"382"> ensemble égaux à zero, car on auroit x = C, & y = F; ce qui ne se peut, puisque x & y qui sont des indéterminées, ne peuvent être égales à des constantes. On ne doit point non plus supposer en même tems B & E = o, ni A & D = o; car substituant les valeurs de x & de y, on n'auroit plus dans l'équation de la courbe qu'une seule indéterminée u. Or il faut qu'il y en ait toûjours deux.

Il est visible que si on substitue à la place de x & de y les valeurs ci - dessus dans l'équation de la courbe, l'équation n'augmentera pas de dimension; car on détermine la dimension & le degré de l'équation d'une courbe par la plus haute dimension à laquelle se trouve l'une ou l'autre des inconnues x, y, ou le produit des inconnues; par exemple, l'équation d'une courbe est du troisieme degré, lorsqu'elle contient le cube y3, ou le cube x3, ou le produit xyy ou xxy, ou toutes ces quantités à la fois, ou quelques - unes seulement. Or comme dans les équations x=A z + B u + C, y = D z + E u + F, z & u ne montent qu'au premier degré, il est évident que si on substitue ces valeurs dans l'équation en x & en y, la dimension de l'équation & son degré n'augmentera pas. Il est évident, par la même raison, qu'elle ne diminuera pas; car si elle diminuoit, c'est - à - dire, si l'équation en z & en u étoient de moindre dimension que l'équation en x & en y, alors substituant pour z & pour u leurs valeurs en x & en y, lesquelles sont d'une seule dimension, comme il est aisé de le voir, on retrouveroit l'équation en x & en y, & par conséquent on parviendroit à une équation d'une dimension plus elevée que l'équation en z & en u; ce qui est contre la premiere proposition.

Donc en général, quelque transformation d'axe que l'on fasse, l'équation de la courbe ne change point de dimension. On peut voir dans l'ouvrage de M. l'abbé de Gua, & dans l'introduction à l'analyse des lignes courbes par M. Cramer, les manieres abrégées de faire le calcul pour la transformation des axes. Mais ce n'est pas de quoi il s'agit ici, cette abréviation de calcul étant indifférente en elle - même aux propriétés de la courbe. Voyez aussi Transformation des axes.

Courbes algébriques du même genre ou du même ordre, ou du même degré, sont celles dont l'équation monte à la même dimension. V. Ordre & Degré.

Les'courbes géométriques étant une fois déterminées par la relation des ordonnées aux abscisses, on les distingue en différens genres ou ordres; ainsi les lignes droites sont les lignes du premier ordre; les lignes du second ordre sont les sections coniques.

Il faut observer qu'une courbe du premier genre est la même qu'une ligne du second ordre, parce que les lignes droites ne sont point comptées parmi les courbes, & qu'une ligne du troisieme ordre est la même chose qu'une courbe du second genre. Les courbes du premier genre sont donc celles dont l'équation monte à deux dimensions; dans celles du second genre, l'équation monte à trois dimensions; à quatre, dans celles du troisieme genre, &c.

Par exemple, l'équation d'un cercle est y2=2ax - x x ou y2=a2 - x2; le cercle est donc une courbe du premier genre & une ligne du second ordre.

De même la courbe, dont l'équation est a x = y2, est une courbe du premier genre; & celle qui a pour équation a2 x = y3, est courbe du second genre & ligne du troisieme ordre.

Sur les différentes courbes du premier genre & leurs propriétés, voyez Sections coniques au mot Conique.

On a vû à cet article Conique, quelle est l'équation la plus générale des lignes du second ordre, & on trouve que cette équation a 3 + 2 + 1 termes; on trouvera de même que l'équation la plus générale des lignes du troisieme ordre est y3 + axy2+bxxy+cx3+ey2+fxy+gxx+hx + iy+l=o, & qu'elle a 4+3+2+1 termes, c'est - à - dire 10; en général, l'équation la plus composée de l'ordre n, aura un nombre de termes [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à - dire, à la somme d'une progression arithmétique, dont n + 1 est le premier terme & 1 le dernier. Voyez Progression arithmetique.

