"844"> quatrieme; & la somme 4x+b+c+d de toutes ces parties sera égale à a. Retranchant b+c+d de part & d'autre, on aura 4x=a - b - c - d & [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Imaginons, par exemple, qu'on propose de diviser une ligne de vingt piés en quatre parties, de maniere que l'excès de la seconde partie sur la premiere so t de 2 piés, celui de la troisieme de 3 piés, & celui de la quatrieme de 7 piés, on aura x ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], x+b=4, x+c=5, & x+d=9. On peut se servir de la même méthode pour diviser une quantité donnée en un nombre quelconque de parties avec des conditions pareilles.

4°. Une personne voulant distribuer trois sous à un certain nombre de pauvres, trouve qu'il lui manque huit sous; ainsi elle ne leur donne à chacun que deux sous, & elle a trois sous de reste. On deman de combien cette personne avoit d'argent, & combien il y avoit de pauvres? Soit x le nombre des pauvres; & comme il s'en faut huit sous qu'ils ne puissent avoir trois sous chacun, l'argent est donc 3x - 8, dont il faut ôter 2x, & il doit rester 3; donc 3x<-> 8 - 2x=3 ou x=11.

5°. Le pouvoir ou l'intensité d'un agent étant donnés, déterminer combien il faut d'agens semblables pour produire un effet donné a dans un tems donné b. Supposons que l'agent puisse produire dans le tems d l'effet c, on dira comme le tems d est au tems b, ainsi l'effet c que l'agent peut produire dans le tems d, est à l'effet qu'il peut produire dans le tems b, qui sera par conséquent bc/d. Ensuite on dira, comme l'effet bc/d est à l'effet a, ainsi un des agens est à tous les agens; donc le nombre des agens sera ad/bc Voyez Regle de trois.

Par exemple, si un clerc ou secrétaire transerit quinze feuilles en huit jours de tems, on demande combien il faudra de clercs pour transcrire 405 seu lles en neuf jours? Rép. 24. Car si on substitue 8 pour d, 15 pour c, 405 pour a, & 9 pour b, le nombre ad/bc deviendra 405x8/9x15, c'est - à - dire 3240/135 ou 24.

6°. Les puissances de différens agens étant données, déterminer le tems x dans lequel ils produiroient un effet donné d, étant jointes ensemble. Supposons que les puissances des agens A, B, C, soient telles que dans les tems e, f, g, ils produisent les effets a, b, c, ces agens dans le tems x produiront les effets ax/e, bx/f, cx/g, on aura donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Imaginons, par exemple, que trois ouvriers finissent un certain ouvrage en différens tems. Par exemple, A une fois en tnois semaines, B trois fois en huit semaines, & c cinq fois en douze semaines, on demande combien il leur faudra de tems pour finir le même ouvrage, en y travaillant tous ensemble; les puissances des agens sont telles que dans les tems 3, 8, 12, ils produisent les effets 1, 3, 5, & on veut savoir en combien de tems ils produiroient l'effet 1, étant réunis. Au lieu de a, b, c, d, e, f, g, on écrira 1, 3, 5, 1, 3, 8, 12, & il viendra [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou R/9 de semaine, c'est - à - dire six jours cinq heures & 1/3 d'heure pour le tems qu'ils mettroient à finir l'ouvrage proposé.

7°. Etant données les pesanteurs spécifiques de plusieurs choses mêlées ensemble, & la pesanteur spécifique de leur mélange, trouver la proportion des ingrédiens dont le mélange est composé. Supposons que e soit la gravité spécifique du mélange A+ B, a celle de A, & b celle de B; comme la gravité absolue ou le poids d'un corps est en raison composée de son volume & de sa pesanteur spécifique (voy. Densité) a A sera le poids de a, & b B celui de B, & a A+b B sera=e A+e B; donc a A - e A= e B - b B, & a - e:e - b::B:A.

Supposons, par exemple, que la pesanteur spécisique de l'or soit 19, celle de l'argent 10 1/3, & celle d'une couronne composée d'or & d'argent 17, on aura A:B::e - b:a - e::7 - 1/3:2::20:6::10: 3; ce sera le rapport du volume de l'or de la couronne au volume de l'argent: & 190. 31::19x10: 10 1/3x3::axe - b:bxa - e; ce sera le rapport du poids de l'or de la couronne au poids de l'argent: enfin 221:31, comme le poids de la couronne est au poids de l'argent. Voyez Alliage.

Pour réduire en équations les problèmes géométriques, on remarquera d'abord que les questions géométriques ou celles qui ont pour objet la quantité continue, se mettent en équations de la méme maniere que les quest ons arithmétiques. Ainsi la premiere regle que nous devons donner ici, est de suivre pour ces sottes de problèmes les mêmes regles que pour les problemes numériques.

