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De tout ce que nous avons dit, il s'ensuit que le
commencement du crépuscule du matin on la fin de
celui du soir étant donnés, on trouvera facilement
l'élévation de l'air qui réfléchit la lumiere. Car la
fin du crépuscule arrive lorsque les rayons S D (
Dans la sphere droite, c'est - à - dire pour les habitans de l'équateur, les crépuscules sont plus courts que par - tout ailleurs, parce que le soleil descend perpendiculairement au - dessous de l'horison, & que par conséquent il est moins de tems à s'abaisser sous l'horison de la valeur de 18 degrés. Plus on s'éloigne de l'équateur, plus les crépuscules sont longs; & enfin proche des poles ils doivent être de plusieurs mois.
Il y a pour chaque endroit du monde un jour dans l'année où le crépuscule est le plus court qu'il est possible. On trouve dans l'analyse des infiniment petits à la fin de la troisieme section un problème où il s'agit de trouver ce jour du plus petit crépuscule, l'élévation du pole étant donnée. On trouve aussi une solution de la même question dans les inst. astr. de M. le Monnier, page 407. Ce problème est résolu très - élégamment dans les deux ouvrages, & ne présente aucune difficulté considérable; cependant M. Jean Bernoulli dit dans le recueil de ses oeuvres, tome I. page 64. qu'il en a été occupé cinq ans sans en pouvóir venir à bout. Cela vient apparemment de ce qu'il avoit d'abord résolu le problème analytiquement, au lieu d'employer l'espece de synthèse qu'on trouve dans l'analyse des infiniment petits & dans les inst. astron. synthèse qui rend la solution bien plus simple. En effet, si on résoud ce problème analytiquement, on tombe dans une équation du quatrieme degré, dont il faut d'abord trouver les quatre racines, & ensuite déterminer celle ou celles de ces racines qui résolvent la question. Comme cette matiere n'a été traitée dans aucun ouvrage que je sache avec assez de détail, je vais la développer ici suivant le plan que je me suis fait d'éclaircir dans l'Encyclopédie ce qu'on ne trouve point suffisamment expliqué ailleurs.
Soit (
Cette équation peut être regardée comme le produit
de ces deux - ci s s - 1 = 0; [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
(Voyez
D'ailleurs il faut que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] soit plus petit que
le sinus total, & jamais plus grand que le sinus e de
23
A l'égard de l'autre valeur [omission: formula; to see, consult fac-similé version],
elle est évidemment négative aussi, puisque 1 est >
[omission: formula; to see, consult fac-similé version]; ce qui donne encore la déclinaison du soleil
australe; & comme on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
(ce qu'il est aisé de voir en multipliant en croix les
deux membres) il s'ensuit que cette seconde valeur
est = - h x; donc on dira, comme le rayon est à la
tangente de neuf degrés, ainsi le sinus de la hauteur
du pole est à la déclinaison australe cherchée: c'est
l'analogie que M. Jean Bernoulli & M. de l'Hopital
ont donnée pour la solution de ce problème; & la
racine s = - h x résout par conséquent la question,
parce que h x est toûjours plus petit que e; car la
tangente x de 9 degrés est plus petite que le sinus e
de 23
Pour la résoudre, nous n'avons qu'à supposer dans la solution primitive que la déclinaison soit australe au lieu d'être boréale, & faire le calcul comme dessus, nous trouverons [omission: formula; to see, consult fac-similé version] pour le sinus d'un des angles horaires, & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] pour l'autre; nous verrons de plus que c'est alors la somme de ces angles, & non leur différence, qui est le tems du crépuscule, comme il est aisé de le prouver en considérant la figure, le point e se trouvant de l'autre côté de E; car le point c se trouvera alors entre les points T & S, & T S sera égale non à la différence, mais à la somme de c S & de c T. Achevant donc le calcul, on trouvera une équation qui ne différera de l'équation du quatrieme degré en s trouvée ci - dessus, que par les signes des termes impairs, c'est - à - dire des termes où sont s3 & s. Cette équation sera le produit de s s - 1 par [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & l'on aura deux valeurs positives de s, savoir [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Ce sont les deux valeurs de s, lorsque la quantité du quatrieme degré [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. est supposée = 0. Cela posé, on peut regarder cette quantité comme le produit de 1 - s s positive par [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & lorsque [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sera >0, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donnera [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Or la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version], vient de [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; supposant la somme ou la différence des deux angles horaires égale à un minimum; la somme pour le cas de - h, & la différence pour le cas de + h; donc la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version], viendra (en supposant s k - h positive) de [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; or, peur que s k - h soit positive dans cette condition,
Enfin, si on suppose [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version],
on trouvera que ces conditions donnent
[omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent (à cause
que h - s k est ici positif) [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
& [omission: formula; to see, consult fac-similé version];
donc la différence
de la somme des deux arcs est = 0, lorsque
[omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & est positive, lorsque s est plus
grand. Donc cette somme est un véritable minimum,
lorsque [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent cette valeur
de s est la seule qui résolve véritablement le
probleme du plus court crépuscule: je dis du plus
court, & non pas du plus long. Car l'équation du
plus long crépuscule seroit la même que celle du plus
court, en faisant la différence = 0; parce que la regle
pour les maxima & pour les minima est la même;
ainsi il pouvoit encore rester ici de l'équivoque;
mais elle est levée entierement, lorsque l'on considere
que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donne la différence
positive, ce qui indique le minimum. Si la différence
étoit négative, alors le tems du crépuscule seroit
un maximum. Mais, dira - t - on, quel sera le jour
du plus long crépuscule? Car il y en aura un. Je réponds
que le plus long crépuscule ne se trouve pas
en faisant la différence de la somme des arcs égale à
zéro, mais en prenant le crépuscule du jour de la plus
grande déclinaison boréale du soleil, & celui du jour
de la plus grande déclinaison australe, & en cherchant
lequel de ces deux crépuscules est le plus grand.
Car il n'y a qu'un seul crépuscule qui soit le plus court,
puisqu'il n'y a qu'une valeur de s pour le plus court
crépuscule; donc c'est un des deux crépuscules extrêmes
qui est le plus long. V. sur tout cela les art.
M. de Maupertuis dans la premiere édition de son
Astronomie nautique, s'est proposé la même question
que nous venons de discuter; il l'a résolue en
très - grande partie, & nous devons ici lui en faire
honneur; cependant il y restoit encore quelque chose
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