Il est clair qu'une droite ne peut jamais rencontrer une ligne du ne ordre qu'en n points tout au plus; car quelque transformation qu'on donne aux axes, l'ordonnée n'aura jamais que n valeurs réelles tout au plus, puisque l'équation ne peut être que du degré n. On peut voir dans l'ouvrage de M. Cramer, déja cité, plusieurs autres propositions, auxquelles nous renvoyons, sur le nombre des points, où les lignes de différens ordres ou du même ordre peuvent se couper. Nous dirons seulement que l'équation d'une courbe du degré n étant ordonnée, par exemple, par rapport à y, en sorte que yn n'ait pour coefficient que l'unité, cette équation aura autant de coefficiens qu'il y a de termes, moins un, c'est - à - dire, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc si on donne un pareil nombre de points, la courbe du ne ordre qui doit passer par ces points sera facilement déterminable; car en prenant un axe quelconque à volonté, & menant des points donnés des ordonnées à cet axe, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ordonnées connues, ainsi que les abscisses correspondantes, & par conséquent on pourra former autant d'équations, dont les inconnues seront les coefficiens de l'équation générale. Ces équations ne donneront jamais que des valeurs linéaires pour les coefficiens, qu'on pourra par conséquent trouver toûjours facilement.

Au reste il peut arriver que quelques - uns des coefficiens soient indéterminés, auquel cas on pourra faire passer plusieurs lignes du même ordre par les points donnes; ou que les points donnés soient tels que la courbe n'y puisse passer, pour lors l'équation sera réductible en plusieurs autres rationnelles. Par exemple, qu'on propose de faire passer une section conique par cinq points donnés (car n étant = 2, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]): il est visible que si trois de ces points sont en ligne droite, la section n'y pourra passer; car une section conique ne peut jamais être coupée qu'en deux points par une ligne droite, puisque son équation n'est jamais que de deux dimensions. Qu'arrivera - t - il donc? l'équation sera réductible en deux du premier degré, qui représenteront non une section conique, mais le système de deux lignes droites, & ainsi des autres.

On peut remarquer aussi que si quelques coefficiens se trouvent infinis, l'équation se simplifie; car les autres coefficiens sont nuls par rapport à ceux - là, & on doit par conséquent effacer les termes où se trouvent ces coefficiens nuls.

M. Newton a fait sur les courbes du second genre un traité intitulé, enumeratio linearum tertii ordinis. Les démonstrations des différentes propositions de ce traité se trouvent pour la plûpart dans les ouvrages de MM. Stirling & Maclaurin sur les courbes, & dans les autres ouvrages dont nous avons déjà parlé. Nous allons rapporter sommairement quelques - uns des principaux articles de l'ouvrage de M. Newton. Cet auteur remarque que les courbes du second genre & des genres plus élevés, ont des propriétés analogues à celles des courbes du premier genre: par exemple, les sections coniques ont des diametres & des axes; les lignes que ces diametres coupent en deux parties [p. 383] égales sont appellées ordonnées; & le point de la courbe où passe le diametre est nommé sommet; de même si dans une courbe du second genre on tire deux lignes droites parallcles qui rencontrent la courbe en trois points, une ligne droite qui coupera ces paralleles, de maniere que la somme des deux parties comprises entre la sécante & la courbe d'un même côté, soit égale à l'autre partie comprise entre la sécante & la courbe, coupera, suivant la même loi, toutes les autres lignes qu'on pourra mener parallelement aux deux premieres, & qui seront terminées à la courbe, c'est - à - dire les coupera de maniere que la somme des deux parties d'un même côté sera égale à l'autre partie.

En effet, ayant ordonné l'équation de maniere que y3 sans coefficient soit au premier terme, le second terme sera y2 (a + b x), & ce second terme contiendra la somme des racines, c'est - à - dire des valeurs de y. Voyez Equation. Or par l'hypothese, il y a deux valeurs de x qui rendent ce second terme = o, puisqu'il y a deux valeurs de x (hyp.) qui donnent la somme des ordonnées positives égale à la somme des négatives. Donc il y a deux valeurs de x, sçavoir A & B, qui donnent a + b A = o, a + B b=o. Or cela ne peut - être, à moins qu'en général on n'ait a=o, b=o. Donc a + b x=o, quelque valeur qu'on suppose à x. Donc le second terme manque dans l'équation. Donc la somme des ordonnées positives est par - tout égale à la somme des ordonnées négatives.

On peut étendre ce théoreme aux degrés plus élevés. Par exemple, dans le quatrieme ordre, le 2d terme étant y3 (a + b x), c'est encore la même chose, & si deux valeurs de x donnent la somme des ordonnées nulle, toutes les autres valeurs la donneront.

Outre cela, comme dans les sections coniques non paraboliques, le quarré d'une ordonnée, c'est - à - dire le rectangle des ordonnées situées de deux différens côtés du diametre, est au rectangle des parties du diametre terminées aux sommets de l'ellipse ou de l'hyperbole, comme une ligne donnée appellée latus rectum ou parametre, est à la partie du diametre comprise entre les sommets, & appellée latus transversum; de même dans les courbes du second genre non paraboliques, le parallelépipede sous trois ordonnées est au parallelépipede sous les trois parties du diametre terminées par les sommets & par la rencontre des ordonnées, dans un rapport constant.

