"330"> je pose 5 & retiens 2; puis je multiplie une fois les dixaines 2 par les unités 5, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] lorsque je dis 5X2 font 12, que je pose à gauche de mon 5.

Je multiplie une seconde fois les dixaines 2 par les unités 5, lorsque je dis 2X5 font 10, je pose o & retiens 1. Enfin je multiplie les dixaines 2 par elles - mêmes, ce qui me donne le quarré de ces dixaines, en disant, 2X2 font 4, & 1 de retenue font 5, que je pose à gauche du o. J'ajoûte ces sommes, & j'ai le produit 625 dont on propose de tirer la racine quarrée; c'est - à - dire qu'il s'agit de trouver le nombre qui, multiplié par lui - même, a formé le quarré 625. Mais avant que de commencer cette opération, on doit avoir la table suivante sous ses yeux, ou plûtôt dans sa mémoire.

       Racines.  Quarrés.  Cubes.
             1               1                 1
             2               4                 8
             3               9                27
             4              16                64
             5              25               125
             6              36               216
             7              49               343
             8              64               512
             9              81               729
             10            100              1000

Cela posé, je partage mon nombre total 625 en deux tranches, comme l'on voit ci - à - côté. La premiere tranche à gauche qui pourroit avoir deux chiffres, peut aussi n'en avoir qu'un; mais toutes les autres tranches à droite sont nécessairement de deux chiffres; & pour le démontrer, prenons les plus petits chiffres possibles, par exemple 100. Si on multiplie 100 par 100, on aura le quarré 1,00,00 en trois tranches, dont la premiere à gauche n'a qu'un chiffre, tandis que les autres en ont deux. Prenons à - présent les plus grands chiffres possibles, 999. Si on les multiplie par eux - mêmes, on aura le quarré 99, 80, 01, qui fait trois tranches chacune de deux chiffres, & non davantage. Au surplus les différentes tranches, suivant le système de la progression décuple, expriment les unités, dixaines, centaines, &c. de la racine totale.

Ces premieres notions une fois établies, je dis: la racine quarrée de 6 est 2 pour 4; voilà déjà nos dixaines trouvées; je les pose en forme de quotient à côté de 625, comme l'on voit dans l'exemple: puis je les quarre en disant, 2X2 font 4, & je tire ce quarré 4 de la premiere tranche 6, disant, 4 de 6 reste 2.

Il faut observer que ces deux dixaines dont j'ai formé le quarré font 20; & qu'ainsi en disant 2X2 font 4, 4 de 6 reste 2, c'est comme si je disois 20 X20 font 400, 400 de 600 reste 200.

Je baisse à - présent le 2 de la seconde tranche 25; ce qui fait avec mon premier 2, résidu de mon 6, 22. Je m'attache ensuite à chercher le second chiffre de la racine totale; & comme dans le produit de la multiplication ci - dessus exposée, j'ai employé deux fois les dixaines 2, autrement une fois 4 dixaines multipliées par les unités 5, j'y dois trouver la même somme ou quantité, en décomposant, pour l'extraction de la racine.

Je prends donc deux fois les dixaines 2, ce qui fait 4 dixaines: j'écris ce 4 sous le 2 de ma seconde tranche, & je dis: en 22 combien de fois 4? il y est 5 & reste 2, qui avec le 5 de la seconde tranche, que je n'ai point baissé, pour éviter l'embarras, fait 25, c'est - à - dire le quarré juste des unités 5 que je cherchois, & que je viens de trouver pour second chiffre de la racine totale 25: je pose donc 5 en forme de quotient à côté du 2 déjà trouvé auparavant.

Je forme le quarré 25 de ces unités 5, puis je multiplie les mêmes unités 5 par le double 4 des dixaines 2, & je tire ces deux produits de ma derniere tranche & du réfidu de la premiere, c'est - à - dire de 225, ci . . . . . . . 225 en disant 5X5 font 25, 25 de 25 reste 0 000 & retiens 2; 5X4 font 20 & 2 de retenus font 22, 22 de 22 reste 0.

Ces deux produits se tirant exactement sans aucun reste, je conclus que la racine quarrée de 625 est tout juste 25. Pour derniere preuve je multiplie 25 par 25; & retrouvant le produit 625, je demeure pleinement convaincu que mon opération est exacte.

Mais voici une autre méthode que je préfere, à plusieurs égards. On commence l'opération à l'ordinaire pour la premiere tranche; la différence ne paroît qu'à la seconde, & elle est la même dans toutes les suivantes. Au lieu donc de tirer deux fois nos dixaines 2, c'est - à - dire 4 dixaines, & de dire, comme on fait communément, pour trouver le second chiffre d'une racine, en 22 combien de fois 4, il y est 5; ne prenons que la moitié 11 du nombre 22; ne prenons aussi que la moitié de nos 4 dixaines, c'est - à - dire, ne tirons qu'une fois nos dixaines 2 de notre moitié 11. Ecrivons 2 sous 11 en cette sorte, & disons, en 11 combien de fois 2, il s'y trouve 5 fois, comme 4 s'est trouvé 5 fois en 22, 2 étant à 11 comme 4 à 22.

