"850"> sitive? le voici. Si on eût proposé ce problème: trouver un nombre x plus grand que 1, & tel que (x - 1)2, soit égal à 1/4, on auroit eu précisément la même équation que celle qui est donnée par la solution du problème précédent; & en ce cas x=3/2 auroit été la vraie valeur de l'inconnue, ainsi l'équation 1 - 2x+xx=1/4 représente réellement ces deuxci, (1 - x)2=1/4 & (x - 1)2=1/4, qui sont la traduction algébrique de deux questions, très - différentes dans leur énoncé. La premiere de ces questions a pour réponse x=1/2, la seconde x=3/2. Donc, quoique les racines d'une équation soient toutes deux réelles & positives, il ne s'ensuit pas toûjours qu'elles résolvent toutes exactement & rigoureusement la question; mais elles la résolvent, en la présentant en deux sens différens, dont l'Algebre ne peut exprimer la différence; par exemple, dans le cas dont il s'agit, l'énoncé devroit être: trouver une grandeur x telle que la retranchant de l'unité, ou retranchant l'unité d'elle, le quarré du reste soit égal à 1/4. La traduction algébrique du premier énoncé est par sa nature plus générale que ce premier énoncé; c'est donc le second qu'il faut y substituer pour répondre à toute l'étendue de la traduction. Plusieurs algébristes regardent cette généralité comme une richesse de l'Algebre, qui, disent - ils, répond non seulement à ce qu'on lui demande, mais encore à ce qu'on ne lui demandoit pas, & qu'on ne songeoit pas à lui demander. Pour moi, je ne puis m'empêcher d'avoüer que cette richesse prétendue me paroît un inconvénient. Souvent il en résulte qu'une équation monte à un degré beaucoup plus haut qu'elle ne monteroit, si elle ne renfermoit que les seules racines propres à la vraie solution de la question, telle qu'elle est proposée. Il est vrai que cet inconvénient seroit beaucoup moindre, & seroit même en un sens une véritable richesse, si on avoit une méthode générale pour résoudre les équations de tous les degrés; il ne s'agiroit plus que de démêler parmi les racines celles dont on auroit vraiment besoin: mais malheureusement on se trouve arrêté dès le troisieme degré. Il seroit donc à souhaiter, puisqu'on ne peut résoudre toute équation, qu'on pût au moins l'abaisser au degré de la question, c'est - à - dire à n'avoir qu'autant d'unités dans l'exposant de son degré que la question a de solutions vraies & directes, mais la nature de l'Algebre ne paroît pas le permettre.

3°. Si on proposoit de trouver un nombre x, tel que retranchant l'unité de ce nombre, le quarré du reste fût égal à quatre, on trouveroit (x - 1)2=4, x=3 & x= - 1. La premiere racine x=3, qui est réelle & positive, résout la question; à l'égard de x= - 1, elle ne résout point la question proposée, elle résout celle - ci: trouver un nombre, auquel ajoûtant l'unité, le quarré de la somme soit égal à quatre. On voit que dans cet énoncé, ajoûter se trouve au lieu de retrancher, & somme au lieu de reste. En effet (x+1)2=4 donne x=1 & x= - 3, qui sont précisément les racines de l'équation précédente prises avec des signes contraires. D'où l'on voit que les racines négatives satisfont à la question, non telle qu'elle est proposée, mais avec de legers changemens qui consistent à ajoûter ce qu'on devoit retrancher, ou à retrancher ce qu'on devoit ajoûter. Le signe - qui précede ces racines indique une fausse supposition qui a été faite dans l'énoncé, d'addition au lieu de soustraction, &c. & ce signe - redresse cette fausse supposition. En veut - on un exemple plus simple? qu'on propose de trouver un nombre x, qui étant ajoûté à 20, la somme soit égale à 10, on aura 20+x=10 & x= - 10, ce qui signifie qu'il falloit énoncer ainsi la question: trouver un nombre qui étant retranché de 20, le reste soit égal à 10, & ce nombre est 10.

4°. Si on proposoit cette question, trouver un nombre x, tel que, ajoûtant l'unité à ce nombre, le quarré du tout soit égal à 1/4, on auroit (x+1)2=1/4, x= - 1/2, x= - 3/2: voilà deux racines négatives, ce qui signifie qu'il falloit changer ainsi la question; trouver un nombre tel, que retranchant l'unité de ce nombre, s'il est plus grand, ou le retranchant de l'unité, s'il est plus petit, le quarré du reste soit égal à 1/4. C'est précisément le cas du n°. 1 précédent, dont les racines sont les mêmes que de ce casci, avec des signes contraires.

