"386"> le troisieme ordre, & M. Euler seize, ce qui prouve encore l'arbitraire des subdivisions.

On peut par une méthode semblable faire la division des courbes d'un genre supérieur. Voyez ce que M. Cramer a fait par rapport aux lignes du quatrieme ordre dans le chap. jx. de son ouvrage.

Pour rappeller à l'une des quatre formes de M. Newton une ligne quelconque du troisieme ordre, dont l'équation est donnée en z & en u, on transformera d'abord les axes de la maniere la plus générale, en supposant a = A z + B u + C, & y = D z + E u + F; substituant ensuite ces valeurs, on déterminera les coefficiens A, B, &c. à être tels que l'équation en x & en y ait une des quatre formes susdites.

Points singuliers & multiples des courbes. On appelle point multiple d'une courbe celui qui est commun à plusieurs branches qui se coupent en ce point, & par opposition point simple celui qui n'appartient qu'à une branche. Il est visible qu'au point multiple l'ordonnée y a plusieurs valeurs égales répondantes à un même x. C'est - là une propriété du point multiple; mais il ne faut pas croire que le point soit multiple, toutes les fois que l'ordonnée a plusieurs valeurs égales. Car, si une ordonnée touche la courbe, par exemple, il est aisé de voir que l'ordonnée a dans ce point deux valeurs égales, sans que le point soit double. Voyez Tangente. La propriété du point multiple, c'est que l'ordonnée y a plusieurs valeurs égales, quelque situation qu'on lui donne; au lieu que dans le point simple l'ordonnée qui peut avoir plusieurs valeurs égales dans une certaine situation, n'en a plus qu'une dès que cette situation change, ce qui est évident par la seule inspection d'un point multiple & d'un point simple. Voyez Point.

De - là il s'ensuit que si on transporte l'origine en un point supposé multiple, en faisant z + A = x, u + B = y, il faut qu'en supposant z infiniment petit, on ait plusieurs valeurs nulles de u, quelque direction qu'on lui donne. Ainsi pour trouver les points multiples, il n'y a qu'après avoir transporté l'origine dans le point supposé, donner une direction quelconque à l'ordonnée, & voir si dans cette direction quelconque l'ordonnée aura plusieurs valeurs égales à zéro. Voyez M. l'abbé de Gua, p. 88. & M. Cramer, page A09.

On prouvera par ces principes, que les sections coniques ne peuvent avoir de points multiples, ce qu'on savoit d'ailleurs. On prouvera aussi que les courbes du troisieme ordre ne peuvent avoir de points triples, &c. Mais cette proposition se peut encore prouver d'une maniere plus simple en cette sorte. Imaginons que l'ordonnée soit tangente d'une des branches, elle rencontrera cette branche en deux points. Or si le point est un point double, par exemple, l'ordonnée rencontreroit donc la courbe en trois points, ce qui ne peut être dans une section conique; car jamais une droite ne peut la rencontrer qu'en deux points, puisque son équation ne passe jamais le second degré; & qu'ainsi quelque position qu'on donne à l'ordonnée, elle ne peut avoir jamais plus de deux valeurs. On prouvera de même qu'une courbe de second genre, ou ligne du troisieme ordre, ne peut avoir de point triple, parce que la courbe ne peut jamais être coupée qu'en trois points par une ligne droite.

A l'égard des points doubles des courbes, nous avons déjà remarqué que les courbes du second genre peuvent être coupées en trois points par une ligne droite. Or deux de ces points se confondent quelquefois, comme il arrive, par exemple, quand la ligne droite passe par une ovale infiniment petite; ou par le point de concours de deux parties d'une courbe qui se rencontrent, & s'unissent en une pointe. Quelquefois les lignes droites ne coupent la courbe qu'en un point, comme il arrive aux ordonnées de la parabole de Descartes, & de la premiere parabole cubique; en ce cas il faut concevoir que ces lignes droites passent par deux autres points de la courbe placés à une distance infinie ou imaginaire. Deux de ces intersections coïncidentes, faites à une distance infinie, ou même imaginaire, constituent une espece de point double.

On appelle points singuliers les points simples qui ont quelque propriété particuliere, comme les points conjugués, les points d'inflexion, les points de serpentement, &c. Voyez Point, Conjugué, Inflexion, Serpentement , &c. Voyez aussi Rebroussement, Noeud, &c. Sur les tangentes des courbes en général, & sur les tangentes des points multiples, voyez Tangente.

