"854"> duisons la question. La formule est=0 dans le cas de l'égalité de certaines racines; soit cette formule appellée P. Supposons maintenant les racines inégales, en sorte que 2 t soit leur différence (c'est - à - dire que+t doive être ajoûté à l'une, & - t à l'autre), en ce cas la formule deviendra P+Rt+Stt+ Qt3, &c. R, S, Q, désignant des quantités connues: or, pour que la méthode de M. Fontaine ait lieu dans tous les cas, il faut, 1°. que R ne soit jamais=0, ou du moins que si R=0, S le soit aussi, en un mot que t se trouve toûjours à une puissance impaire dans le premier des coefficiens; autrement t étant supposé très - petit, les deux formules seroient l'une & l'autre > ou < o, t étant positif ou négatif: 2°. qu'en supposant t positif, Rt+Stt+Qt3, &c. soit toûjours du même signe, t ayant telle valeur qu'on voudra: 3°. qu'en supposant t négatif, Rt+ Stt+Qt3, &c. soit toûjours de signe contraire au précédent, t ayant telle valeur qu'on voudra. Ces trois propositions démontrées, il ne restera plus de doute sur la généralité & la certitude de la méthode proposée par M. Fontaine.

Il seroit encore à souhaiter que l'auteur donnât une démonstration de la méthode qu'il propose, pour approcher, aussi près qu'on veut, des racines des équations; il semble supposer encore dans l'exposé de cette méthode, que quand une certaine valeur de F rend=0 une quantité ou fonction de F, deux autres valeurs de F, l'une plus grande, l'autre plus petite, donneront l'une moins ou plus que zéro, l'autre plus ou moins que zéro. Cela n'est pas vrai en général, mais cela pourroit l'être dans le cas particulier de M. Fontaine; & c'est ce qu'il seroit bon de prouver. Voyez l'article Racine.

Il nous reste à faire quelques réflexions sur les équations appliquées à la Géométrie. Nous avons indiqué au mot Découverte, par quel raisonnement Descartes est parvenu à appliquer les équations indéterminées aux courbes; les mots Courbe, Différentiel, Tangente , &c. & autres semblables, font voir en détail les applications & les conséquences de ce principe. On a vû aussi au mot Construction, comment on construit les équations par la Géométrie. Il ne nous reste ici qu'un mot à dire sur la multiplicité des racines des équations en Géométrie. Les observations que nous avons à faire sur ce sujet, sont une suite de celles que nous avons déjà faites sur les racines multiples des équations algébriques.

Supposons, par exemple, qu'on propose de diviser une ligne a en moyenne & extrème raison, nommant x la partie cherchée de cette ligne, on aura a: x::x:a - x; d'où l'on tire xx+ax=aa, & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; la racine négative de cette équation ne sauroit servir ici, mais elle serviroit à la solution de ce problème, trouver dans le prolongement de la ligne donnée a une ligne x, telle que a:x:: x:a+x; dans ce cas la racine négative devient positive, & la positive négative; & l'équation est xx - ax=aa.

Si on propose de tirer du point A une ligne AE (fig. 11. d'Algeb.) dans un cercle, telle que BO étant perpendiculaire au diametre AD, & donnée de position, on ait FE=à une ligne donnée a, on aura en nommant BF, x, une équation du quatrieme degré qui n'aura ni second, ni quatrieme terme; cette équation aura deux racines positives BF & Bf, telles que FE d'une part, & fe de l'autre, seront égales à a; & deux autres racines égales aux deux précédentes & de signes contraires, parce qu'en achevant le cercle, & prolongeant OB en - dessous, le problème aura deux solutions pareilles; si a étoit plus grand que BD, les racines seroient imaginaires.

Si on nommoit AF, x, BO, b, AC, r, AB, c, on auroit bb - xx+cc=ax ou 2rc=xx+ax; la racine positive est AF, & la négative Af, parce que cette racine négative, si on la traitoit comme positive, donneroit ax=Bf2 - BO2=xx - bbcc=xx - 2rc, & non pas ax=BO2 - BF2. Voilà un cas où deux racines de différens signes n'indiquent pas des positions diamétralement opposées dans les lignes AF, Af, qui représentent ces racines, mais seulement le changement de signe du second terme ax dans l'équation du problème.

Dans ce dernier cas, c'est - à - dire en prenant AF pour l'inconnue, l'équation n'est que du second degré, au lieu qu'en prenant BF pour inconnue, elle monte au quatrieme; d'où l'on voit comment par le bon choix des inconnues on peut simplifier un problème en plusieurs occasions. Mais, dira - t - on, pourquoi le problème a - t - il quatre solutions dans un cas, & deux seulement dans un autre? Je réponds que dans le dernier cas il a aussi quatre solutions comme dans le premier; ou pour parler plus exactement, que BF a quatre valeurs dans les deux cas; car [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ce qui donne deux valeurs égales de différent signe pour chaque valeur de AF. Voyez encore d'autres observations sur un problème de ce genre à l'article Situation.