Je pose donc 5 pour second chiffre de la racine totale du quarré 625; mais comme ce 5 pourroit quelquefois être trop fort, je le pose séparément, comme chiffre que je dois éprouver: & alors, pour vérifier s'il est bon, & sans examiner si je pourrai tirer du dernier résidu le quarré 25 des unités 5, quarré qui doit encore se trouver en 625, puisqu'il y est entré par la multiplication; je procede tout de suite à la preuve: pour cela je multiplie 25 par 25; & trouvant au produit 625, je m'assûre que la racine quarrée de 625 est tout juste 25.

Si la somme à décomposer, ou dont on cherche la racine, au lieu de 625 n'étoit, par exemple, que 620, pour lors le procédé donneroit encore 25 pour racine totale; mais venant à la preuve, & multipliant 25 par 25, on auroit le produit 625 plus fort que 620: on verroit par - là que le chiffre à éprouver 5, qu'on auroit mis pour second chiffre de la racine totale, seroit un peu trop fort. On mettroit donc 4, & l'on en feroit l'épreuve en multipliant 24 par 24, on tireroit le quarré 576 de 620, en cette sorte, & l'on verroit pour lors avec certitude que la racine quarrée de 620 est 24, ou - tre le résidu 44, qui fait une espece de fraction dont il ne s'agit pas ici.

Si après avoir mis 4 pour second, troisieme, quatrieme chiffre d'une racine, ce 4 se trouvoit encore trop fort par l'épreuve qu'on en feroit, alors au lieu de 4 on ne mettroit que 3, & l'on viendroit à la preuve, comme on a vû ci - dessus.

Cette maniere d'extraire est préférable, en ce qu'elle diminue les nombres sur lesquels on opere, & qu'il y a toûjours moins à tâtonner. C'est - là proprement l'avantage de cette méthode, laquelle est sur - tout bien commode pour l'extraction de la racine cubique, où elle abrege beaucoup l'opération; c'est pourquoi il est bon de s'y accoûtumer dès la racine quarrée, il est plus facile de l'employer ensuite dans l'extraction de la racine cubique.

Au reste la démonstration qu'on vient de voir de [p. 331] l'extraction de la racine quarrée, & que je n'applique ici qu'à un quarré de deux tranches dont la racine ne contient que des dixaines & des unités; cette démonstration, dis - je, convient également à un nombre plus grand, dont la racine contiendroit des centaines, des mille, &c. en y appliquant les décompositions & les raisonnemens qu'on a vûs ci - dessus. Il suffit, en Arithmétique, de convaincre & d'éclairer l'esprit sur les propriétés & les rapports des petits nombres que l'on découvre par - là plus facilement, & qui sont absolument les mêmes dans les plus grands nombres, quoique plus difficiles à débrouiller.

D'ailleurs je n'ai prétendu travailler ici que pour les commençans, qui ne trouvent pas toûjours dans les livres ni dans les explications d'un maître de quoi se satisfaire, & je suis persuadé que plusieurs verront avec fruit ce que je viens d'exposer ci - dessus. Si quelques - uns n'en ont pas besoin, je les en félicite, & les en estime davantage.

Le plus grand résidu possible d'une racine quarrée, est toûjours le double de la racine même; ainsi la racine quarrée de 8 étant 2 pour 4, le plus grand résidu possible de la racine 2 est 4, double de 2.

La racine quarrée de 15 étant 3 pour 9, le plus grand résidu possible de la racine 3 est 6, double de 3.

La racine quarrée de 24 étant 4 pour 16, le plus grand résidu possible de la racine 4 est 8, double de 4, & ainsi de tous les autres cas.

De la racine cubique. On peut dire à - peu - près de la racine cubique ce que nous avons dit de la racine quarrée; extraire la racine cubique, c'est décomposer un nombre quelconque, de façon que l'on trouve un nombre moindre, lequel étant multiplié d'abord par lui - même, & ensuite par son quarré, ou par le produit de la premiere multiplication, donne exactement le premier nombre proposé, ou du moins en approche le plus qu'il est possible. Ainsi extraire la racine cubique de 15625, c'est trouver par une décomposition méthodique la racine cubique 25, laquelle étant multipliée d'abord par elle - même, produit le quarré 625, & multipliée une seconde fois par son quarré 625, forme le cube 15625.

On a trouvé, en examinant les rapports & la progression des nombres, que cette multiplication double de 25 par 25, & de 25 par son quarré 625, produit premierement le cube des dixaines 2 du nombre proposé 25; cube qui fait 8000, parce que le 2 dont il s'agit est 20. Or 20X20 font le quarré 400, 20X400 font le cube 8000.

