"846"> de principes qu'est établi tout l'art analytique, au moins pour ce qui regarde la géométrie rectiligne, en y ajoûtant seulement la proposit. 1re du VI. livre d'Euclide, lorsque la question proposée regarde des surfaces, & aussi quelques propositions des XI. & XII. livres. En effet toutes les difficultés des problèmes de la géométrie rectiligne peuvent se réduire à la seule composition des lignes & à la similitude des triangles; de sorte qu'il ne se rencontre jamais d'occasion de faire usage d'autres théorèmes, parce que tous les autres théorèmes dont on pourroit se servir, peuvent se réduire à ces deux - là, & que par conséquent ces derniers peuvent leur être substitués dans quelque solution que ce puisse être.

6°. Pour accommoder ces théorèmes à la construction des problèmes, il est souvent nécessaire d'augmenter la figure, soit en prolongeant certaines lignes jusqu'à ce qu'elles en coupent d'autres, ou qu'elles deviennent d'une certaine longueur; soit en tirant des paralleles ou des perpendiculaires de quelque point remarquable; soit en joignant quelques points remarquables; soit enfin comme cela arrive quelquefois, en construisant une nouvelle figure suivant d'autres méthodes, selon que le demandent les problèmes & les théorèmes dont on veut faire usage pour la résoudre.

Par exemple, si deux lignes qui ne se rencontrent point l'une & l'autre, font des angles donnés avec une certaine autre ligne, on peut les prolonger jusqu'à ce qu'elles se rencontrent; de maniere qu'on aura un triangle dont on connoîtra tous les angles, & par conséquent le rapport des côtés; ou bien si un angle est donné, ou doit être égal à un angle quelconque, souvent on peut completer la figure, & en former un triangle donné d'espece, ou semblable à quelqu'autre: ce qui se fait, soit en prolongeant quelques - unes des lignes de la figure, soit en tirant une ligne qui soustende un angle. Si un triangle proposé est obliquangle, souvent on le résoud en deux triangles rectangles, en abaissant une perpendiculaire d'un des angles sur le côté opposé. Si la question regarde des figures de plusieurs côtés, on les résoud en triangles par des lignes diagonales, & ainsi des autres: mais il faut toûjours avoir attention que par ces divisions la figure se trouve partagée, on en triangles donnés, ou en triangles semblables, ou en triangles rectangles

Ainsi, dans l'exemple proposé, on tirera la diagonale BD, afin que le trapèse ABCD puisse se résoudre en deux triangles, l'un rectangle ABD, & l'autre obliquangle BCD (fig. 8.). On résoudra ensuite le triangle obliquangle en deux triangles rectangles, en abaissant une perpendiculaire de quelqu'un des angles B, C, D, sur le côté opposé; par exemple, du point B sur la ligne CD, qu'on prolongera en E, afin que BE puisse la rencontrer perpendiculairement. Or comme les angles BAD & BCD pris ensemble font deux droits (par la prop. 22 du III. Eucl.), aussi - bien que BCE & BCD, il s'ensuit que les angles BAD & BCE sont égaux; par conséquent les triangles BCE & DAB sont semblables. Ainsi prenant AD, AB & BC pour données, & cherchant CD, on peut faire le calcul de la maniere suivante. AD & AB donnent BD à cause du triangle rectangle ABD. AD, AB, BD BC, à cause des triangles semblables ABD & CEB, donnent BE & CE. BD & BE donnent ED, à cause du triangle rectangle BED, & ED - EC donne CD. Ainsi on aura une équation entre la valeur de la ligne CD trouvée par ce calcul, & la valeur de cette même ligne exprimée par une lettre algébrique. On peut aussi (& souvent il vaut mieux suivre cette méthode, que de pousser trop loin un seul & même calcul); on peut, dis - je, commencer le calcul par différens principes, ou au moins le continuer par diverses méthodes, pour arriver à une seule & même conclusion, afin de pouvoir trouver deux valeurs différemment exprimées de la même quantité, lesquelles valeurs puissent être ensuite faites égales l'une à l'autre. Ainsi AD, AB & BC, donnent BD, BE & CE, comme ci - devant, ensuite CD+CE donne ED, enfin DB & ED donnent BE, à cause du triangle rectangle BED.

