"332"> retrouvant 15625, je ne puis plus douter que mon opération ne soit exacte.

Mais sans tirer tous ces produits partiels ensemble ou séparément, on peut prendre un chemin plus court, comme on l'a marqué en parlant de la racine quarrée; on dira donc, en se servant du nombre proposé, la racine cubique de 15 est 2 pour 8; j'écris 2 en forme de quotient, j'en forme le cube 8 que je tire de la premiere tranche 15, en disant 2X2 font 4, 2X4 font 8; 8 de 15, reste 7. Voilà l'opération faite pour la premiere tranche, & le cube du premier chiffre 2 tiré.

Pour trouver maintenant le second chiffre de la racine totale, & ainsi du troisieme, quatrieme, &c. en supposant le nombre proposé plus grand; je ne triple point, comme ci - devant, le quarré 4 du premier chiffre 2, ce qui feroit 12. Je ne prens que le tiers de cette somme, c'est - à - dire que je prens simplement le quarré 4 du chiffre 2, sans le tripler. En récompense, & pour conserver la proportion, après avoir baissé le premier chiffre 6 de la seconde tranche, lequel avec le 7 résidu de la premiere fait 76: je n'en prens que le tiers 25; de même qu'au lieu de 12, je ne prens que 4; j'écris ce 4 sous 25, comme on voit ci - dessus; & pour lors je dis, en 25 combien de fois 4, il 6 est 6, comme 12 est six fois en 76. Je pose donc 6 pour second chiffre de ma racine; mais comme 6 n'est proprement qu'un chiffre à éprouver, dont je ne suis pas sûr; je le pose à l'écart pour m'en souvenir, & je fais mon épreuve.

Ayant donc trouvé 26 pour racine totale, je vois bien qu'il y a un résidu dans le nombre proposé; résidu qui doit satisfaire aux deux autres produits que je néglige de tirer: savoir le triple du premier chiffre 2 dixaines, ou 60 multiplié par le quarré 36 du chiffre à éprouver 6; plus le cube 216 du même 6. Mais encore un coup je néglige la formation & la soustraction de ces derniers produits qui sont les moins considérables; & dès que j'ai trouvé un nombre pour le second, troisieme, ou quatrieme chiffre d'une racine, je procede à la cubification de tous les chiffres que j'ai trouvés pour racines; & je tire le produit, s'il est possible, de toutes les tranches dont j'ai fait l'extraction.

Ainsi, dans l'exemple proposé ayant trouvé 26, je cubifie 26, c'est - à - dire que je multiplie 26 par lui - même, & que je multiplie ensuite le quarré 676 par le même 26; & trouvant alors 17576 pour cube de 26, je vois que je ne le saurois tirer de mes deux tranches 15625, ce qui m'est une preuve que le chiffre à éprouver 6 de la racine trouvée 26 est trop fort. Je prens alors le chiffre inférieur 5 pour l'éprouver, ce qui fait la racine totale 25. Je cubifie ce dernier nombre 25; & trouvant le produit ou le cube 15625, qui se peut tirer sans reste des deux tranches 15 - 625, je vois avec évidence que la racine cubique de 15625 est tout juste 25.

Si le nombre proposé au lieu de 15625, n'etoit que 15620, le procédé donneroit encore 25 pour racine; mais alors le cube 15625 de la racine 25, ne se pouvant tirer de 15620, je verrois évidemment que 25 n'est pas au juste la racine cubique de 15620; je mettrois donc pour second chiffre 4 au lieu de 5, ce qui feroit 24 pour racine totale; je l'éleverois au cube, & je tirerois le cube 13824 de 15620; & pour lors je verrois, à n'en pouvoir douter, que la racine cubique de 15620 est 24, outre le reste 1796, lequel fait une espece de fraction dont on peut tirer la ratine cubique par des procédés connus; mais dont je ne parlerai point ici, pour ne pas alonger davantage ce morceau qui paroîtra peut - être déjà trop étendu.

Au reste, ce qu'on vient d'exposer ici sur de petits nombres, peut s'appliquer à tous les autres cas, & pourra même répandre quelque lumiere sur ces opérations difficiles que je n'ai point encore vûes traitées d'une maniere satisfaisante, & que j'ai fait comprendre à des enfans de dix ans par le seul moyen de l'arithmétique employée ci - dessus.

