ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS

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"384"> gnes de x & de y, elle demeure absolument la même; donc cette équation ne doit contenir que des puissances ou des dimensions impaires de x & de y, sans terme constant, ou des puissances & des dimensions paires de x & de y, avec ou sans terme constant. Car dans le premier cas, tous les signes changeront, en faisant x & y négatives, ce qui est la même chose que si aucun signe ne changeoit; & dans le second cas aucun signe ne changera. Voulez - vous donc savoir si une courbe a un centre? L'équation étant ordonnée par rapport à x & à y, imaginez que l'origine soit transportée dans ce centre, ensorte que l'on ait x + a = z, y + b=u; & déterminez a & b à être telles, qu'il ne reste plus dans la transformée que des dimensions paires, ou des dimensions impaires sans terme constant; si la courbe a un centre possible, vous trouverez pour a & b des valeurs réelles. Dans l'extrait du livre de M. l'abbé de Gua, journal des Savans, Mai 1740, extrait dont je suis l'auteur, on a remarqué que l'énoncé de la méthode de cet habile géometre pour déterminer les centres, étoit un peu trop générale.

Nous ne nous étendrons pas ici sur les manieres de déterminer les différentes branches des courbes; nous renvoyerons sur ce sujet au livre de M. Cramer, qui a pour titre, introduction a l'analyse des lignes courbes. Nous dirons seulement ici que ce problème dépend de la connoissance des séries & de la regle du parallélogramme, dont nous parlerons en leur lieu. Voyez Parallelooramme, Serie, &c.

Division des courbes en differens ordres. Nous avons vû à l'article Conique, comment l'équation générale des sections coniques ou lignes du second ordre donne tiois courbes differentes. Voyez le troisieme vol. p. 8 - 8, col. 1re; nous remarquerons seulement ici, 1° qu'il faut - D u u au lieu de D u u; c'est une faute d'impression: 2° que lorsque D est négatif, & par conséquent - D u u positif, alors l'équation primitive & générale y y + p x y + b x x + qy + c x + a = o est telle que la portion y y + p x y + b x x a ses deux facteurs imaginaires, c'est - à - dire que cette portion y y + p x y + b x x supposée égale à zéro, ne donneroit aucune racine réelle. On peut aisément s'en assûrer par le calcul; car en ce cas on trouvera [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & la quantité A dans la transformée z z + A x x + B x + C=o sera positive, & par consequent - D positivé: 3° dans l'équation z z - D u u + F u + G = o, on peut réduire les trois termes - D u u + F u + G à deux + K t t + H, lorsque D n'est pas = o, par la même méthode qu'on employe pour faire évanouir le second terme d'une équation du second degré; c'est - à - dire en faisant [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & alors l'équation sera z z + K t t + H = o; équation à l'ellipse, si K est positif; & à l'hyperbole, si K est négatif: 4° si D = o, en ce cas on fera F u + G = k t, & l'équation sera z z + k t = o, qui est à la parabole: 5° dans le cas où D = o, y y + p x y + b x x a les deux facteurs égaux; & dans le cas où D est positif, c'est - à - dire où - D u u est négatif, y y + p x y + b x x a ses deux facteurs réels & inégaux, & l'équation appartrent à l'hyperbole, car en ce cas [omission: formula; to see, consult fac-similé version] > b, & A est négative. Voyez sur cela, si vous le jugez à propos, le septieme livre des sections coniques de M. de l'Hopital, qui traite des lieux géométriques; vous y verrez comment l'équation générale des sections coniques se transforme en équation à la parabole, à l'ellipse ou à l'hyperbole, suivant que y y + p x y + b x x est un quarré, ou une quantité composée de facteurs imaginaires, ou de facteurs réels inégaux. Passons maintenant aux lignes du troisieme ordre ou courbes du second genre.

Réduction des courbes du second genre. M. Newton réduit toutes les courbes du second genre à quatre especes principales représentées par quatre équations. Dans la premiere, le rapport des ordonnées y aux abscisses x, est représenté par l'équation x y y + e y = a x3 + b x x + c x + d; dans la seconde, l'équation a cette forme x y = a x3 + b x x + c x + d; dans la troisieme, l'équation est y y = a x3 + b x2 + c x + d: enfin la quatrieme a pour équation y = a x3 + b x2 + c x + d.

Pour arriver à ces quatre équations, il faut d'abord prendre l'équation générale la plus composée des lignes du troisieme ordre, & l'écrire ainsi: [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

On remarquera que le plus haut rang z3 + b z u2 + c u z2 + c u3 étant du troisieme degré, il aura au moins un facteur réel; les deux autres étant, ou égaux entr'eux & inégaux au premier facteur, ou reels & inégaux, tant entr'eux qu'avec le premier facteur, ou imaginaires, ou enfin égaux au premier. Soit z + A u ce facteur réel, & faisons d'abord abstraction du cas où les trois facteurs sont égaux; soit supposé z + A u = t, on aura une transformée qui contiendra t3, t2, t, t u u, u t t, t u, u u & u, avec un terme constant; or on fera d'abord disparoître le terme u u, en supposant t + F = s; ensuite en faisant u = N s + p + Q (les grandes lettres désignent ici des coefficiens), on fera disparoître les termes u t t & u t, & il ne restera plus que des termes qui représenteront la premiere équation x y y + e y = a x3 + b x x + c x + d = o.