5°. Tout nous prouve donc que les racines négatives ne sont destinées qu'à indiquer de fausses suppositions faites dans l'énoncé, & que le calcul redresse. C'est pour cela que les racines négatives ont été appellées fausses par plusieurs auteurs, & les racines positives, vraies, parce que les premieres ne satisfont, pour ainsi dire, qu'à un faux énoncé de la question. Au reste je dois encore remarquer ici que quand toutes les racines sont négatives, comme dans le cas précédent, l'inconvénient est leger; ces racines négatives indiquent que la solution avoit un énoncé absolument faux: redressez l'énoncé, toutes les racines deviendront positives. Mais quand elles sont en partie positives, & en partie négatives, l'inconvénient que cause la solution algébrique est, ce me semble, alors plus grand; elles indiquent que l'énoncé de la question est, pour ainsi dire, en partie vrai & en partie faux; elles mêlent, malgré nous, une question étrangere avec la question proposée, sans qu'il soit possible de l'en séparer, en rectifiant même l'énoncé; car qu'on change dans l'énoncé les mots ajoûter & somme, en ôter & reste, la racine négative devient à la vérité positive; mais la positive devient négative, & on se trouve toûjours dans le même embarras, sans pouvoir réduire la question à un énoncé qui ne donne que des racines réelles positives. Il en est de même dans le cas du n°. 1 précédent, où, quoique les racines soient toutes réelles & positives, cependant elles ne résolvent pas toutes la question; néanmoins il y a encore cette différence entre ce cas & celui du n°. 3, que dans celui - ci, pour changer les racines négatives en positives, il ne faut changer qu'en partie les signes de x+1, c'est - à - dire écrire x - 1 ou 1 - x; au lieu que dans le cas du n°. 1, il faut changer tout - à - la - fois les deux signes de 1 - x, & écrire x - 1 dans l'énoncé, pour employer la racine positive inutile à la question.

6°. Les racines négatives, je le répete, sont un inconvénient, sur - tout lorsqu'elles sont mêlées avec les positives; mais il y a bien de l'apparence qu'ou ne parviendra jamais à lever cet inconvénient; peut - être pourroit - on le diminuer, si on avoit une bonne méthode de résoudre les équations. C'est ce que nous tâcherons plus bas de faire sentir, ou plûtôt entrevoir, en parlant des équations du second degré. Mais ce qui prouve que les racines négatives ne sont pas tout - à - fait inutiles à la solution d'un problème, c'est l'application de l'Algebre à la Géomérrie. Les ordonnées négatives d'une courbe sont aussi réelles que les positives, & appartiennent aussi essentiellement à la courbe; nous l'avons prouvé au mot Courbe d'une maniere aussi rigoureuse que nouvelle, en faisant voir que les ordonnées négatives deviennent positives, en transposant seulement l'axe. De même en transformant une équation algébrique, on peut rendre toutes les racines réelles positives; car soit b la plus grande des racines négatives, & soit fait x =z - A, A étant une quantité plus grande que b ou égale à b; alors les facteurs, au lieu d'être, par exemple, x - a, x+b, seront z - A - a, z - A+b, toutes deux positives. Voy. encore sur cet article ce que nous dirons plus bas, en parlant des équations appliquées à la Géométrie. [p. 851]

7°. Si on proposoit de trouver un nombre x, tel que (x+1)2+4 fût=0, on auroit x= - 1+ [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] valeurs imaginaires qui indiquent que l'énoncé de la question est absurde, & qu'il n'est pas possible de la résoudre. Mais, dira - t - on, pourquoi deux racines imaginaires? une seule suffiroit pour avertir de l'absurdité. Je réponds que les deux imaginaires avertissent que la question est absurde non - seulement dans son énoncé, mais même dans tout autre qu'on lui substitueroit, c'est - à - dire en mettant x - 1 ou 1 - x à la place de x+1. En effet [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], donne [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; racines imaginaires & de signe contraire aux précédentes, parce que l'énoncé de la question, quoique changé, demeure impossible.

8°. Ainsi, quand une équation n'a que des racines négatives ou fausses, cela indique que le problème est impossible dans le sens direct, mais non pas dans un autre sens; au lieu que quand elle n'a que des racines imaginaires, cela indïque que le problème est impossible dans quelque sens qu'on le présente. Quand les racines sont réelles & incommensurables, cela indique que le problème n'a point de solution numérique exacte, mais qu'on peut trouver un nombre qui approche aussi près qu'on voudra des conditions proposées; donc les racines négatives, imaginaires & incommensurables, désignent différentes especes d'impossibilité dans la solution, mais d'impossibilité plus ou moins entiere, plus ou moins absolue.