Le plus grand résidu possible d'une racine cubique est la racine elle - même multipliée par 6, & outre cela le plus grand résidu possible de la racine immédiatement inférieure. Par exemple, la racine cubique de 26 étant 2 pour 8, le résidu 18 est le plus grand résidu possible de la racine 2. Or ce résidu est formé du sextuple 12 de la racine 2, & du plus grand résidu possible 6 de la racine inférieure.

La racine cubique de 63 étant 3 pour 27, le résidu 36 est le plus grand résidu possible de la racine 3; or ce résidu est formé du sextuple 18 de la racine 3, & du plus grand résidu possible 18 de la racine inférieure

La racine cubique de 124 étant 4 pour 64, le résidu 60 est le plus grand résidu possible de la racine 4, or ce résidu est forme du sextuple 24 de la racine 4, & du plus grand résidu possible 36 de la racine inferieure 3; & ainsi des autres. Cet article est de M. Faiguet, maître de pension à Paris.

Lorsqu'un nombre n'a pas de racine exacte, il est facile d'approcher aussi près qu'on veut de la racine par le moyen du calcul décimal, sur quoi voyez les articles Approximation & Décimal. Il ne s'agit que d'ajoûter au nombre proposé un certain nombre de zéros, & d'extraire ensuite la racine à l'ordinaire.

Il y a des cas, tels que ceux où la racine n'est pas exacte, où il est plus commode d'indiquer l'extraction. Alors on se sert de ce signe [omission: formula; to see, consult fac-similé version], auquel on ajoûte l'exposant de la puissance, s'il ne s'agit pas de la puissance seconde, car dans ce cas on le sousentend quelquefois. Ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version] signifient racine quarrée; [omission: formula; to see, consult fac-similé version], racine cubique, &c. Voyez Racine.

Au lieu d'extraire la racine quarrée - quarrée, on peut extraire deux fois la quarrée, parce que [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Au lieu d'extraire la racine cubo - cubique, on peut extraire la racine cubique, & ensuite la racine quarrée, car [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Il y en a qui n'appellent point ces racines cubo - cubiques, mais quadrato - cubiques. Il faut observer la même regle dans les autres cas, où les exposans des puissances ne sont pas des nombres premiers entr'eux.

Preuve de l'extraction des racines. 1°. Preuve de la racine quarrée. Multipliez la racine trouvée par elle - même; ajoûtez au produit le reste, s'il y en a un; & dites que l'opération a été bien faite, si vous avez une somme égale à celle dont on vous avoit propose d'extraire la racine quarrée.

2°. Preuve de la racine cubique. Multipliez la racine trouvée par elle - même, & le produit par là racine. Ajoûtez à ce dernier produit le reste, s'il y en a un; & concluez que l'extraction a été bien faite, s'il vous vient une somme égale à celle dont vous aviez à extraire la racine cubique.

Il n'y a point d'extractions de racines, dont la preuve ne se fasse de cette maniere.

Extraire les racines des quantités algébriques. Le signe radical annonce seul d'une maniere évidente l'extraction des racines des quantités algébriques sinples. Ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est a, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est ac, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est 3ac, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est 7aax. Pareillement [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [p. 333] est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. On a aussi [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & 3c [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Je dis que dans ces cas l'extraction est évidente; parce qu'on voit du premier coup - d'oeil que les quantités proposées ont été engendrées par la multiplication des racines qu'on leur attribue, & que aa=aXa, aacc=acXac, 9aacc=3acX3ac, &c. Mais lorsque les quantités algébriques sont complexes ou sont composées de plusieurs termes, alors l'extraction s'en fait comme celle des nombres.

Soit proposé d'extraîre la racine quarrée de aa+ 2ab+bb. Ecrivez d'abord à la racine la racine quarrée du premier terme aa, savoir a. Soustrayez le quarré de a, il restera 2ab+bb. Pour trouver le [omission: formula; to see, consult fac-similé version] reste de la racine, divisez le second terme 2ab, par le double de a ou par 2a; & dites en 2ab, combien de fois 2a, vous trouverez b de fois; b sera donc le second terme de la racine cherchée. Multipliez b par 2a+b, & soustrayez le produit. La soustraction faite, il ne reste rien: d'où il s'ensuit que a+b est la même racine exacte de aa+2ab+bb.