En second lieu, si les trois facteurs du plus haut rang sont égaux, on n'aura dans l'équation transformée, en faisant z + A u = t, que les termes t3, t2, t, u, t u, u u, & un terme constant. Or on peut faire disparoitre les termes t u & u, en supposant u + R t + K = s, & l'on aura une équation de la forme y y = a x3 + b x2 + c x + d. Troisieme forme de M. Newton. Nous remarquerons même que cette équation pourroit encore se simplisier; car en suppotant x = R + q, on feroit évanoüir les termes b x x ou d, & quelquefois le terme c x.

3°. Si les trois facteurs du premier rang sont égaux, & que de plus un de ces facteurs soit aussi facteur du second rang f z z + g z u + h u u, alors la transformée aura des termes de cette forme t3, t, t u, t t, u, & un terme constant. Or faisant t + R = q, on fera disparoître le terme u, & on aura une équation de cette forme x y = a x3 + b x2 + c x + d. Seconde forme de M. Newton. Cependant on pourroit encore simplifier cette équation, & faire disparoître les deux termes b x2 + c x, en supposant x = Q p, & y = N p + R z + M.

4°. Enfin si les trois facteurs du premier rang étant égaux, ceux du second sont les mêmes, l'équation alors n'aura que des termes de cette forme t3, t t, u & t, avec un terme constant, & elle sera de la quatrieme forme de M. Newton, y = a x3 + b x2 + c x + d, de laquelle on peut encore faire disparoître les termes b x2 + c x + d, en supposant x = p + R, & y + N x + Q = z. En ce cas l'équation sera de la forme y = A x3, & représentera la premiere parabole cubique. Voy. les usages de l'analyse de Descartes, par M. l'abbé de Gua, page 437 & suiv.

On voit par ce détail sur quoi est fondée la division générale des lignes du troisieme ordre qu'a donné M. Newton; on voit de plus que les équations qu'il a données auroient pû encore recevoir toutes une forme plus simple, à l'exception de la premiere.

Enumération des courbes du second genre. L'auteur subdivise ensuite ces quatre especes principales en [p. 385] un grand nombre d'autres particulieres, à qui il donne différens noms.

Le premier cas qui est celui de x y y + e x = a x3 + b x2 + c x + d=o, est celui qui donne le plus grand nombre de subdivisions; les trois subdivisions principales sont que les deux autres racines du plus haut rang soient ou réelles & inégales, ou imaginaires, ou réelles & égales; & chacune de ces subdivisions en produit encore d'autres. Voyez l'ouvrage de M. l'abbé de Gua, page 440. & suiv.

Lorsqu'une hyperbole est toute entiere au - dedans de ses asymptotes comme l'hyperbole conique, M. Newton l'appelle hyperbole inscrite: lorsqu'elle coupe chacune de ses asymptotes, pour venir se placer extérieurement par rapport à chacune des parties coupées, il la nomme hyperbole circonscrite; enfin lorsqu'une de ses branches est inscrite à son asymptote, & l'autre circonscrite à la sienne, il l'appelle hyperbole ambigene: celle dont les branches tendent du même côté, il la nomme hyperbole convergente: celle dont les branches ont des directions contraires, hyperbole divergente: celle dont les branches tournent leur convexité de différens côtés, hyperbole à branches contraires: celle qui a un sommet concave vers l'asymptote, & des branches divergentes, hyperbole conchoïdale: celle qui coupe son asymptote avec des points d'inflexion, & qui s'étend vers deux côtés opposés, hyperbole anguinée ou serpentante: celle qui coupe la branche conjuguée, cruciforme: celle qui retourne sur elle - même & se coupe, hyperbole à noeud: celle dont les deux parties concourent en un angle de contact & s'y terminent, hyperbole à pointe ou à rebroussement: celle dont la conjuguée est une ovale infiniment petite, c'est - à - dire un point, hyperbole pointe ou à point conjugué: celle qui par l'impossibilité de deux racines n'a ni ovale, ni point conjugué, ni point de rebroussement, hyperbole pure; l'auteur se sert dans le même sens des dénominations de parabole convergente, divergente, cruciforme, &c. Lorsque le nombre des branches hyperboliques surpasse celui des branches de l'hyperbole conique, il appelle l'hyperbole redundante.

M. Newton compte jusqu'à soixante - douze especes inférieures de courbe du second genre: de ces courbes il y en a neuf qui sont des hyperboles redundantes sans diametre, dont les trois asymptotes forment un triangle. De ces hyperboles, la premiere en renferme trois, une inscrite, une circonscrite, & une ambigene, avec une ovale; la seconde est à noeud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme & la sixieme pures, la septieme & la huitieme cruciformes, la neuvieme anguinée.

