"848"> +r (en faisant, si l'on veut, abstraction de son égalité à zéro, & en la regardant comme une quantité algébrique réelle) sera divisible exactement par x - a. Car il est évident, 1°. que x ne montant qu'au premier degré dans le diviseur, on pourra par les regles de la division algébrique ordinaire (voyez Division), pousser l'opération jusqu'à ce qu'on arrive à un reste que j'appelle R, & dans lequel x ne se trouvera pas. Soit donc Q le quotient, il est évident que si au produit du quotient Q par le diviseur x - a, on ajoûte le reste R, on aura une quantité égale & identique au dividende. Or, en faisant dans le dividende x=a, tout s'évanoüit par l'hypothese; donc tout doit s'évanoüir aussi, en faisant x=a dans la quantité (x - a) Q+R, & cette quantité doit alors se réduire à zéro; mais en faisant x=a, cette quantité est (a - a) Q+R. Donc, puisque (a - a) Q+R=0, on a R=0. Donc la division se fait sans reste. Donc xm+pxm - 1+qxm - 2 ....+ r se divise exactement par x - a.

Je fais un raisonnement semblable sur le quotient provenu de la division: je suppose que b substitué à la place de x, fasse évanoüir tous les termes de ce quotient, je dis qu'il est divisible par x - b; & il est évident que si b substitué à la place de x, fait évanoüir le quotient Q, il fera évanoüir aussi le dividende: car le dividende est=(x - a) Q; donc toute supposition qui réduira Q à zéro, y réduira aussi le dividende. Donc x - b divise aussi exactement le dividende.

On trouvera de même, qu'en supposant une quantité c, qui substituée à la place de x, fasse évanoüir le quotient de Q divisé par x - b, ce nouveau quotient, & par conséquent le dividende, sera divisible par x - c.

Ainsi on aura autant de quantités simples x - a, x - b, x - c, qu'il y a d'unités dans m, lesquelles quantités simples donneront par leur multiplication le dividende ou équation proposée.

On pourra donc, au lieu de l'équation donnée, supposer (x - a) (x - b) (x - c)=0: mais il faut bien se garder d'en conclure, comme font tous les auteurs d'Algebre, qu'on aura x - a=0, x - b=0, x - c=0, &c. car, pourra dire un commençant, comment se peut - il faire qu'une même quantité x soit égale à plusieurs grandeurs différentes a, b, c? Si vous dites que x, dans ces équations, ne désigne qu'en apparence la même grandeur, & désigne en effet des grandeurs différentes, en ce cas vous vous rejettez dans une autre difficulté; car si cela étoit, dans une équation du second degré, par exemple, comme xx+px+q, xx ne seroit plus un quarré, cependant tous les Algébristes le traitent comme tel? Voici la réponse à cette difficulté, qui, comme je le sai par expérience, peut embarrasser bien des commençans. La quantité proposée est le produit de x - a par x - b, par x - c, &c. Or la quantité proposée est supposée égale à zéro, & quand une quantité est égale à zéro, il faut qu'un de ses facteurs le soit; ainsi la quantité ou équation proposée est le produit de x - a=0 par x - b & par x - c, &c. ou de x - b=0 par x - a & par x - c, &c. ou de x - c=0 par x - a & par x - b, &c. Dans chacun de ces cas on ne suppose à la fois qu'une des équations partielles égale à zéro; x est la même quantité dans chacun des cas, & elle est différente dans les différens cas. Ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; cette équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version] représente ces deux - ci; l'une [omission: formula; to see, consult fac-similé version] (en mettant a pour x), & l'autre [omission: formula; to see, consult fac-similé version] (en mettant b pour x).

Dans l'un des cas, x & ses puissances représentent a & ses puissances; dans l'autre, x & ses puissances représentent b & ses puissances. Ainsi une équation d'un degré quelconque représente réellement autant d'équations particulieres qu'il y a d'unités dans son degré; équations dans chacune desquelles x a une valeur différente. Poursuivons & approfondissons cette matiere, qui, je le répete, est fort mal développée par - tout.

La démonstration précédente, dira - t - on, suppose qu'il y a toûjours une quantité a possible, qui substituée à la place de x dans une quantité algébrique, xm+pxm - 1, &c. fera évanoüir tous les termes. Sans doute: mais cette supposition est légitime. J'ai démontré le premier, Mém. de l'ac. de Berlin, 1746, qu'il y avoit toûjours en effet une telle quantité, laquelle sera ou réelle, ou égale à m+n, m & n étant réelles, & m pouvant être=0. Cette proposition fondamentale de l'Algebre & même du calcul intégral (Voyez Fraction rationnelle & Intégral ) n'avoit été démontrée par personne avant moi : j'y renvoye le lecteur, il la trouvera encore plus développée, & mise à la portée des commençans dans le traité du calcul intégral de M. de Bougainville le jeune, premiere partie. Voyez Imaginaire.