Autre question. On propose d'inscrire dans un rectangle donné ABDE (fig. 11. alg. n. 2.) un rectangle abde, dont les côtés soient également éloignés des côtés du grand, & qui soit à ce grand rectangle comme m est à n: soit AB=a, AD=b, AC=x, on aura (a - 2x)x(b - 2x): ab::m: n, & on trouvera par la résolution de cette équation, qu'en supposant m < n, x a deux valeurs réelles & positives; cependant le problème n'a évidemment qu'une solution, mais il renferme une condition que l'Algebre ne peut pas énoncer, savoir que le rectangle abde soit au - dedans de l'autre: si on avoit ab: (2x - a) (2x - b)::n:m, on trouveroit la même équation, & cependant ce ne seroit plus le même problème. Le parallélogramme rectangle qui satisferoit à cette question, seroit alors celui qu'on voit, fig. 11. n. 3. dans lequel AC est égal à la plus grande valeur positive de x, & AC=Ca; le côté ad est éloigné de AD comme le côté ca de AB, & ainsi du reste; mais le rectangle abcd n'est pas au - dedans de l'autre; condition que l'Algebre ne peut exprimer. Voyez Situation.

Sur les équations différentielles, exponentielles, &c. voy. Différentiel, Exposant, Exponentiel, Intégral, Construction , &c.

On appelle quelquefois équation, en Géométrie & en Méchanique, ce qui n'est qu'une simple proportionnalité indiquée d'une maniere abrégéc; par exemple, quand on dit qu'un rectangle est égal au produit de sa base par sa hauteur, cela signifie explicitement: si on a deux rectangles, & qu'on prenne une quantité quelconque linéaire a pour la mesure commune de leur base & de leur hauteur; que B soit le nombre de fois (entier ou rompu, rationnel ou irrationnel) que la base de l'un contient a; que H soit le nombre de fois que la hauteur du même contient a; que b soit le nombre de fois que la base de l'autre contient a; que h soit le nombre de fois que la hauteur du même contient a, les aires de ces deux rectangles seront entr'elles comme le produit des nombres B, H, est au produit des nombres b, h. De même, quand on dit que la vîtesse d'un corps qui se meut uniformément, est égale à l'espace divisé par le tems, cela veut dire explicitement: si deux corps se meuvent uniformément, & parcourent, l'un l'espace E pendant le tems T, l'autre l'espace e pendant le tems t; qu'on prenne une ligne a pour commune [p. 855] mesure des espaces E, e, & un tems Q pour communes mesures des tems T, t, les vîtesses seront comme le nombre E/a divisé par le nombre T/, est au nombre e/a divisé par le nombre t/o. Voyez Mesure, Vitesse, &c. (O)

Equation de l'Horloge (Page 5:855)

Equation de l'Horloge, est la même chose que l'équation du tems. Voyez l'article suivant.

quation du Tems, en Astronomie, est la différence entre le tems vrai ou apparent, & le tems moyen; c'est - à - dire la réduction du tems inégal apparent, ou du mouvement inégal, soit du Soleil, soit d'une planete, à un tems ou à un mouvement moyen, égal & uniforme. Voyez Tems & Mouvement.

Le tems ne se mesure que par le mouvement; & comme le tems en lui - même coule toûjours uniformément, on se sert, pour le mesurer, d'un mouvement qu'on suppose égal & uniforme, ou qui conserve toûjours la même vîtesse.

Le mouvement du Soleil est celui dont on se sert communément pour cela, parce que ce mouvement est celui qu'on observe le plus facilement: cependant ii manque de la principale qualité nécessaire pour mesurer le tems, c'est - à - dire de l'uniformité. En effet les Astronomes ont remarqué que le mouvement apparent du Soleil n'est pas toûjours égal & uniforme; mais que ce mouvement tantôt s'accélere, tantôt se rallentit: il ne peut donc servir à mesurer le tems, qui est uniforme par sa nature. Voyez Soleil.

Ainsi le tems mesuré par le mouvement du Soleil, & qu'on appelle le tems vrai ou apparent, est différent du tems moyen & uniforme, suivant lequel on mesure & on calcule tous les mouvemens des corps célestes.

Voici comment on explique cette inégalité. Le jour naturel ou solaire n'est pas proprement mesuré par une révolution entiere de l'équateur, ou par vingt - quatre heures équinoxiales, mais par le tems qui s'écoule, tandis que le plan d'un méridien qui a passé sous le Soleil, vient à y repasser une seconde fois par la rotation de la Terre; & ce tems est la distance qu'il y a entre le midi d'un jour & le midi du jour suivant. Voyez Jour & Méridien.