Il y a de plus douze hyperboles redundantes qui n'ont qu'un diametre: la premiere a une ovale, la seconde est à noeud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée; la cinquieme, sixieme, septieme & huitieme, pures; la neuvieme & la dixieme cruciformes, la onzieme & la douzieme conchoïdales. Il y a deux hyperboles redundantes qui ont trois diametres.

Il y a encore neuf hyperboles redundantes, dont les trois asymptotes convergent en un point commun: la premiere est formée de la cinquieme & de la sixieme hyperbole redundantes, dont les asymptotes renferment un triangle; la seconde de la septieme & de la huitieme, la troisieme & la quatrieme de la neuvieme; la cinquieme est formée de la huitieme & de la septieme des hyperboles redundantes, qui n'ont qu'un diametre; la sixieme de la sixieme & de la septieme, la septieme de la huitieme & de la neuvieme, la huitieme de la dixieme & de la onzieme, la neuvieme de la douzieme & de la treizieme. Tous ces changemens se font en réduisant en un point le triangle compris par les asymptotes.

Il y a encore six hyperboles défectives sans diametre: la premiere a une ovale, la seconde est à noeud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme pure, &c.

Il y a sept hyperboles défectives qui ont des diametres: la premiere & la seconde sont conchoïdales avec une ovale, la troisieme est à noeud, la quatrieme à pointe: c'est la cissoïde des anciens; la cinquieme & la sixieme sont pointées, la septieme pure.

Il y a sept hyperboles paraboliques qui ont des diametres: la premiere ovale, la seconde à noeud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme pure, la sixieme cruciforme, la septieme anguinée.

Il y a quatre hyperboles paraboliques, quatre hyperbolismes de l'hyperbole, trois hyperbolismes de l'ellipse, deux hyperbolismes de la parabole.

Outre le trident, il y a encore cinq paraboles divergentes: la premiere a une ovale, la seconde est à noeud, la troisieme pointée; la quatrieme est à pointe (cette derniere est la parabole de Neil, appellée communément seconde parabole cubique); la cinquieme est pure. Enfin il y a une derniere courbe appellée communément premiere parabole cubique. Remarquons ici que M. Stirling a déjà fait voir que M. Newton dans son énumération avoit oublié quatre especes particulieres, ce qui fait monter le nombre des courbes du second genre jusqu'à soixante - seize, & que M. l'abbe de Gua y en a encore ajoûté deux autres, observant de plus que la division des lignes du troisieme ordre en especes pourroit être beaucoup plus nombreuse, si on assignoit à ces différentes especes des caracteres distinctifs, autres que ceux que M. Newton leur donne.

On peut voir dans l'ouvrage de M. Newton, & dans l'endroit cité du livre de M. l'abbé de Gua, ainsi que dans M. Stirling, les subdivisions détaillées des courbes du troisieme ordre, qu'il seroit troplong & inutile de donner dans un Dictionnaire. Mais nous ne pouvons nous dispenser de remarquer que les principes sur lesquels ces divisions sont fondées, sont assez arbitraires; & qu'en suivant un autre plan, on pourroit former d'autres divisions des lignes du troisieme ordre. On pourroit, par exemple, comme MM. Euler & Cramer, distinguer d'abord quatre cas généraux: celui où le plus haut rang n'a qu'une racine réelle, celui où elles sont toutes trois réelles & inégales, celui où deux sont égales, celui où trois sont égales, & subdiviser ensuite ces cas. Cette division générale paroît d'autant plus juste & plus naturelle, qu'elle seroit parfaitement analogue à celle des lignes du second ordre ou sections coniques, dans laquelle on trouve l'ellipse pour le cas où le plus haut rang a ses deux racines imaginaires; l'hyperbole, pour le cas où le plus haut rang a ses racines réelles & inégales, & la parabole pour le cas où elles sont égales. Au reste il faut encore remarquer que toutes les subdivisions de ces quatre cas, & même la division générale, auront toûjours de l'arbitraire. Cela se voit même dans la division des lignes du second ordre. Car on pourroit à la rigueur, par exemple, regarder la parabole comme une espece d'ellipse dont l'axe est infini (voy. Parabole), & ne faire que deux divisions pour les sections coniques; & on pourroit même n'en faire qu'une, en regardant l'hyperbole comme une ellipse, telle que dans l'équation y y = a a - x x, le quarré de l'abscisse x x ait le signe +. Il semble qu'en Géometrie comme en Physique, la division en genres & en especes ait toûjours nécessairement quelque chose d'arbitraire; c'est que dans l'une & dans l'autre il n'y a réellement que des individus, & que les genres n'existent que par abstraction de l'esprit.

M. Cramer trouve quatorze genres de courbes dans

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