"852"> mes pairs manquent, il est évident que chaque racine positive a sa pareille négative. Cela est évident; car faisant yy=z, l'équation est du troisieme degré. Voy. Abaissement. Or soient A, B, C, les valeurs de z, on aura donc yy=A; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: de même [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Cela posé.

Soit a une des valeurs de y, - a en sera une autre; & l'équation xx+yx+z donnera [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

L'équation xx - yx+u, donnera [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Ces deux dernieres équations reviennent au même que les deux précédentes; donc voilà déjà quatre équations réduites à deux, & vingt - quatre à douze.

Je dis maintenant que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], donnera les mêmes racines que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en supposant +b, - b deux autres racines de l'équation yb+2qy4, &c.=0. Car soit yy - aa, yy - bb, yy - cc, les trois racines, on aura 2 q = - aa - bb - cc, r=abc; & les deux équations précédentes deviendront [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], dont les racines sont aisées à trouver, & sont les mêmes. On trouvera de même que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], donne encore les mêmes racines; donc en général les douze racines se réduisent à quatre, & ces quatre seront [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Car il faut remarquer que le signe - de bc/2 répond à+ax, & que le signe+répond à - ax; il ne faut pas prendre+ax avec+bc, ni - ax avec - bc.

Si on fait quatre équations simples des quatre valeurs précédentes de x, on formera par le produit une équation du quatrieme degré qui sera la même que la proposée, en mettant pour q, s, r, leurs valeurs - aa - bb - cc/2, q2/4 - aabb - aacc - bbcc/4, & abc. Ainsi tout s'accorde parfaitement, comme on le voit. Il y a quelques auteurs qui ont traité ce dernier article des équations du quatrieme degré avec assez de soin; mais, ce me semble, d'une maniere moins simple que nous ne venons de faire.

En résolvant d'une certaine façon quelques équations du quatrieme degré, on tomberoit dans un inconvénient semblable à celui du cas irréductible, c'est - à - dire qu'on trouveroit des quantités réelles sous une forme imaginaire. Soit, par exemple, x4<-> a4=0, on a deux racines réelles x=a, x= - a, & deux autres imaginaires [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; cependant si on supposoit que l'équation x4 - a4=0, fût venue de ces deux - ci xx+px+ q, xx - px+q, on trouveroit 2q - pp=0, qq= - a4: ainsi on auroit pour les deux équations, dont la multiplication produit x4 - a4, ces deux - ci: [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; équations d'où l'on ne tirera que des valeurs de x sous une forme imaginaire; néanmoins de ces différentes valeurs une sera=a, & une autre= - a. Voyez sur cela l'article Imaginaire. Voyez aussi les mémoires de l'acad. de Berlin, 1746, & l'ouvrage cité de M. de Bougainville.

Il est aisé de voir par fout ce qui a été dit, qu'il n'y a jusqu'à présent que les équations du second degré dont on ait une solution complete; car 1°. les équations du troisieme degré tombent souvent dans le cas irréductible. 2°. Si une équation du troisieme degré a une racine réelle & commensurable, cette racine commensurable se présente sous une forme incommensurable, & il faut du travail pour la dégager de cette forme. Voy. Racine & Extraction. 3°. Les équations du quatrieme degré se réduisent, comme on vient de le voir, au troisieme, & sont par conséquent sujettes aux mêmes inconvéniens.

Lorsqu'une équation du troisieme degré a une racine commensurable, le plus court moyen de la déterminer, est d'essayer tous les diviseurs du dernier terme; M. Newton, dans son arithmétique universelle, a donné une méthode pour abréger considérablement cet essai. Nous ne dirons rien de cette méthode, qui a été suffisamment expliquée & développée par MM. Gravesande & Clairaut, dans leurs élémens d'Algebre.

Passé le quatrieme degré, on n'a plus de méthode, même imparfaite & tronquée, pour résoudre les équations. Si la racine est réelle, il faut essayer les diviseurs du dernier terme; si elle est incommensurable, il faut tâcher de connoître à - peu - près cette racine en nombres entiers, & se servir ensuite de la méthode expliquée au mot Approximation, pour approcher de plus en plus de la vraie valeur. La difficulté est d'avoir d'abord la racine cherchée exprimée à - peu - près en nombres entiers ou rompus; on n'a point de méthode générale pour cela; on n'a que des tentatives & des essais; la méthode des cascades expliquée à l'article Cascade, est très - limitée, & par conséquent très - fautive. Cette méthode suppose, 1°. que la proposée ait toutes ses racines réelles; 2°. que l'équation du maximum des y ait aussi toutes ses racines réelles; 3°. que l'on puisse connoître toutes les racines de cette derniere équation du maximum, ou du moins qu'on les puisse connoître à - peu - près, ce qui revient à la même difficulté.