Cela est fondé sur ce que le dernier terme de l'équation, savoir h x3 + l x2 + m x + n, est le produit de toutes les racines; que ce dernier terme est outre ceia le produit de A x + B par D x + E, & par F x + G, & que aux points où y=o, c'est - à - dire où le diametre coupe la courbe, points que l'on appelle ici sommets, on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version], [omission: formula; to see, consult fac-similé version], [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: avec ces propositions on trouvera facilement la démonstration dont il s'agit, ainsi que celle des théorèmes suivans, qui sont aussi tirés de M. Newton.

Comme dans la parabole conique qui n'a qu'un sommet sur un seul & même diametre, le rectangle des ordonnées est égal au produit de la partie du diametre comprise entre le sommet & l'ordonnée, par une ligne constante appellée latus rectum; de même dans celles des courbes du second genre qui n'ont que deux sommets sur un même & unique diametre, le parallelépipede sous trois ordonnées est égal au parallelépipede sous les deux parties du diametre, comprise entre les sommets & la rencontre de l'ordonnée, & sous une troisieme ligne constante, que l'on peut par conséquent nommer latus rectum. Voyez Parabole.

De plus, dans les sections coniques, si deux lignes paralleles & terminées à la section, sont coupées par deux autres lignes paralleles & terminées à la section, la premiere par la troisieme & la seconde par la quatrieme, le rectangle des parties de la premiere est au rectangle des parties de la troisieme, comme le rectangle des parties de la seconde est au rectangle des parties de la quatrieme; de même aussi, si on tire dans une courbe du second genre deux lignes paralleles, terminées à la courbe en trois points, & coupées par deux autres paralleles terminées à la même courbe, chacune en trois points, le parallelépipede des trois parties de la premiere ligne sera à celui des trois parties de la troisieme, comme le parallelépipede des trois parties de la seconde est à celui des trois parties de la quatrieme.

Enfin les branches infinies des courbes du premier & du second genre & des genres plus élevés, sont ou du genre hyperbolique ou du genre parabolique: une branche hyperbolique est celle qui a une asymptote, c'est - à - dire qui s'approche continuellement de quelque ligne droite; une branche parabolique est celle qui n'a point d'asymptote. Voyez Asymptote & Branche.

Ces branches se peuvent distinguer encore mieux par leurs tangentes. En effet, si le point de contact d'une tangente est supposé infiniment éloigné, la tangente de ce point se confond avec l'asymptote dans une branche hyperbolique; & dans une branche parabolique, elle s'éloigne à l'infini, & disparoît. On peut donc trouver l'asymptote d'une branche, en cherchant sa tangente à un point infiniment éloigné, & on trouve la direction de cette branche, en cherchant la position d'une ligne droite parallele à la tangente, lorsque le point de contact est infiniment éloigné; car la direction de la branche infinie à son extrémité est parallele à celle de cette ligne droite.

Les lignes d'un ordre impair, par exemple du troisieme, du cinquieme, ont nécessairement quelques branches infinies; car on peut toûjours par une transformation d'axes, s'il est nécessaire, préparer l'équation, ensorte que l'une au moins des coordonnées se trouve élevée à une puissance impaire dans l'équation; elle aura donc toûjours au moins une valeur réelle, quelque valeur qu'on suppose à l'autre coordonnée. Donc, &c.

Nous avons dit plus haut que dans une ligne courbe d'un genre quelconque, on peut toûjours imaginer l'axe tellement placé, que la somme des ordonnées d'une part soit égale à la somme des ordonnées de l'autre. L'axe en ce cas s'appelle ordinairement diametre. Il est évident que toute courbe en a une infinité; car ayant transformé les axes d'une maniere quelconque, on peut toûjours supposer cette transformation telle que le second terme de la transformée manque, & en ce cas l'un des axes sera diametre.

On appelle diametre absolu celui qui divise les ordonnées en deux également; tels sont ceux des sections coniques.

M. de Bragelongne appelle contre - diametre un axe des abscisses, tel que les abscisses opposées égales ayent des ordonnées opposées égales; c'est - à - dire, tel que x négative donne y négative, sans changer d'ailleurs de valeur.

Ceci nous conduit naturellement à parler des centres, dont nous avons déja dit un mot plus haut. Pour qu'une courbe ait un centre, il faut qu'en supposant l'origine placée dans ce centre, & prenant deux x opposées & égales, les y correspondantes soient aussi opposées & égales; c'est - à - dire il faut que faisant x négative dans l'équation, on trouve pour y la même valeur, mais négative. L'équation doit donc être telle par rapport à x & à y, qu'en changeant les si<pb->

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