"388"> à l'analyse des lignes courbes, par M. Cramer; ouvrage très - complet, très - clair & très - instructif, & dans lequel on trouve d'ailleurs plusieurs méthodes nouvelles: 5° l'ouvrage de M. Euler, qui a pour titre, introductio in analys. infinitorum, Lausan. 1748.

Sur les propriétés, la génération, &c. des différentes courbes méchaniques particulieres; par exemple, de la cycloïde, de la logarithmique, de la spirale, de la quadratice, &c. Voy. les articles Cycloïde, Logarithmique, &c.

On peut voir aussi la derniere section de l'application de l'Algebre à la Géométrie, de M. Guisnée, où l'on trouvera quelques principes généraux sur les courbes méchaniques. Voyez aussi Mechanique & Transcendant.

On peut faire passer une courbe géométrique & réguliere, par tant de points qu'on voudra d'une courbe quelconque irréguliere, tracée sur le papier; car ayant imaginé dans le plan de cette courbe une ligne droite quelconque, qu'on prendra pour la ligne des abscisses, & ayant abaissé des points donnés de la courbe irréguliere des perpendiculaires à la ligne des x, on nommera a la premiere ordonnée, & b l'abscisse qui lui répond; c la seconde ordonnée, & e l'abscisse correspondante; f la troisieme ordonnée, & g l'abscisse correspondante. Ensuite on supposera une courbe dont l'équation soit y = A + B x + C x2 + D x2 + &c. & faisant successivement y = a, x = b; y = c, x = e; y = f, x = g, &c. on déterminera les coefficiens A, B, C, &c. en tel nombre qu'on voudra; & la courbe réguliere dont l'équation est y = A + B x + C x2, &c. passera par tous les points donnés. S'il y a n points donnés, il faudra supposer n coefficiens A, B, C, D, &c. On peut donc faire approcher aussi près qu'on voudra une courbe irréguliere d'une courbe réguliere; mais jamais on ne parviendra à faire coïncider l'un avec l'autre; & il ne faut pas s'imaginer qu'on puisse jamais, à la vûe simple, déterminer l'équation d'une courbe, comme l'a crû le géometre dont nous avons parlé au commencement de cet article.

Les courbes dont l'équation y = A + B x + C x2 &c. s'appellent courbes de genre parabolique. Voyez Parabolique. Elles servent à rendre une courbe quelconque irréguliere ou méchanique, le plus géométrique qu'il est possible. Elles servent aussi à l'équarrer par approximation. Voyez Quadrature. Au reste, il y a des courbes, par exemple, les courbes ovales ou rentrant en elles - mêmes, par lesquelles on ne peut jamais faire passer une courbe de genre parabolique; parce que dans cette derniere courbe l'ordonnée n'a jamais qu'une valeur, & que dans les courbes ovales, elle en a toûjours au moins deux. Mais on pourroit, par exemple, rapporter ces courbes, lorsqu'elles ont un axe qui les divise en deux également, à l'équation y y = A + B x + C x2 + &c. Voyez Methode differentielle.

Courbe à double courbure. On appelle ainsi une courbe dont tous les points ne sauroient être supposés dans un même plan, & qui par conséquent est doublement courbe, & par elle - même, & par la surface sur laquelle on peut la supposer appliquée. On distingue par cette dénomination les courbes dont il s'agit, d'avec les courbes à simple courbure ou courbes ordinaires. M. Clairaut a donné un traité de ces courbes à double courbure; c'est le premier ouvrage qu'il ait publié.

Une courbe quelconque a double courbure étant supposée tracée; on peut projetter cette courbe sur deux plans différens perpendiculaires l'un à l'autre, & les projections seront deux courbes ordinaires qui auront un axe commun & des ordonnées différentes. L'équation d'une de ces courbes sera, par exemple, en x & en y, l'autre en x & en z. Ainsi l'équation d'une courbe à double courbure sera composée de deux équations à deux variables chacune, qui ont chacune une même variable commune. Il est à remarquer que quand on a l'équation en x & en y, & l'équation en x & en z, on peut avoir par les regles connues (Voyez Equation & Division) une autre équation en y & en z; & ce sera l'équation d'une troisieme courbe, qui est la projection de la courbe à double courbure sur un troisieme plan perpendiculaire aux deux premiers.

On peut regarder, si l'on veut, une des courbes de projection, par exemple, celle qui a pour coordonnées x & y, comme l'axe curviligne de la courbe à double courbure. Si on veut avoir la tangente de cette derniere courbe en un point quelconque, on menera d'abord la tangente de la courbe de projection au point correspondant, c'est - à - dire au point qui est la projection de celui dont on demande la tangente; & sur cette tangente prolongée autant qu'il sera nécessaire, on prendra une partie = [omission: formula; to see, consult fac-similé version] d s exprimant le petit arc de la courbe de projection: on a le rapport de d s à d x par l'équation de la courbe en x & en y (Voyez Tangente. & Differentiel ); on a celui de d x à d z par l'équation de la courbe en x & en z. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] pourra toûjours être exprimé par une quantité finie, d'où les différentielles disparoîtront. Une courbe à double courbure est algébrique, quand les deux courbes de projection le sont; elle est méchanique, quand l'une des courbes de projection est méchanique, ou quand elles le sont toutes deux. Mais dans ce dernier cas on n'en trouvera pas moins les tangentes; car par l'équation différentielle des courbes de projection, on aura toûjours la valeur de d s en d x & celle de d z en d x.