Si on trouve deux quantités a, b, peu différentes l'une de l'autre, qui étant substituées à la place de x dans une équation, donnent l'une un résultat positif, l'autre un résultat négatif, il s'ensuit que la valeur qui donne le résultat=0, & qui est la vraie racine de l'équation, sera entre a & b. En effet construisons une courbe de genre parabolique, nous verrons clairement que si une valeur de x donne l'ordonnée positive, & qu'une autre valeur de x donne l'ordonnée négative, la valeur de x qui donnera l'ordonnée =0, sera entre ces deux - là: mais il n'en faut pas conclure, que si on diminue, ou qu'on augmente tant soit peu cette valeur de x, qui donne le résultat =0, on aura deux résultats de signe différent; car il est évident qu'une courbe parabolique peut atteindre son axe sans le couper, mais en le touchant seulement; & en général pour qu'une quantité passe par le zéro, il n'est point nécessaire que les deux états voisins de cette quantité, l'un avant, l'autre après l'égalité à zéro, soient des états opposés. Cela est clair par les tangentes paralleles au diametre du cercle, où l'ordonnée positive devient zéro, & redevient ensuite positive, & par une infinité d'autres cas semblables. [p. 853]

Dans les mémoires de l'académie des Sciences pour l'année 1747, page 665, on trouve un savant mémoire de M. Fontaine sur la résolution des équations. L'auteur annonce qu'il donne ce mémoire pour l'analyse en entier, telle qu'on la cherche, dit - il, si inutilement depuis l'origine de l'Algebre. Il se propose en effet de donner dans cet ouvrage des regles pour déterminer, dans une équation quelconque proposée, 1°. la nature & le nombre des racinès, c'est - à - dire si elles sont réelles, égales ou inégales, toutes positives, toutes négatives, ou en partie positives & négatives, ou enfin imaginaires en tout ou en partie. L'auteur suppose dans cet ouvrage la vérité d'un théorème que j'ai démontré le premier, & dont il a déjà été fait mention plus haut: savoir que toute racine imaginaire d'une équation peut toûjours être exprimée par [omission: formula; to see, consult fac-similé version], a & b étant deux quantités réelles, & qu'il y a en ce cas encore une autre racine exprimée par [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Nous n'entrerons point ici dans le détail de la méthode donnée par M. Fontaine; elle est si bien expliquée dans le mémoire cité, & présentée avec tant de précision, que nous ne pourrions absolument que la transcrire ici; nous y renvoyons donc le lecteur. Nous ferons seulement les remarques suivantes, dans lesquelles nous supposerons qu'il ait le mémoire sous les yeux.

1°. La quantité ou fonction formée des coefficiens m, n, p, &c. (qui est égale à zéro dans certains cas, plus grande que zéro dans d'autres, & plus petite dans d'autres) se trouve, en faisant égales entr'elles, quelques quantités parmi les racines de l'équation; car il y a toûjours autant de quantités a, b, c, d, &c. dans les racines de l'équation qu'il y a de coefficiens m, n, p, q, &c. on a donc autant d'équations entre a, b, c, d, &c. & m, n, p, q, &c. qu'il y a de coefficiens m, n, p, q; & on ne peut arriver à une quantité ou équation sinale, de laquelle a, b, c, d, &c. ayent disparu, que dans le cas où quelques - unes des quantités a, b, c, d, &c. seront égales; autrement, après toutes les opérations ordinaires destinées à faire évanoüir les inconnues a, b, c, d, (voy. Evanouir) &c. il en resteroit toûjours une, puisqu'il y auroit autant d'équations que d'inconnues. Prenons, par exemple, un des cas que M. Fontaine a proposés, x2 - 3x+1=0, ou xx - mx+a= 0; on trouve que (x - a) (x - b) ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version] peuvent être les trois systèmes de facteurs de cette formule. Or pour que les deux premiers systèmes de facteurs deviennent les mêmes, il faut que dans le premier système b=a, & que dans le second b=0; d'où l'on tire xx - 2ax+aa=xx - mx+ n; donc m=2a, n=a a=mm/4; donc dans le cas de a=b, on a mm - 4n=0. Maintenant pour que le second & le troisieme système de facteurs deviennent le même, il faut que b=a dans les deux systèmes; ainsi on aura xx - 2ax+aa+aa=0; donc m=2a, n=2a a=2mm/4; donc mm - 2n=0; ainsi mm - 4n & mm - 2n sont les deux quantités égales, plus grandes ou plus petites que zéro, qui doivent déterminer ici les racirles égales ou les racines réelles, ou les racines imaginaires, & de plus le signe & la forme des racines.

