"380"> leurs de x en y; nous venons de voir que les valeurs, tant positives que négatives de x, appartiennent à la courbe. Or les valeurs négatives sont les mêmes que l'on auroit avec un signe positis, en changeant dans l'équation primitive les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire; car on sait que dans une équation ordonnée en x, si on change les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire, toutes les racines changent de signe sans changer d'ailleurs de valeur. Voyez Equation. Donc l'équation en x, avec le changement des fignes indiqué appartient aussi - bien à la courbe que l'équation en x, sans changer aucun signe. Donc, &c. Il est donc important de changer les signes de x, s'il est nécessaire, pour avoir la partie de la courbe qui s'étend du côté des x négatives. En effet soit, par exemple, y y = a a - x x l'équation du cercle, on aura, en prenant x positive, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & en faisant x négative, on aura de même [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ce qui donne le cercle entier. Si on prenoit seulement x positive, on n'auroit que le demi - cercle; & si on ne prenoit y que positive, on n'auroit que le quart du cercle.

Voilà donc une démonstration générale de ce que tous les Géometres n'ont supposé jusqu'à présent que par induction. En effet ils ont vû, par exemple, que si y = a - x, c'est l'équation d'une ligne droite qui coupe son axe au point où x = a, & qui ensuite passe de l'autre côté. Or quand x > a, on a y négative; ainsi, ont - ils dit, l'ordonnée négative doit être prise du côté opposé à la positive. Ils ont vû encore que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est l'équation de la parabole, & que cette courbe a en effet deux parties égales & semblables, l'une à droite & l'autre à gauche de son axe, ce qui prouve que - “p x doit être prise du côté opposé à “p x. Plusieurs autres exemples pris du cercle, des sections coniques rapportées à tel axe qu'on jugera à propos, ont prouvé la regle de la position des ordonnées & la nécessité de prendre x négative, après l'avoir pris positive. On s'en est tenu là: mais ce n'étoit pas une démonstration rigoureuse.

Les différentes valeurs de y répondantes à x positive & à x négative, donnent les différentes branches de la courbe. Voyez Branche.

Lorsqu'on a ordonné l'équation d'une courbe par rapport à y ou à x, s'il ne se trouve point dans l'équation de terme constant, la courbe passe par l'origine; car en faisant x = o, & y = o dans l'équation, tout s'évanoüit. Donc la supposition de y = o quand x = o, est légitime. Donc la courbe passe par le point où x = o.

En général, si on ordonne l'équation d'une courbe par rapport à y, ensorte que le dernier terme ne contienne que x avec des constantes, & qu'on cherche les valeurs de x propres à rendre ce dernier terme égal à zéro, ces valeurs de x donneront les points où la courbe coupera son axe; car puisque ces valeurs de x substituées dans le dernier terme le rendront = o, on prouvera par le même raisonnement que ci - dessus, que dans les points qui répondent à ces valeurs de x, on a y = o.

Lorsque la valeur de l'ordonnée y est imaginaire, la courbe manque dans ces endroits - là; par exemple, lorsque x > a dans l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version] la valeur d'y est imaginaire: aussi le cercle n'existe point dans les endroits où x > a; de même si dans l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version] on fait x négative, on trouvera y imaginaire, ce qui prouve que la parabole ne passe point du côté des x négatives.

On verra aux articles Equation & Imagi<cb-> naire que toute quantité imaginaire ou racine imaginaire d'une équation peut se réduire à [omission: formula; to see, consult fac-similé version], A & B étant des quantités réelles, & que toute équation qui a pour racine [omission: formula; to see, consult fac-similé version] a pour racine aussi [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Or quand une ordonnée passe du réel à l'imaginaire, cela vient de ce qu'une quantité comme C, qui étoit sous un signe radical “C, devient négative, en sorte que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], B étant une quantité réelle. Or pour que C devienne négative, de positive qu'elle étoit, il faut qu'elle passe par le zero, ou par l'infini. Voyez Maximum. Donc au point où l'ordonnée passe à l'imaginaire, on a B nul ou infini; donc les racines [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] deviennent égales en ce point - là. Donc la limite qui sépare les ordonnées réelles des ordonnées imaginaires, renferme deux ou plusieurs ordonnées égales, lesquelles seront = o, ou finies ou infinies; égales à zero, si A = o, & si B est zero; finies, si A est finie, & B zero; infinies si A est infinie & B zero, ou si A est finie & B infinie, ou si A & B sont infinies l'une & l'autre.