7°. Ayant choisi & déterminé la méthode suivant laquelle on doit procéder, & fait sa figure, on donne d'abord des noms aux quantités qui doivent entrer dans le calcul, c'est - à - dire desquelles on doit tirer la valeur des autres jusqu'à ce qu'on arrive à une équation; pour cela on aura soin de choisir celles qui renferment toutes les conditions du problème, & qui paroissent, autant qu'on peut en juger, les plus propres à rendre la conclusion simple & facile, de maniere cependant qu'elle ne soit pas plus simple que le sujet & le dessein du calculateur ne le demandent. Ainsi il ne faut point donner de nouveaux noms aux quantités dont on peut exprimer la valeur par celle des quantités à qui on a déjà donné des noms. Par exemple, si une ligne donnée est divisée en parties, ou si on a un triangle rectangle, on doit laisser sans nom quelqu'une des parties de la ligne ou toute la ligne entiere, ou un des côtés du triangle, parce que les valeurs de ces quantités peuvent se déduire de la valeur des données, comme dans l'exemple déjà proposé. Si on fait AD=x & BA=a, on ne marquera BD par aucune lettre, parce qu'elle est le troisieme côté du triangle rectangle ABD, & que par conséquent sa valeur est [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Si on nomme ensuite BC, b, on verra que les triangles semblables DAB & BCE donnent AD:AB::BC: CE. Or de ces quatre lignes les trois premieres sont déjà données; ainsi on ne donnera point de nom à la quatrieme CE, dont la valeur se trouvera être ab/x par le moyen de la proportion précédente. Si donc on nomme DC, c, on ne donnera point de nom à DE, parce que ses parties DC & CE, étant l'une c, l'autre ab/x, leur somme c+ab/x est la valeur de DE.

8°. Par les différentes opérations qu'on fait pour exprimer les lignes auxquelles on n'a point donné de noms, le problème est déjà presque réduit à une équation; car après qu'on a exprimé ainsi les différentes lignes qui doivent entrer dans la solution de la question proposée, il ne faut plus que faire attention aux conditions du problème, pour découvrir une équation.

Par exemple, dans le problème dont nous avons déjà parlé, il ne faut que trouver par le moyen des triangles rectangles BCE & BDE, deux valeurs de BE; en effet on aura BC2 - CE2 ou bb - aabb/xx =BE2 & BD2 - DE2, ou xx - aa - cc<-> 2abc/x - aabb/xx=BE2. Egalant ensemble ces deux valeurs de BE2, & ôtant aabb/xx, on aura l'équation bb=xx - aa - cc - 2abc/x, qui délivrée des fraction, donne x3=aax+bbx+2abc+ccx.

9°. A l'égard de la géométrie des lignes courbes, on a coûtume de déterminer ces lignes, ou en les supposant décrites par le mouvement local de quelques lignes droites, ou en les représentant par des équations qui expriment indéfiniment le rapport de certaines lignes droites disposées entr'elles dans un certain ordre & suivant une certaine loi, & terminées à la courbe par une de leurs extrémités. Voyez Courbe & Lieu.

Les anciens déterminoient les courbes, ou par le [p. 847] aiouvement continu de quelque point, ou par les sections des solides, mais moins commodément qu'on ne les détermine par la seconde des deux manieres dont nous venons de parler. Les calculs qui regardent les courbes, lorsqu'on les décrit de la premiere maniere, se font par une méthode semblable à celle que nous avons donnée jusqu'ici. Supposons, par exemple, que AKC (fig. 9.) soit une ligne courbe décrite par le point vertical K d'un angle droit AK F, dont un côté AK puisse se mouvoir librement, en passant toûjours par le point A donné de position, tandis que l'autre côté K F d'une longueur déterminée coule ou glisse le long d'une ligne droite AD, aussi donnée de position. On demande de trouver le point C, dans lequel une ligne droite CD aussi donnée de position doit couper cette courbe: pour cela on tirera les lignes AC, CF, qui peuvent représenter l'angle droit dans la position qu'on cherche; on menera la perpendiculaire CB sur AF; on s'appliquera ensuite à trouver le rapport des lignes, sans examiner celles qui sont données ou celles qui ne le sont pas, & on verra que toutes dépendent de CF, & de l'une des quatre lignes BC, BF, AF & AC; supposant donc CF=a, & CB=x, on aura d'abord [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; car à cause des triangles rectangles ACF, CBF, on a BF: BCBC:AB. De plus, comme CD est donnée de position, AD est donnée; ainsi on apellera AD, b; on connoît aussi la raison de BC à BD, qu'on supposera comme d à e, & on aura BD=ex/d & AB=bex/d: donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Si on quarre les deux membres de cette équation, & qu'on les multiplie ensuite par aa - xx, on réduira l'équation à cette forme x4=2bddex3 - aaee - bbddxx - 2aabdex+aabbdd/dd+ee; & par le moyen des quantités données a, b, d, e, on tirera de cette équation la valeur de x. Cette valeur de x ou de BC étant connue, on tirera à la distance BC une ligne droite parallele à AD, qui coupera la courbe, & CD au point cherché C.

