RECHERCHE | Accueil | Mises en garde | Documentation | ATILF | ARTFL | Courriel |
"384">
Nous ne nous étendrons pas ici sur les manieres
de déterminer les différentes branches des courbes;
nous renvoyerons sur ce sujet au livre de M. Cramer, qui a pour titre, introduction a l'analyse des lignes
courbes. Nous dirons seulement ici que ce problème
dépend de la connoissance des séries & de la
regle du parallélogramme, dont nous parlerons en
leur lieu. Voyez
Division des courbes en differens ordres. Nous avons
vû à l'article
Réduction des courbes du second genre. M. Newton
Pour arriver à ces quatre équations, il faut d'abord prendre l'équation générale la plus composée des lignes du troisieme ordre, & l'écrire ainsi: [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
On remarquera que le plus haut rang z
En second lieu, si les trois facteurs du plus haut
rang sont égaux, on n'aura dans l'équation transformée,
en faisant z + A u = t, que les termes t
3°. Si les trois facteurs du premier rang sont
égaux, & que de plus un de ces facteurs soit aussi
facteur du second rang f z z + g z u + h u u, alors la
transformée aura des termes de cette forme t
4°. Enfin si les trois facteurs du premier rang
étant égaux, ceux du second sont les mêmes, l'équation
alors n'aura que des termes de cette forme t
On voit par ce détail sur quoi est fondée la division générale des lignes du troisieme ordre qu'a donné M. Newton; on voit de plus que les équations qu'il a données auroient pû encore recevoir toutes une forme plus simple, à l'exception de la premiere.
Enumération des courbes du second genre. L'auteur subdivise ensuite ces quatre especes principales en [p. 385]
Le premier cas qui est celui de x y y + e x = a x
Lorsqu'une hyperbole est toute entiere au - dedans de ses asymptotes comme l'hyperbole conique, M. Newton l'appelle hyperbole inscrite: lorsqu'elle coupe chacune de ses asymptotes, pour venir se placer extérieurement par rapport à chacune des parties coupées, il la nomme hyperbole circonscrite; enfin lorsqu'une de ses branches est inscrite à son asymptote, & l'autre circonscrite à la sienne, il l'appelle hyperbole ambigene: celle dont les branches tendent du même côté, il la nomme hyperbole convergente: celle dont les branches ont des directions contraires, hyperbole divergente: celle dont les branches tournent leur convexité de différens côtés, hyperbole à branches contraires: celle qui a un sommet concave vers l'asymptote, & des branches divergentes, hyperbole conchoïdale: celle qui coupe son asymptote avec des points d'inflexion, & qui s'étend vers deux côtés opposés, hyperbole anguinée ou serpentante: celle qui coupe la branche conjuguée, cruciforme: celle qui retourne sur elle - même & se coupe, hyperbole à noeud: celle dont les deux parties concourent en un angle de contact & s'y terminent, hyperbole à pointe ou à rebroussement: celle dont la conjuguée est une ovale infiniment petite, c'est - à - dire un point, hyperbole point>e ou à point conjugué: celle qui par l'impossibilité de deux racines n'a ni ovale, ni point conjugué, ni point de rebroussement, hyperbole pure; l'auteur se sert dans le même sens des dénominations de parabole convergente, divergente, cruciforme, &c. Lorsque le nombre des branches hyperboliques surpasse celui des branches de l'hyperbole conique, il appelle l'hyperbole redundante.
M. Newton compte jusqu'à soixante - douze especes inférieures de courbe du second genre: de ces courbes il y en a neuf qui sont des hyperboles redundantes sans diametre, dont les trois asymptotes forment un triangle. De ces hyperboles, la premiere en renferme trois, une inscrite, une circonscrite, & une ambigene, avec une ovale; la seconde est à noeud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme & la sixieme pures, la septieme & la huitieme cruciformes, la neuvieme anguinée.
Il y a de plus douze hyperboles redundantes qui n'ont qu'un diametre: la premiere a une ovale, la seconde est à noeud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée; la cinquieme, sixieme, septieme & huitieme, pures; la neuvieme & la dixieme cruciformes, la onzieme & la douzieme conchoïdales. Il y a deux hyperboles redundantes qui ont trois diametres.
