"378"> ces lignes une notion qui soit plus claire à l'esprit que la notion simple qu'excite en nous le seul mot de droit & de courbe. La définition la plus exacte qu'on puisse donner de l'une & de l'autre, est peut - être celle - ci: La ligne droite est le chemin le plus court d'un point à un autre, & la ligne courbe est une ligne menée d'un point à un autre, & qui n'est pas la plus courte. Mais la premiere de ces définitions renferme plûtôt une propriété secondaire que l'essence de la ligne droite; & la seconde, outre qu'elle ne renferme qu'une propriété négative, convient aussi - bien à un assemblage de lignes droites qui font angle, qu'à ce qu'on appelle proprement courbe, & qu'on peut regarder comme l'assemblage d'une infinité de petites lignes droites contigues entr'elles à angles infiniment obtus. Voyez plus bas Courbe polygone; voyez aussi Convexe. Peut - être feroit - on mieux de ne point définir la ligne courbe ni la ligne droite, par la difficulté & peut - être l'impossibilité de réduire ces mots à une idée plus élémentaire que celle qu'ils présentent d'eux - mêmes. Voyez Définition.

Les figures terminées par des lignes courbes sont appellées figures curvilignes, pour les distinguer des figures qui sont terminées par des lignes droites, & qu'on appelle figures rectilignes. Voyez Rectiligne & Figure.

La théorie générale des courbes, des figures qu'elles terminent, & de leurs propriétés, constitue proprement ce qu'on appelle la haute géométrie ou la géométrie transcendante. Voyez Geometrie.

On donne sur - tout le nom de géométrie transcendante à celle qui, dans l'examen des propriétés des courbes, employe le calcul différentiel & intégral. Voyez ces mots; voyez aussi la suite de cet article.

Il ne s'agit pointici, comme on peut bien le croire, des lignes courbes que l'on peut tracer au hasard & irrégulierement sur un papier. Ces lignes n'ayant d'autre loi que la main qui les forme, ne peuvent être l'objet de la Géométrie; elles peuvent l'être seulement de l'art d'écrire. Un géometre moderne a pourtant crû que l'on pouvoit toûjours déterminer la nature d'une courbe tracée sur le papier; mais il s'est trompé en cela. Nous en donnerons plus bas la preuve.

Nous ne parlerons d'abord ici que des courbes tracées sur un plan, & qu'on appelle courbes à simple courbure. On verra dans la suite la raison de cette dénomination. Pour déterminer la nature d'une courbe, on imagine une ligne droite tirée dans son plan à volonté. Par tous les points de cette ligne droite, on imagine des lignes tirées parallelement & terminées à la courbe. La relation qu'il y a entre chacune de ces lignes paralleles, & la ligne correspondante de l'extrémité de laquelle elle part, étant exprimée par une équation, cette équation s'appelle l'équation de la courbe. Voyez Equation.

Dans une courbe, la ligne A D (Pl. de Géométr. fig. 51.) qui divise en deux également les lignes paralleles M M, est ordinairement appellée diametre. Si le diametre coupe ces lignes à angles droits, il est appellé axe; & le point A par où l'axe passe est appellé le sommet de la courbe. Voy. Diametre, Axe, & Sommet.

Les lignes paralleles M M sont appellées ordonnées ou appliquées; & leurs moitiés P M, demi - ordonnées ou ordonnées. Voyez Ordonnée.

La portion du diametre A P, comprise entre le sommet ou un autre point fixe, & l'ordonnée est appellée abscisse. Voyez Abscisse. Le point de concours des diametres se nomme centre. V. Centre; voyez aussi les remarques que fait sur ce sujet M. l'abbé de Gua dans la premiere section de son ouvrage intitulé, Usages de l'analyse de Descartes. Il appelle plus proprement centre d'une courbe un point de son plan, tel que si on mene par ce point une ligne droite quelconque terminée à la courbe par ses deux extrémités, ce point divise la ligne droite en deux parties égales.

Au reste, on donne aujourd'hui en général le nom d'axe à toute ligne tracée dans le plan de la courbe & à laquelle se rapporte l'équation; on appelle l'axe des x, ou simplement axe, la ligne sur laquelle se prennent les abscisses; axe des y, la ligne parallele aux ordonnées, & passant par le point où x est = o. Ce point est nommé l'origine des coordonnées ou l'origine de la courbe. Voyez Coordonnées.

Descartes est le premier qui ait pensé à exprimer les lignes courbes par des équations. Cette idée sur laquelle est fondée l'application de l'Algebre à la Géométrie (voyez Application & Decouverte) est très - heureuse & très - féconde.

Il est visible que l'équation d'une courbe étant résolue, donne une ou plusieurs valeurs de l'ordonnée y pour une même abscisse x, & que par conséquent une courbe tracée n'est autre chose que la solution géométrique d'un problème indéterminé, c'est - à - dire qui a une infinité de solutions: c'est ce que les anciens appelloient lieu géométrique. Car quoiqu'ils n'eussent pas l'idée d'exprimer les courbes par des équations, ils avoient vû pourtant que les courbes géométriques n'étoient autre chose que le lieu, c'est - à - dire la suite d'une infinité de points qui satisfaisoient à la même question; par exemple, que le cercle étoit le lieu de tous les points qui désignent les sommets des angles droits qu'on peut former sur une même base donnée, laquelle base est le diametre du cercle; & ainsi des autres.