Par exemple, si x=a, & que l'équation soit [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on a y = o; si l'équation est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], y sera = a; si l'équation est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], y sera infinie; & si dans tous ces cas on prend x > a, la valeur de y sera imaginaire.

Quand on a l'équation d'une courbe, il faut examiner d'abord si cette équation ne peut pas se diviser en plusieurs équations rationnelles; car si cela est, l'équation se rapporte, non à une seule & même courbe, mais à des courbes différentes. On en peut voir un exemple à l'article Hyperboles conjuguées au mot Conjugué. Nous ajoûterons ici, 1°. qu'il faut, pour ne point se tromper là - dessus, mettre d'abord tous les termes de l'équation d'un côté, & zero de l'autre, & voir ensuite si l'équation est réductible en d'autres équations rationnelles; car soit, par exemple, [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on seroit tenté de croire d'abord que l'équation peut se changer en ces deux - ci y = a - x & y = a + x, dont le produit donne [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; ainsi on pourroit croire que l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui appartient réellement au cercle, appartiendroit au système de deux lignes droites, y = a + x & y = a - x. Or on se tromperoit en cela; mais pour connoître son erreur, il n'y a qu'à faire [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & l'on verra alors facilement que cette équation n'est pas le produit des deux équations y - a + x = o & y - a - x = o; en effet, on sent assez que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ne donne ni y = a - x, ni y = a + x; mais si on avoit l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on trouveroit que cette équation viendroit des deux y - a - x = o & y - a + x = o, & qu'ainsi elle représenteroit non une courbe, mais un système de deux lignes droites.

2°. Les équations dans lesquelles l'équation apparente d'une courbe se divise, n'en seroient pas moins rationnelles quand elles renfermeroient des radicaux, pourvû que la variable x ne se trouvât pas sous ces radicaux; par exemple, une équation qui seroit formée de ces deux - ci, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], représenteroit toûjours le système de deux lignes droites. Il faut seulement remarquer que l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui résulte de ces deux - là, se change, en faisant évanoüir tout - à - fait le signe radical, en celle - ci ( [omission: formula; to see, consult fac-similé version], qui est du quatrieme degré, & qui renferme le système de 4 lignes droites [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [p. 381] [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

3°. Les équations sont encore rationnelles quand même x se trouveroit sous le signe radical, pourvû qu'on puisse l'en dégager: par exemple, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] se changent en [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui est le système des quatre lignes droites, où l'on voit que les deux équations licales en ont fourni chacune deux autres, parce que la racine de x x est également + x & - x. Je m'étends sur ces différens objets, parce qu'ils ne sont point traités ailleurs, ou qu'ils le sont trop succinctement, ou qu'ils le sont mal.

Ceci nous conduit à parler d'une autre maniere d'envisager l'équation des courbes, c'est de déterminer une courbe par l'équation, non entre x & y, mais entre les y qui répondent à une même abscisse.

Exemple. On demande une courbe, dans laquelle la somme de deux ordonnées correspondantes à une même x soit toûjours égale à une quantité constante 2a; je dis que l'équation de cette courbe sera y = a + “X, X désignant une quantité radicale quelconque, composée de x & de constantes. En effet, les deux ordonnées y = a + “X & y = a - “X ajoûtées ensemble, donnent une somme = 2a; mais il faut bien remarquer que “X doit être une quantité irrationnelle; car, par exemple, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ne satisferoient pas au problème, parce que ces deux équations ne désigneroient pas le système d'une seule & même courbe. De même si on demande une courbe, dans laquelle le produit des deux ordonnées correspondantes à x soit une quantité Q, qui contienne x avec des constantes, ou qui soit une constante, on fera [omission: formula; to see, consult fac-similé version], P étant une quantité quelconque qui contienne x avec des constantes, ou qui soit constante; car le produit des deux valeurs [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donnera Q. Voyez sur tout cela les journaux de Leipsic de 1697, les mémoires de l'acad. des Sciences de 1734, & l'introductio ad analysim infinitorum, par M. Euler, c. xjv.