Description organique des courbes. 1°. Si deux angles de grandeur donnée, P A D, P B D (Pl. de Géomet. sig. 53.) tournent autour de deux poles A & B, donnés de position, & que le point de concours P des côtés A P, B P, décrive une ligne droite, le point de concours D des deux autres côtés décrira une section conique qui passera par les poles A & B, à moins que la ligne ne vienne à passer par l'un ou l'autre des poles A & B, ou que les angles B A D & A B D ne s'évanoüissent à la fois, auquel cas le point de concours décrira une ligne droite.

2°. Si le point de concours P des côtés A P, B P, décrit une section conique passant par l'un des poles A, le point de concours D des deux autres cotés A D, B D, décrira une courbe du second genre qui passera par l'autre pole B, & qui aura un point double dans le premier pole A, à moins que les angles B A D, A B D, ne s'évanoüissent à la fois, auquel cas le point D décrira une autre section conique qui passera par le pole A.

3°. Si la section conique décrite par le point P ne passe, ni par A ni par B, le point D décrira une courbe du second ou du troisieme genre, qui aura un point double; & ce point double se trouvera dans le concours des côtés décrivans A D, B D, quand les deux angles B A P, A B P, s'évanoüissent à la fois. La courbe décrite sera du second genre, quand les angles B A D, A B D, s'évanoüiront à la fois, sinon elle sera du troisieme genre, & aura deux points doubles en A & en B.

Les démonstrations de ces propositions, qu'il seroit trop long de donner ici, se trouveront dans l'ouvrage de M. Maclaurin, qui a pour titre, Geometria organica, où il donne des méthodes pour tracer des courbes géométriques par un mouvement continu. Voyez aussi le VIII. livre des sections coniques de M. de l'Hopital.

Génération des courbes du second genre par les ombres. Si les ombres des courbes de différens genres sont projettées sur un plan infini, éclairé par un point lumineux, les ombres des sections coniques seront des sections coniques; celles des courbes du second genre seront des courbes du second genre; celles des courbes du troisieme genre seront des courbes du troisieme genre, &c.

Et comme la projection du cercle engendre toutes les sections coniques, de même la projection des cinq paraboles divergentes engendre toutes les autres courbes du second genre; & il peut y avoir de même dans chaque autre genre une suite de courbes simples, dont la projection sur un plan éclairé par un point lumineux, engendre toutes les autres courbes du même genre. MM. Nicole & Clairaut, dans les mémoires de l'acad. de 1731, ont démontré la propriété des cinq paraboles divergentes dont nous ve<pb-> [p. 387] nons de parler; propriété que M. Newton n'avoit fait qu'énoncer sans démonstration. Voyez aussi sur cette proposition l'ouvrage cité de M. l'abbé de Gua, page 198. & suiv. Voyez aussi Ombre.

Usage des courbes pour la construction des équations. L'usage principal des courbes dans la Géométrie, est de donner par leurs points d'intersection la solution des problèmes. Voyez Construction.

Supposons, par exemple, qu'on ait à construire une équation de neuf dimensions, comme x9 + b x7 c x6 + d x5 + e x4 + (m + f) x3 + g x2 + h x + k = 0, dans laquelle b, c, d, &c. signifient des quantités quelconques données, assectées des signes + ou - ; on prendra l'équation à la parabole cubique x3 = y, & mettant y pour x3 dans la premiere équation, elle se changera en y3 + b x y2 + c y2 + d x2 y + e x y + m y + f x3 + g x2 + h x + k = 0, équation à une autre courbe du second genre dans laquelle m ou f peuvent être supposés = 0. Si on décrit chacune de ces courbes, leurs points d'intersection donneront les racines de l'équation proposée. Il suffit de décrire une fois la parabole cubique. Si l'équation à construire seréduit à 7 dimensions par le manquement des termes h x & k, l'autre courbe aura, en essaçant m, un point double à l'origine des abseisses, & pourra être décrite par différentes méthodes. Si l'équation est réduite à six dimensions par le manquement des trois termes g x2 + h x + k, l'autre courbe, en effaçant f, deviendra une section conique; & si par le manquement des six derniers termes l'équation est réduite à trois dimensions, on retombera dans la construction que Wallis en a donnée par le moven d'une parabole cubique & d'une ligne droite. Voyez Construction, & l'ouvrage de M. Cramer, chap. jv.

Courbe polygone (Page 4:387)

Courbe polygone. On appelle ainsi une courbe considérée non comme rigoureusement courbe, mais comme un polygone d'une infinité de côtés. C'est ainsi que dans la géométrie de l'infini on considere les courbes; ce qui ne signifie autre chose, rigoureusement parlant, sinon qu'une courbe est la limite des polygones, tant inscrits que circonscrits. Voyez Limite, Exhaustion, Infini, Différentiel , &c. & Polygone.