9°. Mais quand les racines imaginaires sont mêlées avec des racines réelles, qu'est - ce qu'indiquent alors ces racines imaginaires? Par exemple, u3<-> b3=0, a pour racine réelle u - b, & deux autres racines imaginaires qui sont celles de l'équation uu+ bu+bb=0, comme on l'a vû au mot Cas irréductible. Ces deux racines imaginaires, dira - t - on, paroissent ici bien inutiles. Je réponds que ces deux imaginaires ne sont point de trop; elles indiquent que s'il y avoit une quantité u, telle que uu+bu+ bb pût être égal à zéro, le cube de cette quantité u seroit égal à b3. Voilà, ce me semble, tout ce qui regarde les racines des équations suffisamment éclairci; passons à d'autres observations.

Il y a quelques remarques à faire sur la maniere dont on résoud ordinairement les équations du 2d degré: soit xx - px=q, on en conclud tout de suite [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; mais, dira - t - on, pourquoi fait - on x - p/2 positif égal à la quantité négative [omission: formula; to see, consult fac-similé version]? il est bien vrai que deux quarrés égaux donnent des racines égales; mais ce doit être des racines de même signe: cela est évident; car de ce que 4=4, en conclura - t - on que 2= - 2? D'ailleurs p/2 - x est ausst - bien que x - p/2 la racine de xx - px+pp/4; on devroit donc avoir [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Je réponds, 1°. que cette derniere équation donne les quatre suivantes [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: or les deux dernieres sont évidemment les mêmes que les deux premieres; il suffit donc de prendre le double signe dans un des membres, & non dans les deux à la fois. 2°. J'aimerois mieux résoudre l'équation en raisonnant de cette sorte: La racine quarrée de xxpx+pp/4 est x - p/2, si x>p/2; & p/2 - x, si x<p/2: dans le premier cas, on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; dans le second, on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: ce sont ces deux cas très - distincts & très - clairement énoncés de cette maniere, qu'on énonce tous les deux ensemble implicitement, & si je l'ose dire, obscurément, en écrivant [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Les inventeurs de l'Algebre ont imaginé cette expression pour abréger; & cette expression commode rend la métaphysique plus obscure. Voyez sur cela ce qui a été dit au mot Elémens des Sciences.

Si on avoit xx+px=q, alors on trouveroit, en suivant le raisonnement précédent, [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ce qui ne donneroit que la racine positive; à l'égard de la racine négative ou fausse, on n'en a que faire, puisqu'elle ne résout pas le probleme; cependant on auroit cette racine, si on vouloit, en changeant l'énoncé de la question suivant les regles données ci - dessus; ce qui donneroit xx - px=q & p/2 - x, ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

On voit donc que par cette maniere que je propose de résoudre les équations du second degré, on sépareroit les raoines positives nécessaires d'avec les inutiles, les vraies d'avec les fausses, &c. cette méthode s'appliqueroit aux autres degrés, si on avoit une regle générale pour résoudre toute équation: mais la regle dont il s'agit est encore à trouver.

J'ai donné au mot Cas irréductible une théorie suffisante & neuve presque à tous égards de la résolution des équations du troisieme degré; j'y renvoye le lecteur. Je n'y ai supposé qu'une proposition, c'est que si le second terme d'une équation du troisieme degré est nul, & que les trois racines soient rcelles, le troisieme terme a toûjours le signe - . La question se réduit à prouver que si a+b+c=0, a, b, c, étant de tel signe qu'on voudra, & réelles, (voyez Coefficient), on aura ab+ac+bc négative, c'est - à - dire - aa - ac - cc négative, ce qui est évident; donc si le trorsieme terme est positif, il y a deux racines imaginaires. Nous rappellerons ici ce qui a été remarqué dans l'errata du troisieme volume, qu'à l'article Cas irréductible, l'imprimeur a mis par - tout 2 y pour 27; cette faute d'impression ne peut embarrasser que les premiers commençans. Du reste on trouvera dans cet article, ou explicitement, ou implicitement, toute la théorie des équations du troisieme degré. Passons au quatrieme degré. Soit x4+qx2+rx+s=0, une équation à résoudre, on suppose qu'elle soit le produit de xx+ yx+z=0, & xx - yx+u=0; & on trouve, en multipliant ces deux équations l'une par l'autre, & comparant le produit terme à terme avec la proposée, les équations suivantes: [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. L'équation y6, &c.=0, étant du sixieme degré a six racines; & les équations xx+yx+z=0, xxyx+u=0, en donnant chacune deux pour chaque valeur de y; voilà donc, dira - t - on, vingt - quatre racines, quoique, suivant la théorie connue, l'équation x4, &c. ne doive avoir que quatre racines possibles. Je vais montrer que ces vingt - quatre racines se réduisent à quatre.

1°. Dans l'équation y6, &c.=0, où tous les ter<pb->

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