De - là il s'ensuit qu'une équation est le produit d'autant de quantités simples, x - a, x - b, x - c, &cqu'il y a d'unités dans le degré de l'équation; quelques - unes des quantités a, b, c, ou toutes, peuvent marquer des quantités réelles, égales ou inégales, imaginaires simples comme [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou mixtes imaginaires comme [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

On remarquera maintenant que le produit de x - a par x - b he peut être égal à un autre produit x - e par x - f; car si cela étoit, on auroit x - a/x - f =x - e/x - b. Il faudroit donc ou que x - a fût divisible exactement par x - f, ainsi que x - e par x - b, ce qui ne se peut, ou que x - f & x - b eussent un diviseur commun, ainsi que x - a & x - e, ce qui ne se peut encore. Tout cela est évident par soi - même.

Donc une quantité quelconque xx+px+q, où x monte au second degré, ne peut être le produir que de deux facteurs simples x - a, x - b, & il ne peut y en avoir d'autres que ces deux - là. Donc dans une équation du second degré, x ne peut avoir que deux valeurs différentes a, b, & jamais davantage. C'est une suite des propositions précédentes.

De même on ne sauroit supposer x - a par x - b par x - c, égal à x - c par x - f par x - g; car on auroit x - a/(x - f)(x - g)=x - e/(x - b)(x - c). Donc les dénominateurs de ces fractions devroient avoir un diviseur commun, & par conséquent aussi leurs numérateurs x - a, x - e, ce qui ne se peut Donc dans une équation du troisieme degré, & par la même raison dans toute équation, l'inconnue ne peut avoir qu'autant de valeurs, soit réelles, soit imaginaires, qu'il y a d'unités dans le degré de l'équation. Voilà encore une proposition qu'aucun auteur n'avoit suffisamment prouvée. On appelle racines, les différentes valeurs de l'inconnue. Voyez Racine.

Il pourroit se présenter aux commençans une difficulté sur la démonstration précédente. Soit, diront - ils, a=4, b=17, c=7, e=8, & x=2, on aura (x - a)x(x - b)= - 2x - 15= - 5x - 6= (x - 7)x(x - 8)=(x - c)x(x - e); on peut donc avoir, continueront - ils, (x - a)(x - b)=(x - c) (x - e). La réponse à cette objection est bien simple; il est vrai qu'il peut y avoir des cas où, en donnant à x une certaine valeur, on ait (x - a) (x - b)=(x - c)(x - e); mais il faudroit, pour [p. 849] renverser la démonstration précédente, que quelque valeur qu'on donnât à x, on eût toûjours cette derniere équation, x marquant ici une quantité générale & indéterminée: or cela est impossible. En effet, si cela étoit, supposons x=a, on auroit donc, à cause de l'égalité supposée, (a - a)(a - b)=(a - c) (a - e), c'est - à - dire 0=(a - c)(a - e); ce qui ne se peut, puisque c & e sont différentes de a & de b. De - là on tire une autre démonstration de la proposition dont il s'agit, & qu'on peut appliquer aux degrés plus composés; par exemple, si (x - a) (x - b)(x - c) pouvoit être égal à (x - e)(x - f) (x - g), on auroit (a - e)(a - f)(a - g)=0, ce qui ne se peut; & ainsi du reste.

Je passe un grand nombre de propositions qu'on trouvera suffisamment démontrées par - tout, par exemple celles qui sont indiquées au mot Coefficient: c'est principalement à des choses nouvelles, ou du moins présentées d'une maniere nouvelle & rigoureuse, que je destine cet article. J'observerai seulement que les propositions connues sur les coefficiens des équations, servent quelquefois à démontrer d'une maniere simple & élégante des propositions de Géométrie; M. de l'Hopital, dans le liv. X. de ses sections coniques, s'en est heureusement servi pour démontrer certaines propriétés des cordes du cercle.

Si une des racines de l'équation xm+pxm - 1 .... +r=0 est un nombre entier a, positif ou négatif, ce nombre a sera un des diviseurs du dernier terme r; car on a am+pam - 1+na+r=0, donc am+pam - 1 ......+na= - r, donc am - 1+ pam - 2...+n= - r/a. Or le premier membre de cette équation est un entier, puisqu'il est composé d'entiers; donc r/a est un entier, donc a est un des diviseurs de r. La démonstration ordinaire de cette proposition me paroît sujette à difficulté; c'est par cette raison que j'en ai substitué une autre.

Si toutes les racines d'une équation sont réelles, & que tous les termes de l'équation ayent le signe+, toutes ces racines seront négatives; car, puisque tous les termes ont le signe+, il est évident qu'il ne peur y avoir de quantité positive, qui étant substituée à la place de x, rende l'équation égale à zéro.

Dans une équation, les racines imaginaires vont toûjours deux à deux; ensorte que si [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est racine d'une équation, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] en sera une autre. J'ai démontré le premier cette proposition dans les mém. de l'acad. de Berlin 1746. Voyez aussi l'ouvrage de M. de Bougainville déjà cité, & l'art. Imaginaire.