Les courbes se divisent en algébriques, qu'on appelle souvent avec Descartes courbes géométriques; & en transcendantes, que le même Descartes nomme méchaniques.

Les courbes algébriques ou géométriques sont celles où la relation des abscisses A P aux ordonnées P M (fig. 52.) est ou peut être exprimée par une équation algébrique. Voyez Equation & Algebrique.

Supposons, par exemple, que dans un cercle on ait A B = a, A P = x, P M = y; on aura P B = a - x: par conséquent, puisque P M2 = AP P B, on aura y y = a x - x x; ou bien si on suppose P C = x, A C = a, P M = y, on aura M C2 - P C2= P M2, c'est - à - dire a2 - x2= y2.

Il est visible par cet exemple, qu'une même courbe peut être représentée par différentes équations. Ainsi sans changer les axes dans l'équation précédente, si on prend l'origine des x au sommet du cercle, au lieu de les prendre au centre, on trouve, comme on vient de le voir, y y = a x - x x pour l'équation.

Plusieurs auteurs, après Descartes, n'admettent que les courbes géométriques dans la construction des problèmes, & par conséquent dans la Géométrie; mais M. Newton, & après lui, MM. Leibnitz & Wolf sont d'un autre sentiment, & prétendent avec raison que dans la construction d'un problème, ce n'est point la simplicité de l'équation d'une courbe qui doit la faire préférer à un autre, mais la simplicité & la facilité de la construction de cette courbe. Voyez Construction, Problème, & Geometrique.

Courbe transcendante ou méchanique est celle qui ne peut être déterminée par une équation algébrique. Voyez Transcendant.

Descartes exclud ces courbes de la Géométrie; mais Newton & Leibnitz sont d'un avis contraire pour la raison que nous venons de dire. En effet une spirale, par exemple, quoique courbe méchanique, est plus aisée à décrire qu'une parabole cubique.

L'équation d'une courbe méchanique ne peut être exprimée que par une équation différentielle entre les d y & les d x. Voyez Differentiel. Entre ces deux genres de courbes, on peut placer, 1° les courbes [p. 379] exponentielles dans l'équation desquelles une des inconnues, ou toutes les deux entrent en exposant, comme une courbe dont l'équation seroit y = a x, ou yx = a y &c. Voyez Exponentiel. 2° les courbes interscendantes dans l'équation desquelles les exposans sont des radicaux, comme x = y“2. Ces deux especes de courbes ne sont proprement ni géométriques ni méchaniques, parce que leur équation est finie sans être algébrique.

Une courbe algébrique est infinie, lorsqu'elle s'étend à l'infini, comme la parabole & l'hyperbole; finie, quand elle fait des retours sur elle - même comme l'ellipse; & mixte, quand une de ses parties est infinie, & que d'autres retournent sur elles - mêmes.

Pour se former l'idée d'une courbe par le moyen de son équation, il faut imaginer que l'équation de la courbe soit résolue, c'est - à - dire qu'on ait la valeur de y en x. Cela posé, on prend toutes les valeurs positives de x depuis o jusqu'à l'infini, & toutes les valeurs négatives depuis o jusqu'à - l'infini. Les ordonnées correspondantes donneront tous les points de la courbe, les ordonnées positives étant prises toutes du même sens, & les négatives du côté opposé. Voilà ce qu'on trouve dans tous les Algébristes & géometres modernes. Mais aucun n'a donné la raison de cette regle. Nous la donnerons dans la suite de cet article, après avoir parlé auparavant de la transformation des axes d'une courbe.

Il est certain qu'après avoir rapporté l'équation d'une courbe à deux axes quelconques d'abscisses & d'ordonnées, on peut larapporter à deux autres axes quelconques tirés, comme on voudra, dans le plan de la courbe. De ces deux axes, l'un peut être parallele ou coïncident à l'axe des x, & l'autre parallele ou coïncident à l'axe des y; ils peuvent aussi n'être point paralleles ni l'un ni l'autre aux deux premiers axes, mais faire avec eux des angles quelconques. Supposons, par exemple, que A P (x) & P M (y) soient (Pl. d'Algeb. fig. 17.) les abscisses & les ordonnées d'une courbe, & qu'on veuille rapporter la courbe aux nouvelles coordonnées quelconques A p & p M; on tirera A B & B q paralleles à y & à x, & on nommera les coordonnées nouvelles A p (z) & p M (u). Cela posé, il est visible que l'angle a p M est donné, comme on le suppose, ainsi que l'angle p B q, & l'angle B q m ou son égal A m M, & que a B & A B sont aussi donnés de grandeur & de position. Donc si on nomme a B, a, & A B, b, on aura B p = z - a, B q ou A m = (z - a) m, m exprimant le rapport connu de B q à B p; P m = y n, n étant de même un coefficient donné, & par conséquent A P ou x=(z - a) m + y n: de plus M m = p M - p m = p M - A B - p q = u - b - z q + a q, q étant de même un coefficient donné, & M P ou y = (u - b - z q + a q) k: donc on aura y = (u - b - z q + a q) k & x = (z - a) m + n k (u <-> b - z q + a q); donc si on met à la place de x & de y leurs valeurs qu'on vient de trouver en z & en u, on aura une nouvelle équation par rapport aux coordonnées z & u. Voyez à l'art. Transformation des axes un plus grand détail.