Secondement, cette cubification produit le triple du quarré des dixaines 2, multiplié par les unités 5, ce qui fait 6000; & cela, parce que le 2 dont il s'agit est véritablement 2 dixaines 20. Or en le quarrant, & disant 20X20, on a 400, en triplant ce quarré 400, on a 1200, en multipliant ce produit 1200 par les unités 5, on a 6000.

Troisiemement, cette cubification de 25, & ainsi à proportion de toute autre, produit le triple 60 des dixaines 2; triple 60 multiplié par le quarré 25 des unités 5, ce qui fait 1500.

Enfin cette cubification produit le cube 125 des unités 5. Ces quatre produits partiels, savoir:

     1°. Le cube des dixaines  . . . . . . .  8000
     2°. Le triple du quarré des dixaines 2
       multiplié par les unités 5. . . . . .  6000
     3°. Le triple des dixaines 2 multiplié par
       le quarré 25 des unités 5 . . . . . .  1500
     4°. Le cube des unités 5. . . . . . . .   125
Ces produits forment, dis - je, le cube total..15625

Au reste la génération de ces divers produits est plus difficile à démontrer dans les deux multiplications que l'on employe pour former un nombre cube, que dans la seule multiplication que l'on employe pour former un nombre quarré. La raison en est, que dans ces deux multiplications les produits partiels se confondant entr'eux, & rentrant les uns dans les antres, on ne les découvre guere que par la décomposition, au moins tant qu'on employe l'arithmétique vulgaire.

On sait par la pratique & par l'examen, que ces divers produits résultent nécessairement de ces deux multiplications par une propriété qui leur est essentielle, & qui suffit, lorsqu'elle est connue, pour convaincre & pour éclairer. Il ne s'agit donc que de savoir procéder à la décomposition d'un nombre quelconque, & d'en tirer ces différens produits d'une maniere facile & abrégée, ce qui a son utilite dans l'occasion.

Par exemple, on dit qu'un bloc de marbre quarré de tous sens a 15625 pouces cubes; & sur cela on demande quelle est sa longueur, largeur, & profondeur. Je le trouve, en tirant la racine cubique de 15625. Pour cela je partage ce nombre en deux tranches, dont la premiere à gauche n'a que deux chiffres, la seconde en a trois. La premiere tranche à gauche peut avoir trois, ou deux, ou même un seul chiffre; mais les suivantes doivent toûjours être completes, & toûjours de trois chiffres, ni plus, ni moins: c'est ce que l'on peut vérifier aisément par le produit cubique des nombres 100 & 999; produit qui donne d'un côté 1,000,000, & de l'autre 997,002,999.

Je dis donc, la racine cubique de 15 est 2 pour 8; j'écris 2 en forme de quotient, comme l'on voit ci - à - côté; puis je tire de la premiere tranche 15 le cube de ce 2, en disant 2X2 font 4, 2X4 font 8, c'est - à - dire 8 mille: or 8 mille tirés de 15 mille, reste 7 mille que j'écris au - dessous de 15, comme l'on voit dans l'exemple.

Ensuite, pour trouver le second chiffre de la racine totale, & ainsi du troisieme, quatrieme, &c. en supposant le nombre à décomposer beaucoup plus grand, je baisse le 6 de la seconde tranche, lequel avec le 7 résidu de la premiere à gauche fait 76; puis je prens 12 triple du quarré du premier chiffre trouvé 2, j'écris ce nombre 12 sous 76; & je dis, en 76 combien de fois 12, il y est 6 pour 72, & reste 4, lequel avec les 25 qui restent de la seconde tranche, fait 425, sur lesquels je dois tirer le triple du premier chiffre 2 dixaines, c'est - à - dire 60 multiplié par le quarré 36 du second chiffre trouvé, ou chiffre éprouvable 6, dont le produit 2160 ne se peut tirer du reste 425, sans parler du cube 216 du même chiffre 6; cube qui devroit encore être contenu dans le reste 425.

Je vois donc que le chiffre à éprouver 6 que j'ai trouvé pour second chiffre de la racine totale, & que j'avois mis à part, ne convient en aucune sorte. J'éprouve donc le chiffre 5; & pour cela je dis 5X12 font 60, 60 tirés de 76, reste 16, lesquels avec le reste 25 de la second tranche font 1625

Je forme à présent le triple du premier chiffre 2 dixaines, c'est - à - dire 60 multiplié par le quarré 25 du second chiffre 5, je tire le produit 1500 de 1625, après quoi reste 125; ce qui fait justement le cube des unités 5, que je dois encore tirer.

Je vois par - là que la racine cubique du nombre 15625 est 25 sans reste, & qu'ainsi je puis poser 5 en forme de quotient pour second chiffre de la racine totale.

Pour derniere preuve je prends le cube de 25; &

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