Cours d'une courbe. Pour déterminer le cours d'une courbe, on doit d'abord résoudre l'équation de cette courbe, & trouver la valeur de y en x; ensuite on prend différentes valeurs de x, & on cherche les valeurs de y correspondantes; on voit par - là les endroits où la courbe coupe son axe, savoir les points où la valeur de y = o; les endroits où la courbe a une asymptote, c'est à - dire, les points où y est infinie, x restant finie, ou bien où y est infinie, & a un rapport fini avec x supposée aussi infinie; les points où y est imaginaire, & où par conséquent la courbe ne passe pas, &c. Ensuite on fait les mêmes opérations, en prenant x négative. Par exemple, soit ( [omission: formula; to see, consult fac-similé version]) l'équation d'une courbe, on aura donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Ce qui fait voir, 1°. que chaque valeur de x donne deux valeurs de y, à cause du double signe ; 2°. que si x = o, on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à - dire y = o & y = 2a; 3°. que si x = a, y = à l'infini, & que par conséquent la courbe a une asymptote au point où x = a, 4°. que si x = à l'infini, on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; ce qui prouve que la courbe a des asymptotes qui font avec son axe un angle de 45 degrés; en faisant x négative, on trouve [omission: formula; to see, consult fac-similé version] équation sur laquelle on fera des raisonnemens semblables. Il en est de même des autres cas. Si l'équation avoit [omission: formula; to see, consult fac-similé version] on trouveroit qu'au point où x = o, l'ordonnée devient imaginaire, &c.

On peut tracer à peu - près une courbe par plusieurs points, en prenant plusieurs valeurs de x assez près l'une de l'autre, & cherchant les valeurs de y. Ces méthodes de décrire une courbe par plusieurs points sont plus commodes & en un sens plus exactes que celles de les décrire par un monvement continu. Voyez Compas elliptique.

Les anciens n'ont guere connu d'autres courbes que le cercle, les sections coniques, la conchoïde, & la cissoïde. Voyez ces mots. La raison en est toute simple, c'est qu'on ne peut guere traiter des courbes sans le secours de l'Algebre, & que l'Algebre paroit avoir été peu connue des anciens. Depuis ce tems on y a ajoûté les paraboles & hyperboles cubiques, & le trident ou parabole de Descartes; voilà où on en est resté, jusqu'au Traité des lignes du troisieme ordre de M. Newton, dont nous parlerons plus bas. Voyez Parabole, Hyperbole, Trident , &c.

Nous avons dit ci - dessus que les courbes méchaniques sont celles dont l'équation entre les coordonnées n'est & ne peut - être algébrique, c'est - à - dire finie. Nous disons ne peut - être; car si l'équation différentielle d'une courbe avoit une intégrale finie, cette courbe qui paroîtroit d'abord méchanique, seroit réellement géométrique. Par exemple, si [omission: formula; to see, consult fac-similé version], la courbe est géométrique, parce que l'intégrale est [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ce qui représente une parabole. Mais l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est l'équation d'une courbe méchanique, parce que l'on ne sçauroit trouver l'intégrale de cette équation différentielle. Voyez Differentibl, Integral & Quadrature.

Les anciens ont fait très - peu d'usage des courbes méchaniques; nous ne leur en connoissons guere que deux, la spirale d'Archimede & la quadratrice de Dinostrate. Voyez ces mots. Ils se servoient de ces courbes pour parvenir d'une maniere plus aisée à la quadrature du cercle. Les modernes ont multiplié à l'infini le nombre des courbes méchaniques; le calcul différentiel a facilité extrêmement cette multiplication, & les avantages qu'on pouvoit en tirer. V. Mechanique. Revenons aux courbes algébriques ou géométriques, qui sont celles dont il sera principalement mention dans cet article, parce que le caractere de leurs équations qui consiste à être exprimées en termes finis, nous met à portée d'établir sur ces courbes des propositions générales, qui n'ont pas lieu dans les courbes méchaniques. C'est principalement la Géométrie des courbes méchaniques, qu'on appelle Géométrie transcendante, parce qu'elle employe nécessairement le calcul infinitésimal; au lieu que la Géométrie des courbes algébriques n'employe point, du moins nécessairement, ce calcul pour la décourverte des propriétés de ces courbes, si on en excepte leurs rectifications & leurs quadratures; car on peut déterminer, par exemple, leurs tangentes, leurs asymptotes, leurs branches, &c. & toutes les autres propriétes de cette espece par le secours du seul calcul algébrique ordinaire. Voyez les ouvrages de MM. Euler & de Gua, déja cités, & l'ouvrage de M. Cramer, qui a pour titre introduction à l'analyse des lignes courbes, Genev. 1750. in - 4°.

Nous avons vû ci - dessus comment on transforme les axes x & y d'une courbe par les équations x = Az + B u + C, y = D z + E u + F; c'est - là la transformation la plus générale, & si on veut faire des transformations plus simples, on n'a qu' supposer un des coefficiens A, B, C, D, &c. ou plusieurs égaux à zero, pourvû qu'on ne suppose pas, par exemple, A & B ensemble égaux à zero, ni D & E

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