Il faut distinguer, quand on traite une courbe comme polygone ou comme rigoureuse; cette attention est sur - tout nécessaire dans la théorie des forces centrales & centrifuges; car quand on traite la courbe comme polvgone, l'effet de la force centrale, c'est - à - dite la pethe ligne qu'elle fait parcourir, est égale à la base de l'angle extérieur de la courbe; & quand on traite la courbe comme rigoureuse, l'effet de la force centrale est égale à la petite ligne, qui est la base de l'angle curviligne formé par la courbe & par sa tangente. Or il est aisé de voir que cette petite ligne n'est que la moitié de la premiere, parce que la tangente rigoureuse de la courbe divise en deux également l'angle extérieur que le petit côté prolongé fait avec le côté suivant. La premiere de ces lignes est égale au quarré du petit côté divisé par le rayon du cercle osculateur, voyez Osculatfur & Developpée; la seconde au quarré du petit côté divisé par le diametre du même cercle. La premiere est censée parcourue d'un mouvement uniforme, la seconde d'un mouvement uniformément accéléré: dans la premiere, la force centrale est supposée n'agir que par une impulsion unique, mais grande; dans la seconde, elle est supposée agir, comme la pesanteur, par une somme de petits corps égaux; & ces deux suppositions reviennent à une même; car l'on sait qu'un corps mû d'un mouvement accéléré parcourroit uniformément avec sa vîtesse finale le double de l'espace qu'il a parcouru d'un mouvement uniformément accéléré, pour acquérir cette vîtesse. Voyez les articles Acceleration, Central, & Descente . Voyez aussi l'hist. de l'acad. 1722. & mon traité de Dynamique, page 20. article 20. & page 30. article 26.

Rectification d'une courbe, est une opération qui consiste à trouver une ligne droite égale en longueur à cetté courbe. Voyez Rectification.

Inflexion d'une courbe. Voyez Inflexion.

Quadrature d'une courbe, est une opération qui consiste à trouver l'aire ou l'espace renfermé par cette courbe, c'est - à - dire à assigner un quarré dont la surface soit égale à un espace curviligne. Voyez Quadrature.

Famille de courbes, est un assemblage de plusieurs courbes de différens genres, représentées toutes par la même équation d'un degré indéterminé, mais différent, selon la diversité du genre des courbes. Voyez Famille.

Par exemple, supposons qu'on ait l'équation d'un degré indéterminé am - 1 x = ym: si m = 2, on aura a x = y2; si m = 3, on aura a2 x = y3; si m = 4, a3 x = y4. Toutes les courbes auxquelles ces équations appartiennent sont dites de la même famille par quelques géometres.

Les équations qui représentent des familles de courbes, ne doivent pas être confondues avec les équations exponentielles; car quoique l'exposant soit indéterminé, par rapport à toute une famille de courbes, il est déterminé & constant par rapport à chacune des courbes qui la composent; au lieu que dans les équations exponentielles l'exposant est variable & indeterminé pour une seule & même courbe. Voyez Exponentiel.

Toutes les courbes algébriques composent, pour ainsi dire, une certaine famille, qui se subdivise en une infinité d'autres, dont chacune contient une infinité de genres. En effet dans les équations par lesquelles les courbes sont déterminées, il n'entre que des produits, seit des puissances des abscisses & des ordonnées par des coefficiens constans, soit des puissances des abseisses par des puissances des ordonnées, soit de quantités constantes pures & simples, les unes par les autres. De plus chaque équation d'une courbe peut toûjours avoir zro pour un de ses membres, par exemple, a x = y2 se change en a x - y2 = 0. Donc l'équation générale qui représentera toutes les courbes algébriques sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Nous devons remarquer ici que le P. Reyneau s'est trompé dans le second volume de son analyse démontrée, lorsque voulant déterminer les tangentes de toutes les courbes géométriques en général, il prend pour l'équation générale de toutes ces courbes ym + b xn yq + c xq = 0, équation qui n'a que trois termes. Il est visible que cette équation est insuffisante, & qu'on doit lui substituer celle que nous venons de donner.

Courbe caustique. Voyez Caustique.

Courbe diacaustique. Voyez Diacaustique.

Les meilleurs ouvrages dans lesquels on puisse s'instruire de la théorie des courbes, sont, 1° l'enumeratio linearum tertii ordinis de M. Newton, d'où une partie de cet article Courbe est tirée: 2° l'ouvrage de M. Stioling sur le même sujet, & Geometria organica de M. Maclaurin, dont nous avons parlé: 3° les usages de l'analyse de Descartes par M. l'abbé de Gua, déjà cités; ouvrage original & plein d'excellentes choses, mais qu'il faut lire avec précaution (Voyez Branche & Rebroussement.): 4° l'introduction

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