Il y a encore neuf hyperboles redundantes, dont les trois asymptotes convergent en un point commun: la premiere est formée de la cinquieme & de la sixieme hyperbole redundantes, dont les asymptotes renferment un triangle; la seconde de la septieme & de la huitieme, la troisieme & la quatrieme de la neuvieme; la cinquieme est formée de la huitieme & de la septieme des hyperboles redundantes, qui n'ont qu'un diametre; la sixieme de la sixieme & de la septieme, la septieme de la huitieme & de la neuvieme, la huitieme de la dixieme & de la onzieme, la neuvieme de la douzieme & de la treizieme. Tous ces changemens se font en réduisant en un point le triangle compris par les asymptotes.
Il y a encore six hyperboles défectives sans diametre: la premiere a une ovale, la seconde est à noeud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme pure, &c.
Il y a sept hyperboles défectives qui ont des diametres: la premiere & la seconde sont conchoïdales avec une ovale, la troisieme est à noeud, la quatrieme à pointe: c'est la cissoïde des anciens; la cinquieme & la sixieme sont pointées, la septieme pure.
Il y a sept hyperboles paraboliques qui ont des diametres: la premiere ovale, la seconde à noeud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme pure, la sixieme cruciforme, la septieme anguinée.
Il y a quatre hyperboles paraboliques, quatre hyperbolismes de l'hyperbole, trois hyperbolismes de l'ellipse, deux hyperbolismes de la parabole.
Outre le trident, il y a encore cinq paraboles divergentes: la premiere a une ovale, la seconde est à noeud, la troisieme pointée; la quatrieme est à pointe (cette derniere est la parabole de Neil, appellée communément seconde parabole cubique); la cinquieme est pure. Enfin il y a une derniere courbe appellée communément premiere parabole cubique. Remarquons ici que M. Stirling a déjà fait voir que M. Newton dans son énumération avoit oublié quatre especes particulieres, ce qui fait monter le nombre des courbes du second genre jusqu'à soixante - seize, & que M. l'abbe de Gua y en a encore ajoûté deux autres, observant de plus que la division des lignes du troisieme ordre en especes pourroit être beaucoup plus nombreuse, si on assignoit à ces différentes especes des caracteres distinctifs, autres que ceux que M. Newton leur donne.
On peut voir dans l'ouvrage de M. Newton, &
dans l'endroit cité du livre de M. l'abbé de Gua,
ainsi que dans M. Stirling, les subdivisions détaillées
des courbes du troisieme ordre, qu'il seroit troplong &
inutile de donner dans un Dictionnaire. Mais nous
ne pouvons nous dispenser de remarquer que les
principes sur lesquels ces divisions sont fondées, sont
assez arbitraires; & qu'en suivant un autre plan,
on pourroit former d'autres divisions des lignes du
troisieme ordre. On pourroit, par exemple, comme
MM. Euler & Cramer, distinguer d'abord quatre cas
généraux: celui où le plus haut rang n'a qu'une racine
réelle, celui où elles sont toutes trois réelles
& inégales, celui où deux sont égales, celui où trois
sont égales, & subdiviser ensuite ces cas. Cette division
générale paroît d'autant plus juste & plus naturelle,
qu'elle seroit parfaitement analogue à celle
des lignes du second ordre ou sections coniques, dans
laquelle on trouve l'ellipse pour le cas où le plus
haut rang a ses deux racines imaginaires; l'hyperbole,
pour le cas où le plus haut rang a ses racines
réelles & inégales, & la parabole pour le cas où elles
sont égales. Au reste il faut encore remarquer
que toutes les subdivisions de ces quatre cas, & même
la division générale, auront toûjours de l'arbitraire.
Cela se voit même dans la division des lignes
du second ordre. Car on pourroit à la rigueur,
par exemple, regarder la parabole comme une espece
d'ellipse dont l'axe est infini (voy.
M. Cramer trouve quatorze genres de courbes dans
Next page
The Project for American and French Research on the Treasury of the French Language (ARTFL) is a cooperative enterprise of Analyse et Traitement Informatique de la Langue Française (ATILF) of the Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), the Division of the Humanities, the Division of the Social Sciences, and Electronic Text Services (ETS) of the University of Chicago.