut que la force, centrifuge ou centrale, soit dirigée vers un autre point quelconque, soit F cette nouvelle force, soit k le cosinus de l'angle que le rayon memé à ce point fait avec le rayon osculateur; alors regardant la force F comme composée de la force F, & d'une autre force dirigée suivant la courbe, on trouvera facilement par le principe de la décomposition des forces, F:F::1:K, en prenant 1 pour le sinus total; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: c'est la formule générale des forces centrales & centrifuges dans une courbe quelconque.

Qu'on nous permette à ce sujet une réflexion philcsophique sur les progrès de l'esprit humain. Huyghens a decouvert la loi des forces centrales dans le cercle; le même géometre a découvert la théorie des développées. L'on vient de voir qu'en réunissant ces deux théories, on en tiroit par un corollaire tres - facile la loi des forces centrales dans une courbe quelconque: cependant Huyghens n'a pas fait ce dernier pas qui paroit aujourd'hui si simple; & cela est d'autant plus étonnant, que les deux pas qu'il avoit faits étoient beaucoup plus difficiles. Newton, en généralisant la théorie de Huyghens, a trouvé le théorème général des forces centrales qui l'a conduit au vrai système du monde; comme il a trouvé le calcul différentiel, en ne faisant que généraliser la méthode de Barrow pour les tangentes; méthode qui étoit, pour ainsi dire, infiniment proche du calcul différentiel. C'est ainsi que les corollaires les plus simples des vérités connues, qui ne consistent qu'à rapprocher ces vérités, échappent souvent à ceux qui sembleroient avoir le plus de facilité & de droit de les déduire; & rien n'est plus propre que l'exemple dont on vient de faire mention, pour confirmer les réflexions que nous avons faites sur ce point au mot Découverte.

Dans la formule que nous avons donnée ci - dessus pour les forces centrales, nous faisons abstraction de la masse du corps; & si on veut faire attention à cette masse, il est évident qu'il faudra multiplier l'expression de la force centrale par la masse du corps; ou ce qui peut - être est encore plus simple, au lieu de regarder p comme la pesanteur, on regardera cette quantité comme le poids du corps, qui n'est autre chose que le produit de la pesanteur ou gravité par la masse. Nous faisons cette remarque, afin qu'on ne soit point embarrassé à la lecture de l'article Central, par la considération de la masse que nous avons fait entrer dans le calcul des forces dont il s'agit.

Ajoûtons que si on veut une autre expression de la force centrifuge F, que celle que nous avons donnée. on peut se servir de celles - ci qui seront commodes en plusieurs cas.

On a trouvé [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; or comme le cercle est supposé décrit uniformément, on peut, au lieu de A E/d t, mettre un arc quelconque fini A divisé par le tems t employé à le parcourir; donc on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Si on fait t=Q, ce qui est permis, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. De plus, si on nomme l la longueur d'un pendule qui fait une vibration dans le tems Q, & 2 P le rapport de la circonference au rayon, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Voyez Pendule & Vibration. Donc F

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