Surfaces courbes. Une surface courbe est représentée en Géométrie par une équation à trois variables, par exemple, x, y & z. En effet, si on prend une ligne quelconque au - dedans ou au - dehors de la surface courbe pour la ligne des x, & qu'on imagine à cette ligne une infinité de plans perpendiculaires qui coupent la surface courbe, ces plans formeront autant de courbes, dont l'équation sera en y & en z, & dont le parametre sera la distance variable x du plan coupant à l'origine des x. Ainsi, z z = x x - y y, est l'équation d'un cone droit & rectangle, dont l'axe est la ligne des x. M. Descartes est le premier qui ait déterminé les surfaces courbes par des équations à trois variables, comme les lignes courbes par des équations à deux.

Une surface courbe est géométrique, quand son équation est algébrique & exprimée en termes finis. Elle est méchanique, quand son équation est différentielle & non algébrique; dans ce cas on peut représenter l'équation de la surface courbe par d z = A d x + A d y, A & Bétant des fonctions de x, de y & de z. Il semble d'abord qu'on aura cette surface courbe, en menant à chaque point de la ligne des x un plan perpendiculaire à cette ligne, & en traçant ensuite sur ce plan la courbe dont l'équation est d z = B d y, x étant regardée comme un parametre constant, & d x étant supposée = 0. Cette construction donneroit à la vérité une surface courbe; mais il faut que la surface courbe satisfasse encore à l'équation d z = a d x, y étant regardé comme constant; c'est - à - dire il faut que les sections de la surface courbe, par un plan parallele à la ligne des x, soient représentées par l'équation d z = a d x. Or cela ne peut avoir lieu que lorsqu'il y a une certaine condition entre les quantités A & B; condition que M. Fontaine, de l'académie des Sciences, a découvert le premier. On trouvera aussi dans les mémoires de l'académie de Petersbourg, tome III. des recherches sur la ligne la plus courte que l'on puisse tracer sur une surface [p. 389] courbe entre deux points donnés. Sur une surface plane, la ligne la plus courte est une ligne droite. Sur une surface sphérique, la ligne la plus courte est un arc de grand cercle passant par les deux points donnés. Et en effet il est aisé de voir, par les principes de la Géométrié ordinaire, que cet arc est plus petit que tout autre ayant la même corde; car, à cordes égales, les plus petits arcs sont ceux qui ont un plus grand rayon. Voyez aussi les oeuvres de Bernoulli, tome IV. page 108. La ligne dont il s'agit a cette propriété, que tout plan passant par trois points infiniment proches, ou deux côtés contigus de la courbe, doit être perpendiculaire au plan qui touche la courbe en cet endroit. En voici la preuve. Toute courbe qui passe par deux points infiniment proches d'une surface sphérique, & qu'on peut toûjours regarder comme un arc de cercle, est évidemment la ligne la plus courte, lorsqu'elle est un arc de grand cercle; & cet arc de grand cercle est perpendiculaire au plan touchant, comme on peut le démontrer aisément par les élémens de Géométrie. Or toute portion de surface courbe infiniment petite peut être regardée comme une portion de surface sphérique, & toute partie de courbe infiniment petite comme un arc de cercle. Donc, &c. La perpendiculaire à la méridienne de la France tracée par M. Cassini, est une courbe à double courbure, & est la plus courte qu'on puisse tracer sur la surface de la terre regardée comme un sphéroïde applati. Voyez lés mémoires de l'acad. de 1732 & 1733. Voilà tout ce que nous pouvons dire sur cette matiere, dans un ouvrage de l'espece de celui - ci.

Des courbes méchaniques, & de leur usage pour la construction d s équations différentielles Nous avons expliqué plus haut ce que c'est que ces courbes. Il ne s'agit que d'expliquer ici comment on les construit, ou en général comment on construit une equation différentielle. Soit, par exemple, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] une équation à construire, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] + C, C étant une constante qu'on ajoûte, parce que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est supposée = 0 lorsque x = c, & qu'on suppose que x = 0 rend y = C. Voyez Constante. On construira d'abord une courbe géométrique dont les ordonnées soient [omission: formula; to see, consult fac-similé version] lesabscisses étant x, l'aire de cette courbe (Voyez Quadrature. ) sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ainsi en supposant cette courbe générale, si on fait un quarré [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & on construira la courbe dont l'ordonnée est y.