Donc puisque les racines imaginaires sont toûjours en nombre pair, il s'ensuit que dans les équations d'un degré impair il y a du moins une racine réelle; ce qu'on peut encore démontrer en cette sorte. Soit, par exemple, x3+px2+qx+r=0, en donnant à x toutes les valeurs positives possibles depuis o jusqu'à l'infini, on a toûjours un résultat réel, & ce résultat devient infini & positif quand x=, c'est - à - dire 3; de même en donnant à x toutes les valeurs négatives possibles depuis o jusqu'à l'infini, on aura toûjours un résultat réel, & le dernier résultat est infini & négatif quand x= - , c'est - à - dire 3; donc puisqu'on a une suite de résultats tous réels & sans interruption, dont les deux extrèmes sont de différens signes, il s'ensuit qu'il y a un de ces résultats égal à zéro. Donc il y a une valeur réelle de x qui rend x3+px2+qx +r=0. Donc x a au moins une valeur réelle dans cette équation. Il en est de même des autres cas.

Dans une équation délivrée de fractions, & dont le premier terme n'a d'autre coefficient que l'unité, la racine ne sauroit être une fraction a/b, dont le dé<cb-> nominateur & le numérateur soient des nombres entiers & rationnels. Voilà encore une proposition bien mal prouvée dans presque tous les auteurs. En voici une meilleure démonstration. Soit x3+px2+qx +r=0; & supposons que a/b soit racine de l'équation, on aura donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc, suivant la théorie des équations donnée ci - dessus, le nombre entier a doit être diviseur du dernier terme rb3; or comme a & b n'ont aucun diviseur commun, car la fraction a/b est supposée, comme de raison, réduite à ses moindres termes (Voy. Diviseur, Fraction, & l'addition à l'article Diviseur dans l'errata de ce volume), il s'ensuit que a & b3 n'ont aucun diviseur commun: donc a doit être diviseur de r; donc r=na, n étant un nombre entier. Donc on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc, par la même raison que ci - dessus, a doit être un diviseur du dernier terme qb2+nb3, & par conséquent de q+bn; donc q +bn=ma; donc a2+pab+b2ma=0; donc a+pb+b2m=0; donc a/b= - p - mb. Donc a/b n'étoit point une fraction, ce qui est contre l'hypothese. On démontrera de la même maniere dans tous les autres cas, la proposition dont il s'agit. Donc, &c.

Il est évident, par la nature de cette démonstration, qu'elle ne s'étend qu'aux fractions rationnelles. Une équation sans fractions & sans radicaux peut en effet avoir pour racines des fractions irrationnelles; par exemple, x2 - x - 1=0, & une infinité d'autres.

Voyez au mot Transformation, ce qui regarde la maniere de transformer une équation en une autre, matiere qui n'a d'ailleurs aucune difficulté, & qui est assez bien traitée dans presque tous les Algébristes; par exemple, dans l'Analyse démontré du P. Reyneau, &c.

On trouvera au mot Racine, le fameux théorème de Descartes sur les racines des équations, démontré par M. l'abbé de Gua dans les mém. de l'acad. de 1741, auxquels le lecteur peut avoir recours. Nous nous bornerons ici à quelques réflexions générales sur les racines des équations.

Les racines d'une équation sont les différentes valeurs de l'inconnue; il semble donc qu'un problème doive avoir autant de solutions qu'une équation a de racincs; & cela est vrai en effet dans un certain sens, mais ceci a pourtant besoin d'une plus ample explication.

1°. Si on proposoit de trouver un nombre x, tel que le quarré de ce nombre plus 15 fût égal à 8 fois le nombre cherché, c'est - à - dire tel que xx - 8x+15 fût=0, on trouveroit que cette équation auroit deux racines réelles & positives x=3, x=5; & en effet, le quarré de 3 qui est 9 augmenté de 15, donne 24 égal à 8 fois 3; & le quarré 25, augmenté de 15, donne 40, égal à 8 fois 5. Ainsi les deux racines de l'équation satisfont en ce cas au problème, sans rien changer à son énoncé. Il y a donc des cas où toutes les racines d'une équation résolvent chacune le problème dans le sens le plus direct & le plus immédiat que son énoncé présente.

2°. Si on proposoit de trouver un nombre x plus petit que 1, & tel que le quarré de 1 - x fût égal à 1/4, on auroit (1 - x)2=1/4, & 1 - x=1/2; donc x=1/2 & x=3/2. Voilà deux racines réelles & positives, cependant il n'y a proprement que la racine 1/2 qui satisfasse au problème, car la racine 3/2 donne 1 - x= - 1/2, quantité négative. Or l'on suppose dans l'énoncé que x est plus petit que 1; pourquoi donc trouve - t - on une autre racine réelle & po<pb->

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