Supposons, par exemple, qu'on domande de couper une ligne droite A B Planche d'Argen fig. 6.) en moyenne & extrème raison en C; c'est - à - dire de trouver un point C, tel que BE quarré de la plus grande partie soit égal au rectangle BD fait de la hgne entiere & de sa plus petite partie.

Supposant AB=a & CB=x, on aura AC= a - x, & x x=a par a - x; équation du second degré, qui étant rétolue, comme on l'enseignera plus bas, donnera [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Mais il est rare que les problèmes géométriques se réduisent si facilement en équations; leur solution depend presque toûjours de différentes positions & relations de lignes: de sorte qu'il faut souvent un art particulier & de certaines regles pour traduire ces questions en langage algébrique. Il est vrai que ces regles sont fort diffeiles à donner; le génie est la merlleure & la plus sûre qu'on ait à suivre dans ces cas - là.

On peut cependant en donner quelques - unes, mais fort générales, pour aider ceux qui ne sont pas versés dans ces opérations: celles que nous allons donner sont principalement tirées de M. Newton.

Observons donc, 1°. que les problemes concernant les lignes qui doivent avoir un certain rapport les unes aux autres, peuvent être différemment envisagés, en supposant telles ou telles choses connues & données, & telles ou telles autres inconnues; cependant quelles que soient les quantités que l'on prend pour connues & celles qu'on prend pour inconnues, les équations que l'on aura seront les mêmes quant au fond, & ne différeront entr'elles que par les noms qui serviront à distinguer les grandeurs connues d'avec les inconnues.

Supposons, par exemple, qu'on propose de comparer les côtés BC, BD, & la base CD (figure 7. d'Algebre) d'un triangle isoscele inserit dans un cercle, avec le diametre de ce même cercle. On peut se proposer la question, ou en regardant le diametre comme donné, avec les côtés, & cherchant ensuite la base, ou en cherchant le diametre par le moyen de la base & des côtés supposés donnés, ou enfin en cherchant les côtés par le moyen de la base & du diametre. Or sous quelque forme qu'on se propose ce problème, les équations qui serviront à le résoudre auront toûjours la même forme.

Ainsi, supposons que l'on cherche le diametre, on [p. 845] nommera AB, x, CD, a, & BC ou BD, b; ensuite tirant AC, on remarquera que les triangles ABC & CBE font semblables, & qu'ainsi AB: BC::BC:BE, ou x:b::b:BE; donc BE= bb/x & CE=1/2CD ou 1/2 a; & comme l'angle CEB est un angle droit, CE2+BE2=BC2, c'est - à - dire [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Cette équation étant résolue donnera le diametre cherché x. Si c'est la base qu'on demande, on fera AB=c, CD=x, & BC ou BD=b; ensuite on tirera AC, & les triangles semblables AB C & CBE donneront AB:BC::BC. BE, ou c:b::b:B E.

Donc BE=bb/a & CE=1/2 CD ou 1/2x; & comme l'angle CBE est droit, on aura CE2+BE2= C B2; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. D'où l'on tirera la valeur de la base cherchée x.

Enfin si les côtés BC & BD sont supposés inconnus, on fera AB=c, CO=a, & BC ou BD= x, on tirera ensuite AC; & à cause des triangles semblables ABC & CBE, on aura AB:BC:: BC:BE ou c:x::x:BE; donc BE=xx/c, CE=1/2CD ou 1/2a, & l'angle droit CBE donnera CE2+BE2=BC2, c'est - à - dire [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; équation qui étant résolue donnera la valeur x d'un des côtés cherchés.

On voit par - là que le calcul pour arriver à l'équation, & l'équation elle - même, sont semblables dans tous'les cas, excepté que les mêmes lignes y sont désignées par des lettres différentes selon les données & les inconnues que l'on suppose. Il est vrai que la différence des données fait que la résolution des équations est différente; mais elle ne produit point de changement dans l'équation même. Ainsi on n'est point absolument obligé de prendre telle ou telle quantité pour inconnue; mais on est le maitre de choisir pour données & pour inconnues les quantités qu'on croit les plus propres à faciliter la solution de la question.

3°. Un problème étant donc proposé, il faut commencer par comparer entr elles les quantités qu'il renferme, & sans faire aucune distinction entre les connues & les inconnues, examiner le rapport qu'elles ont ensemble, afin de connoître quelles sont celles d'entr'elles qui peuvent faire trouver plus facilement les autres. Dans cet examen il n'est pas nécessaire de s'assûrer par un calcul algébrique exprès, que telles ou telles quantités peuvent être déduites de telles ou telles autres; il suffit de remarquer en général qu'on peut les en tirer par le moyen de quelque connexion directe qui est entr'elles.