Or si la Terre n'avoit point d'autre mouvement que celui de sa rotation autour de son axe, tous les jours seroient exactement égaux les uns aux autres, & auroient tous pour mesure le tems de la révolution de l'équateur: mais cela n'est pas tout - à - fait ainsi; car tandis que la Terre tourne autour de son axe, elle avance en même tems dans son orbite: de sorte que quand un méridien qui a passé sous le centre du Soleil a fait une révolution entiere, ce méridien ne revient pas sous le Soleil précisément, comme il paroît par la figure.

Soit S le Soleil (Pl. Astr. fig. 50) & soit AB une portion de l'écliptique; supposons que la ligne MD représente un méridien quelconque, dont le plan prolongé passe par le centre du Soleil lorsque la Terre est en A; imaginons ensuite que la Terre avance dans son orbite, & qu'en faisant une révolution autour de son axe elle arrive en B, le méridien MD se trouvera dans une position md parallele à la premiere: par conséquent le méridien, dans ce nouvel état, ne passera pas par le centre du Soleil, & les peuples qui l'habitent n'auront point encore midi. il faut pour cela que le méridien dm fasse encore un mouvement angulaire, & décrive l'angle dBf, afin que son plan puisse passer par le Soleil. Voyez Terre.

De - là il s'ensuit que les jours solaires sont plus longs que le tems d'une révolution de la Terre autour de son axe.

Cependant si les plans de tous les méridiens étoient perpendiculaires au plan de l'orbite terrestre, & que la terre parcourût son orbite avec un mouvement uniforme, l'angle dBF seroit égal à l'angle BSA, & les arcs df & AB seroient semblables: par conséquent l'intervalle d'un midi à l'autre seroit toûjours le même, puisque l'arc AB & l'angle dBF seroient toûjours de la même quantité de degrés. Tous les jours solaires seroient donc égaux, & le tems moyen seroit le même que le tems vrai.

Mais les choses sont bien autrement, car la Terre n'a point un mouvement uniforme dans son orbite; elle décrit, lorsqu'elle est aphélie, un plus petit arc, & lorsqu'elle est périhélie, un plus grand arc dans le même tems. Voyez plus bas Equation du Centre. D'ailleurs les plans des méridiens ne sont point perpendiculaires à l'écliptique, mais à l'équateur; & cette seule raison, indépendamment de l'inégalité du mouvement de la Terre, doit rendre les jours inégaux, car l'écliptique fait avec l'équateur un angle d'environ 23 degrés 1/2: & si on divise l'écliptique en plusieurs petits arcs égaux qui représentent le chemin (supposé uniforme) du Soleil pendant chaque jour, & que par les poles du monde & par chacun des points de division on fasse passer des méridiens célestes, les arcs de l'équateur, compris entre ces méridiens, ne seront point égaux entr'eux comme les arcs de l'écliptique; par conséquent la distance entre le moment où le Soleil passe par un méridien, & le moment du jour suivant où il retourne à ce même méridien, ne sera pas la même pour tous les jours. Nous substituons ici au mouvement réel de la Terre, le mouvement apparent du Soleil, qui produit le même effet, & rend la chose un peu plus facile à entendre.

Ainsi en supposant même que le Soleil eût un mouvement uniforme dans l'écliptique, le tems qui coule aniformément ne pourroit être représenté par la distance entre le midi d'un jour & le midi d'un autre: les Astronomes ont donc été obligés d'inventer, pour la commodité de leurs calculs, des jours fictifs, tous égaux entr'eux, & moyens entre le plus long & le plus court des jours inégaux.

Pour déterminer ces jours, on a pris d'abord le nombre d'heures de la révolution totale du Soleil dans l'écliptique, & on a divisé le tems total en autant de parties qu'il y a d'heures, dont vingt - quatre composent un jour.

De plus, comme nous ne connoissons point dans la nature de corps dont le mouvement soit uniforme, & que cependant un tel mouvement est la seule vraie mesure du tems, on imagine un corps fictif, par ex. une étoile qui se meut uniformément dans l'équateur d'occident en orient, & qui, sans accélérer ni retarder jamais son mouvement, parcourt l'équateur, précisément dans le même tems que le Soleil fait sa révolution dans l'écliptique: le mouvement de cette étoile représente le tems égal ou moyen, & son mouvement diurne dans l'équateur est de 59'8'', c'est - à - dire le même que le mouvement moyen du Soleil dans l'écliptique: par conséquent le jour égal & moyen se détermine par l'arrivée de cette étoile au méridien, & il est égal au tems que les 360 degrés de la circonférence de l'équateur mettent à faire une révolution entiere, & a 59'8''de plus. Comme cette addition de 59'8''est toûjours la même, les jours moyens sont constamment égaux entr'eux.

Puis donc que le Soleil va vers l'orient inégalement, par rapport à l'équateur, il arrivera au méridien quelquefois plûtôt que cet astre imaginaire, & quelquefois plus tard: de - là vient la différence qu'il y a entre le tems vrai & le tems moyen. On connoît cette différence quand on sait le lieu de l'astre

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