Si, au lieu de descriptions géométriques, on se sert d'équations pour désigner les lignes courbes, les calculs deviendront encore plus simples & plus faciles, puisqu'on aura moins d'équations à trouver; ainsi supposons que l'on cherche le point d'intersection C de l'ellipse donnée ACE (fig. 10.) avec la ligne droite CD donnée de position; pour désigner l'ellipse, on prendra une des équation; qui la déterminent, comme rx - r/qxx=yy, dans laquelle x marque une partie indéterminée AB ou Ab de l'axe prise depuis le sommet A, & y une perpendiculaire BC, terminée à la courbe, & où r & q sont données par l'espece donnée de l'ellipse. Or, puisque CD est donnée de position, AD sera aussi donnée; on la nommera A, & BD sera a - x; l'angle ABC sera aussi donné, & par conséquent le rapport de BD à BC, qu'on supposera être celui de 1 à e; & BC (y) sera ae - ex, dont le quarré eeaa - 2e2ax+ eexx doit être égal à rx - rxx/q. Cette équation étant réduite, donnera xx=2aeex+rx - aaee/ee+r ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. On remarquera que lors même que l'on détermine les courbes par des descriptions géométriques ou par des sections de solides, on peut toûjours les désigner par des équations, & que par conséquent toutes les difficultés des problèmes qu'on peut proposer sur les courbes, se réduisent au cas où on envisageroit les courbes sous ce dernier point de vûe. Ainsi dans le premier exemple (fig. 9.), si AB est appellé x, & BC, y, la troisieme proportionnelle BF sera yy/x, dont le quarré joint au quarré BC est égal à CF2, c'est - à - dire que y4/xx+yy=aa ou y4+xxyy= aaxx. Par cette équation on peut déterminer tous les points C de la courbe AKC, en trouvant la longueur de chaque ligne BC qui répond à chaque partie de l'axe AB; & cette équation peut être fort utile dans la solution des problèmes qu'on aura à résoudre sur cette courbe.

Quand une courbe n'est point donnée d'espece, mais qu'on propose de la déterminer, on peut supposer une équation à volonté qui exprime sa nature d'une maniere générale; on prendra cette équation pour la véritable équation de la courbe, afin de pouvoir par ce moyen arriver à des équations, par le moyen desquelles on déterminera la valeur des quantirés qu'on a prises pour données.

Jusqu'ici nous n'avons fait que traduire l'article équation à - peu - près tel qu'il se trouve dans l'Encyclopédie angloise. Cet article est tiré presque en entier de l'Arithmétique universelle de M. Newton; il est aisé d'y reconnoître en effet la main d'un grand maître, & nous avons crû devoir le donner tel qu'il est par cette raison, l'Arithmétique universelle n'ayant point d'ailleurs été traduite jusqu'ici en notre langue. Mais il reste encore sur la théorie des équations beaucoup de choses à dire pour rendre cet article complet dans un ouvrage tel que l'Encyclopédie. Nous allons tâcher de satisfaire à cet objet; & quoique la matiere ait déjà éte fort maniée dans un grand nombre d'ouvrages, nous espérons montrer qu'elle a été traités d'une maniere insuffisante à plusieurs égards, & la présenter d'une maniere presque entierement nouvelle.

Je ne parlerai point ici de la maniere de préparer une équation, en faisant évanoüir les fractions, les radicaux, & toutes les inconnues, excepté une seule, &c. Ces opérations seront détaillées au mot Evanouir.

Je ne parlerai point non plus de l'abaissement des équations. Voyez Abaissement & Réduction.

Je ne parlerai point enfin des équations du premier degré, c'est - à - dire de celles où l'inconnue ne monte qu'à une dimension: leur solution est sans difficulté. V. Transposition. J'entrerai donc en matiere par lés équations d'un degré plus élevé que l'unité; je les suppose abaissées au plus petit degré possible, & délivrés de radicaux & de fractions, enfin ordonnées suivant les dimensions de l'inconnue x, c'est - à - dire de maniere que le premier terme contienne x élevée au plus haut degré, que le second terme contienne x élevée au plus haut degré suivant, & ainsi de suite jusqu'au dernier terme, qui ne contiendra point x; je suppose enfin que le premier terme n'ait d'autre coefficient que l'unité (nous enseignerons au mot Transformation cette maniere de préparer l'équation), & que le second membre de l'équation soit zéro.

Soit donc xm+pxm - 1+qxm - 2 ....+r=0, l'équation à résoudre, dans laquelle il faut trouver la valeur de x.

Il est évident, par l'énoncé même de la question, qu'il faut trouver une quantité a, positive ou négative, réelle ou imaginaire, qui étant substituée à la place de x dans xm+pxm - 1+&c. tout se détruise. Je suppose qu'on ait trouvé cette quantité a, je dis que la quantité xm+pxm - 1+qxm - 2 ....

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