Soit proposé d'extraire la racine quarrée de a4+ 6a3b+5aabb - 12ab3+4b4. Mettez d'abord au quotient la racine quarrée aa du premier terme a4. Soustrayez le quarré de aa, il restera 6a3b+ 5aabb - 12ab3+4b4. Dites en 6a3b, combien de fois 2aa, vous trouverez 3ab; écrivez donc 3ab à la racine. Multipliez 3ab par 2aa+3ab, & soustrayez le produit 6a3b+9aabb. La soustraction faite, il restera - 4aabb - 12ab5+4b4. Continuez l'opération, & dites derechef en<-> 4aabb - 12ab3, combien de fois 2aa+6ab, ou le double des deux premiers termes, vous trouverez - 2bb. Ecrivez donc à la racine - 2bb; multipliez - 2bb par 2aa+6ab - 2bb, & soustrayez ce produit. La soustraction faite, il ne restera plus rien.

D'où il s'ensuit que la racine cherchee est aa+ 3ab - 2bb. Voici l'opération tout au long. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Pareillement la racine quarrée de [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; celle de y4+4y3 - 8y+4=2y+2y - 2; celle de 16a4 - 24aaxx+9x4+12bb x x - 16aabb+4b4=3xx - 4aa+2bb: comme il paroît par ce qui suit. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Soit proposé d'extraire la racine cubique de a3 +3aab+3abb+b3. Voici comment cette opération se fait. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Extrayez la racine cubique du premier terme a3, & vous aurez a; mettez donc a à la racine. Soustrayez le cube de a ou a3, il restera 3aab+3abb +b3. Dites: combien de fois le quarré de a multiplié par 3, est - il dans 3aab? Il vous viendra b de fois; écrivez donc b à la racine. Soustrayez de a3+3aab +3abb+b3, le cube de a+b. La soustraction faite, il ne vous restera plus rien; donc a+b est la racine que vous cherchiez. Pareillement z+2z - 4 sera la racine cubique de z6+6z5 - 40z3+96z - 64; & ainsi des racines des puissances plus élevées. (E)

Sur l'extraction des racines des équations, voyez Cas Irréductible, Equation, Racine , &c.

On peut extraire facilement par logarithmes les racines des quantités numériques; c'est la méthode de tous les calculateurs. Voyez Logarithme.

Extraire la racine d'une quantité irrationnelle. Soit, par exemple, [omission: formula; to see, consult fac-similé version], dont on veut extraire la racine quarrée, on supposera que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] soit la racine cherchée, & on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & faisant les parties rationnelles égales aux rationnelles, & les irrationnelles aux irrationnelles, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; d'où l'on tire x2 [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc yy - 3y= - 2, & y [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou 2; donc x2=1 ou 2; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], est la quantité cherchée. On peut appliquer cette méthode aux cas plus composés. Voyez la science du calcul du P. Reyneau, l'Analyse démontrée du même auteur, l'Algebre de M. Clairaut, & d'autres ouvrages.

C'est par cette méthode d'extraire les racines des quantités irrationnelies, qu'on trouve souvent la racine commensurable d'une équation du troisieme degré; car [omission: formula; to see, consult fac-similé version] exprimant la racine d'une telle équation, si on trouve [omission: formula; to see, consult fac-similé version] pour la racine cubique de [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sera la racine cubique de [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; ainsi la racine cherchée de l'équation sera 2x; mais lorsque la racine est commensurable, il est plus court de la chercher par le moyen des diviseurs du dernier terme.

En général l'artifice de la méthode pour extraire les racines des quantités irrationnelles, c'est de les supposer égales à un polynome composé de radicaux & de quantités rationnelles inconnues, selon qu'on le jugera le plus convenable. On formera ensuite autant d'équations qu'on aura pris d'inconnues; & chau cune de ces équations doit avoir des racines commensurables, si le polynome qui représente la racine a été bien choisi. Ainsi la résolution de ces équations n'aura aucune difficulté.

Au reste le mot extraction se dit plus proprement & plus ordinairement de l'opération par laquelle on trouve les racines des quantités algébriques ou nu<pb->

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