2°. On voit assez par la nature de la méthode de M. Fontaine, qu'un système de facteurs étant donné dans le second, ou même dans le troisieme degré, on trouvera la nature de la formule d'équation qui en résulte, c'est - à - dire le signe de chaque coefficient de cette formule; mais on ne voit pas, ce me semble, avec la même clarté comment on déterminera la formule qui résulte d'un système de facteurs, dans les équations plus composées que le troisieme degré; ni s'il sera toûjours possible d'assigner exactement toutes les formules qui résultent d'un même systeme de facteurs, en cas que ce système puisse produire plusieurs formules. Il seroit à souhaiter que ceux qui travailleront dans la suite d'après la méthode de M. Fontaine, s'appliquassent à développer ce dernier objet.

3°. M. Fontaine suppose que la quantité qui est= 0 dans le cas de la coïncidence de deux systèmes de facteurs, est nécessairement plus grande que zéro pour l'un de ces systèmes de facteurs, & plus petite pour l'autre. Il est vrai qu'il arrive le plus souvent qu'une quantité égale à zéro dans l'hypothèse de deux quantités qui coïncident, est positive & négative dans les deux cas immédiatement voisins; mais cela n'arrive pas toûjours. Par exemple, lorsqu'une courbe de genre parabolique touche son axe, & que par conséquent l'abscisse x répondante à l'ordonnée y=0, a deux racines égales, il arrive souvent qu'en faisant x plus grande ou plus petite qu'une de ces racines, on a y positive dans les deux cas. Ce n'est pas tout. Il pourroit arriver que dans les cas infiniment voisins, ou extrèmement voisins de celui qui a donné l'égalité à zéro, la quantité formée de m, n, p, q, &c. fût plus grande que zéro pour un de ces cas, & plus pëtite pour l'autre; mais est - il bien certain que dans les cas qui ne seront pas fort voisins de celui qui a donné l'égalité à zéro, il y'en aura toûjours un qui donnera la fonction > 0, & que l'autre donnera la même fonction < 0? Une courbe qui coupe son axe en un point, a près de ce point en - dessus & en - dessous des ordonnées de différens signes; mais il est très - possible que toutes les ordonnées au - dessus & au - dessous ne soient pas necessairement de différens signes, parce que la courbe peut encore couper son axe ailleurs. M. Fontaine dit que s'il y a plusieurs fonctions=0, il sera toûjours facile de reconnoître laquelle de ces fonctions est toûjours plus grande que zéro dans l'un des deux systemes, & toûjours moindre dans l'autre; il semble que, suivant son principe, dès qu'une fonction est égale à zéro dans le cas de la coëncidence de deux systemes de facteurs, elle est toûjours plus grande que zero dans un de ces systemes, & moindre dans l'autre. S'il y a des cas où cela puisse n'avoir pas lieu (comme M. Fontaine semble l'insinuer), pourquoi, dira - t - on, n'arriveroit - il pas quelquefois que cela n'auroit lieu dans aucun cas?

Enfin M. Fontaine détermine par le calcul d'un seul cas numérique particulier d'un des deux systèmes, celui où la fonction est > 0, & celui où la fonction est plus petite. Cela peut être encore sujet à difficulté; car cela suppose que la formule est toûjours > 0 dans un des cas, & toûjours < 0 dans l'autre. Or, dira - t - on, ne pourroit - il pas arriver que la formule fût à la vérité toûjours > ou < 0, dans les deux cas pris ensemble; mais qu'après avoir été plus grande que zéro dans l'un de ces cas, jusqu'à une certaine valeur des quantités a. b, c, d, &c. & plus petite dans l'autre cas, elle devînt ensuite plus petite que zéro dans le premier cas, & plus grande dans le second?

Nous ne prétendons point par ces difficultés attaquer, ni encore moins renverser la méthode de M. Fontaine; elle nous paroît pleine de sagacité & de finesse, & digne de toute l'attention des savans; nous la regardons comme une nouvelle preuve du génie supérieur que l'auteur a déjà montré dans d'autres ouvrages (voyez Intégral & Tautochrone); nous desirons seulement que M. Fontaine trouve ces difficultés assez capables d'arrêter les géometres, pour daigner les lever entierement dans un autre écrit, & mettre sa méthode à l'abri même de toute chicane. Afin de l'y engager, voici à quoi nous ré<pb->

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