Par exemple, si on donne un cercle dont le diametre soit AD (fig. 8. algébr.) & dans lequel soient inscrites trois lignes AB, BC, CD, desquelles on demande BC, les autres étant connues, il est évident au premier coup - d'oeil que le diametre AD détermine le demi - cercle, & que les lignes AB & CD, qu'on suppose inscrites dans le cercle, déterminent aussi les points B & C, & que par conséquent la ligne cherchée BC a une connexion di cte avec les lignes données. Voilà dequoi il su de s'assûrer d'abord, sans examiner par quel calcul analytique la valeur de la ligne BC peut être réellement déduite de la valeur des trois lignes données.

4°. Après avoir examiné les différentes manieres dont on peut composer & décomposer les termes de la question, il faut se servir de quelque méthode synthétique, en prenant pour données certaines lignes, par le moyen desquelles on puisse arriver à la connoissance des autres, de maniere que le retour de celles - ci aux premieres soit plus difficile; car quoiqu'on puisse suivre dans le calcul différentes routes, cependant il faut le commencer par bien choisir ses données; & une question est souvent plus facile à résoudre, en choisissant des données qui rendent les inconnues plus faciles à trouver, qu'en considérant le problème sous la forme actuelle sous laquelle il est proposé.

Ainsi, dans l'exemple que nous venons de donner, si on propose de trouver AD, les trois autres lignes étant connues, je vois d'abord que ce problème est difficile à résoudre synthétiquement; mais que cependant s'il étoit ainsi résolu, je pourrois facilement appercevoir la connexion directe qui est entre cette ligne & les autres. Je prends donc AD pour donnée, & je commence à faire mon calcul comme si elle étoit en effet connue, & que quelqu'une des autres quantités AB, BC ou CD, fût inconnue; combinant ensuite les quantités données avec les autres, j'aurai toûjours une équation en comparant entr'elles deux valeurs de la même quantité: soit que l'une de ces valeurs soit une lettre par laquelle cette quantité aura été marquée, en commençant le calcul; & l'autre, une expression de cette quantité qu'on aura trouvée par le calcul même, soit que les deux valeurs ayent été trouvées chacune par deux différens calculs.

5°. Ayant ainsi comparé en généralles termes de la question entr'eux, il faut encore de l'art & de l'adresse pour trcuver parmi les connexions ou relations particulieres des lignes, celles qui sont les plus propres pour le calcul; car il arrive souvent que tel rapport qui paroît facile à exprimer algébriquement, quand on l'envisage au premier coup - d'oeil, ne peut être trouvé que par un long circuit; de maniere qu'on est quelquefois obligé de recommencer une nouvelle figure, & de faire son calcul pas - à - pas, comme on pourra s'en assûrer en cherchant BC par le moyen de AD, AB & CD. Car on ne peut y parvenir que par des propositions dont l'énoncé soit tel, qu'elies puissent être rendues en langage algébrique, & dont quelques - unes peuvent se tirer d'Euclide. Ax. 19. proposit. 4. L. VI. & proposic. 47. L. I. element.

Pour parvenir plus aisément à connoitre les rapports des lignes qui entrent dans une figure, on peut employer différens moyens: en premier lieu, l'addition & la soustraction des lignes; car par les valeurs des parties on peut trouver celles du tout, ou par la valeur du tout & par celle d'une des parties, on peut connoître la valeur de l'autre partie: en second lieu, par la proportionnalité des lignes; car, comme nous l'avons déjà supposé dans quelques exemples ci - dessus, le rectangle des termes moyens d'une proportion, divisé par un des extrèmes, donne l'autre, ou ce qui est la même chose, si les valeurs de quatre quantités sont en proportion, le produit des extrèmes est égal au produit des moyens. Voyez Proportion. La meilleure maniere de trouver la proportionnalité des lignes, est de se servir des triangles semblables; & comme la similitude des triangles se connoît par l'égalité de leurs angles, l'analyste doit principalement se rendre ce point familier. Pour cela il doit posséder les proposit. 5, 13, 15, 29. 32 du premier livre d'Euclide; les proposoit. 4, 5, 6, 7, 8, du livre VI. & les 20, 21, 22, 27 & 31 du livre III. On peut y ajoûter la troisieme proposit. du livre VI. ou les proposit. 35 & 36 du livre III. Troisiemement, on fait aussi beaucoup d'usage de l'addition & de la soustraction des quarrés, sur - tout lorsqu'il se trouve des triangles rectangles dans la figure. On ajoûte ensemble les quarrés des deux petits côtés pour avoir le quarré du grand, ou du quarré du plus grand côté on ôte le quarré d'un des côtés, pour avoir le quarré de l'autre. C'est sur ce petit nombre

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