Cette méthode suppose, comme on voit, que les indéterminées soient séparées dans l'équation différentielle (Voyez Calcul integral); elle suppose de plus les quadratures, sans'cela elle ne pourroit réussir.

Soit en général X d x = Y d y, X étant une fonction de x (Voyez Fonction), & Y une fonction de y. On construira d'abord par la méthode précédente une courbe dont les abscisses soient x, & dont les ordonnées z soient = s X d x divisé par une constante convenable, c'est - à - dire par une constante m qui ait autant de dimensions qu'il y en a dans X; ensorte que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] soit d'une dimension, pour pouvoir être égale à une ligne z. Ensuite on construira de même une courbe dont les abscisses soient y, & dont les ordonnées u soient = [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; prenant ensuite u dans la derniere courbe = z dans l'autre, on aura l'x & l'y correspondantes; & ces x & y joints à angles droits, si les coordonnées doivent faire un angle droit, donneront la courbe qu'on cherche.

Voyez dans la derniere section de l'application de l'Algebre à la géométrie de M. Guisnée, & dans l'analyse des infiniment petits de M. de l'Hopital, plusieurs exemples de construction des équations différentielles par des courbes méchaniques. (O)

Courbe des arcs (Page 4:389)

Courbe des arcs, voyez Trochoïde.

Courbe des sinus (Page 4:389)

Courbe des sinus, voyez Sinus.

Courbes (Page 4:389)

Courbes, s. f. (Mar.) Ce sont des pieces de bois beaucoup plus fortes & plus grosses que les courbatons, dónt elles ont la figure: leur usage est de lier les membres des côtés du vaisseau aux baux, & de gros membres à d'autres. Voyez Courbatons.

Sur chaque bout des baux on met une courbe ou courbaton, pour le soûtenir & lier le vaisseau. Pour former une courbe on prend ordinairement un pié d'arbre, au haut duquel il y a deux branches qui fourchent, & l'on coupe ce pié en deux, y laissant une branche four chue de chaque côté. Aux grands gabarits & sous toute l'embelle, où le vaisseau a le plus à souffrir, on ne peut mettre les courbes trop fortes; mais comme de si grosses pieces de bois diminuent l'espace pour l'arimage, on fait quelquefois des courbes de fer de trois à quatre pouces de large, & d'un quart de pouce d'épais, qu'on applique sur les côtés des courbes qui sont les plus foibles, & la brahche supérieure s'applique aux baux avec des clous & des chevilles de fer. Voy. Marine, Pl. V. fig. 1. n°. 121. les courbes de fer du second pont, & Pl. IV. fig. 1. même n°. 12. & celles du premier pont, mêmes Planches, n°. 70.

A l'égard des courbes ou courbatons qui se posent en - travers dans les angles de l'avant & de l'arriere du vaisseau, on leur laisse toûjours toute la grosseur que le bois peut fournir, & l'on tâche d'en avoir d'un pié d'arbre entier où il n'y ait qu'une fourche, & qui n'ait point été scié, parce que celles qui sont sciées sont bien plus foibles; & pour le mieux on tâche que les courbes qui se posent en travers, ayent à l'endroit de bas des serrebauquieres, autant d'épaisseur que le bau auquel elles sont jointes.

Courbes d'arcasse, ce sont des pieces de liaison assemblées dans chacun des angles de la poupe, d'un bout contre la lisse de hourdi, & de l'autre contre les membres du vaisseau. Voyez leur figure, Marine, Pl. VI. n°. 69.

Courbe de contre - arcasse ou contre - lisses; ce sont des pieces de bois posées en fond de cale, arcboutées par en - haut contre l'arcasse, & attachées du bout d'en - bas sur les membres du vaisseau.

Courbe d'etambord, c'est une piece de bois courbe, qui pose sur la quille du vaisseau d'un côté, & de l'autre contre l'étambord. Voyez Marine, Pl. IV. fig. 1. n°. 8.

Courbes du premier pont, doivent avoir les deux tiers de l'épaisseur de l'étrave. Voy. leur fig. Marine, Pl. VI. n°. 68.

Courbe de la poulaine, c'est une piece de bois située entre la gorgere ou taille - mer, l'étrave & l'aiguille de l'éperon. Voyez Pl. IV. fig. 1. cette courbe cottée 194. la go'gere, cottée 193. l'étrave, n°. 3. & l'aiguille de l'éperon, 184. (Z)

Courre (Page 4:389)

Courre, se dit en Charpenterie & Menuiserie, de toute piece de bois ceintrée.

Courbe d'escalier (Page 4:389)

Courbe d'escalier, (Charpent.) c'est celle qui forme le quartier tournant, autrement dit le noyant recreusé. Voyez Pl. I. fig. 2. du Charpentier.

Courbes rallongées, sont celles dont les parties ceintrées ont différens points de centres.

Courbe (Page 4:389)

Courbe, (Maréchallerie.) Les Maréchaux appellent ainsi une tumeur dure & calleuse qui vient en longueur au - dedans du jarret du cheval; c'est - à - dire

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