Il est visible qu'on peut placer non - seulement l'axe des z & l'axe des u, mais aussi l'axedes x & celui des y, par - tout où l'on voudra, sans que la courbe change pour cela de place, & que la position de la courbe est totalement indépendante de la position des axes; de sorte que les ordonnées u partant de l'axe des z, doivent aboutir aux mêmes points que les ordonnées y, partant de l'axe des x. Cela est évident par les opérations même que l'on fait pour la transformation des axes. D'ailleurs on doit considérer qu'une courbe n'est autre chose que le lieu d'une infinité de points qui servent à résoudre un problème indéterminé, c'est - à - dire un problème qui a une infinité de solutions. Or la situation de ces points est totalement indépendante de la position des axes auxquels on les rapporte, ces axes pouvant être placés partout où l'on voudra. De ces principes, on peut tirer les conséquentes suivantes sur la position des ordonnées.

1°. Les ordonnées positives doivent être prises d'un même côté; car soit (fig. 36. n°. 3. analys.) A P l'axe des x, & qu'on trouve deux valeurs positives pour y; soit P m la plus grande de ces valeurs, je dis que la plus petite P M doit être prise du même côté. Car soit transposé l'axe A P en a p, en sorte que P p = a, & soit a p = x, & p m = z; on aura l'équation rapportée aux axes x & z, en mettant z - a pour y dans l'équation de la courbe; & on aura chaque valeur de z égale aux valeurs correspondantes de y, augmentées chacune de a; donc au point p, on aura deux valeurs positives de z, savoir a + P M & a + P m. Or si on ne prenoit pas P M du même côté que P m, mais de l'autre côté, l'ordonnée p M, au lieu d'être a + P M, seroit a <-> P M; la courbe changeroit donc ou d'équation ou de figure, en changeant d'axe; & tandis qu'une de ses parties resteroit à la même place, l'autre se promeneroit, pour ainsi dire, suivant que l'on changeroit l'axe de place. Or ni l'un ni l'autre ne se peut. Donc il faut que P M & P m soient pris du même côté, quand ils sont tous deux positifs.

2°. Si on a deux valeurs, l'une positive P M, l'autre négative P m (fig. 36. n°. 2.), il faudra les prendre de différens côtés. Car soit, par exemple, P M = “x, & P m = - “x: transposant l'axe A P en a p. ensorte que p P = a, & mettant z - a pour y, dans l'équation de la courbe, on aura z = a + “x & z = a - “x. Si on suppose “x < a, ce qui se peut toûjours, puisque a est arbitraire, on trouvera z ou p M = a + P M & z ou p m = a - P M. Donc P m doit être égale à P M, & prise dans un sens contraire. Tout cela est aisé à voir avec un peu d'attention.

Lorsque les ordonnées sont positives, elles appartiennent toutes également à la courbe, ce qui est évident, puisqu'il n'y a pas de raison pour préférer l'une à l'autre. Mais lorsqu'elles sont négatives, elles n'appartiennent pas moins à la courbe; car, pour s'en convaincre, il n'y a qu'à reculer l'axe de façon que toutes les ordonnées deviennent positives. Dans cette derniere position de l'axe, toutes les ordonnées appartiendront également à la courbe. Donc il en sera de même dans la premiere position que l'axe avoit.

Donc supposant x positive, toutes les valeurs de y tant positives que négatives, appartiennent à la courbe; mais au lieu de prendre la ligne des x pour l'axe, on peut prendre la ligne des y, & alors on aura des valeurs tant positives que négatives de x, lesquelles par la même raison appartiendront aussi à la courbe. Donc la courbe renferme toutes les valeurs des y répondantes à une même x, & toutes les valeurs de x répondantes à une même y; ou ce qui revient au même, elle renferme toutes les valeurs positives & négatives de y répondantes, soit aux x positives, soit aux x négatives. En effet, si dans la valeur de y qui répond aux x positives, on change les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire, on aura la valeur de y correspondante aux x négatives; & cette équation sera évidemment la même qu'on auroit, en résolvant l'équation en x & en y, après avoir changé d'abord dans cette équation les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire. Or je dis que cette derniere équation appartient également à la courbe; car ordonnons l'équation primitive par rapport à x, avant d'avoir changé aucun signe, & cherchons les va<pb->

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