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ADDITION (Page 1:128)
ADDITION, en Arithmétique, c'est la premiere des
quatre regles ou opérations fondamentales de cette
Science. Voyez
L'addition consiste à trouver le total ou la somme
de plusieurs nombres que l'on ajoûte successivement
l'un à l'autre. Voyez
Dans l'Algebre le caractere de l'addition est le signe +, ^~que l'on énonce ordinairement par le mot [p. 129]
L'addition des nombres simples, c'est - à - dire composés d'un seul chiffre, est fort aisée. Par exemple, on apperçoit d'abord que 7 & 9, ou 7 + 9 font 16.
Dans les nombres composés, l'addition s'exécute en écrivant les nombres donnés par colonnes verticales, c'est - à - dire, en mettant directement les unités sous les unités, les dixaines sous les dixaines, &c. après quoi l'on prend séparément la somme de toutes ces colonnes.
Mais pour rendre cela bien intelligible par des exemples, supposons que l'on propose de faire l'addition des nombres 1357 & 172: après les avoir écrits l'un sous l'autre, comme on le voit,
1357 172 - - - - - - - - - - - - - - - 1529..somme ou total. - - - - - - - - - - - - - - -
On commence par l'addition des unités, en disant 7 & 2 sont 9, qu'il faut écrire sous la colonne des unités; passant ensuite à la colonne des dixaines, on dira 5 & 7 sont 12 (dixaines) qui valent 1 cent & 2 dixaines, on posera donc 2 dixaines sous la colonne des dixaines, & l'on retiendra 1 cent que l'on doit porter à la colonne des cens, où l'on continuera de dire 1 (cent qui a été retenu) & 3 sont 4, & 1 sont 5 (cens); on écrira 5 sous la colonne des cens: passant enfin à la colonne des mille où il n'y a qu'un, on l'écrira sous cette colonne, & la somme ou le total de tous ce; nombres réunis, sera 1529.
Ensorte que pour faire cette opération, il faut réunir ou ajoûter toutes les unités de la premiere colonne, en commençant de la droite vers la gauche; & si la somme de ces unités ne surpasse pas 9, on écrira cette somme entiere sous la colonne des unités: mais si elle est plus grande, on retiendra le nombre des dixaines contenues dans cette somme pour l'ajoûter à la colonne suivante des dixaines; & dans le cas où il y aura quelques unités, outre ce nombre de dixaines, on les écrira sous la colonne des unités; quand il n'y en aura pas, on mettra o, ce qui signifiera qu'il n'y a point d'unités, mais simplement des dixaines, que l'on ajoûtera à la colonne suivante des dixaines, où l'on observera précisément les mêmes lois qu'à la précédente; parce que 10 unités valent 1 dixaine; 10 dixaines valent 1 cent; 10 cens valent 1 mille, &c.
Ainsi pour faire l'addition des nombres 87899 + 13403 + 1920 + 885, on les disposera comme dans l'exemple précédent:
87899 13403 1920 885 - - - - - - - - - - - - - - 104107... total. - - - - - - - - - - - - - -
Et après avoir tiré une ligne sous ces nombres ainsi disposés, on dira 9 & 3 sont 12, & 5 sont 17, où il y a une dixaine & 7 unités; on écrira donc 7 sous la colonne des unités, & l'on retiendra 1 (dixaine) que l'on portera à la colonne des dixaines, où l'on dira 1 (dixaine retenue) & 9 sont 10, & 2 sont 12, (le 0 ne se compte point) & 8 sont 20 (dixaines) qui valent précisément 2 cens, puisque 10 dixaines valent 1 cent; on écrira donc 0 sous la colonne des dixaines pour marquer qu'il n'y a point de dixaine, & l'on portera les 2 cens à la colonne des cens, où il faudra poursuiv> l'opération, en disant 2 (cens retenus) & 8 sont 10, & 4 sont 14, & 9 sont 23, & 8 sont 31 cens, qui valent 3 milles & 1 cent;
Quand les nombres ont différentes dénominations>
par exemple, quand ils contiennent des livres, des
sous, & des deniers, ou des toises, des piés, des pouces,
&c. on aura l'attention de placer les deniers sous
les deniers, les sous sous les sous, les livres, &c. &
l'on opérera comme ci - dessus. Supposons pour cela
que l'on propose d'ajoûter les nombres suivans, 120l.
15
120l. 15s. 9d. 65 12 5 9 8 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 195l. 16s. 2d. somme. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Et après avoir tiré une ligne, on commencera par
les deniers, en disant 9 & 5 sont 14 deniers, qui valent
un sou & 2 deniers (puisque 1 sou vaut 12 deniers); on écrira donc 2 deniers sous la colonne des
deniers, & l'on portera 1 sou à la colonne des sous,
où l'on dira 1 (sou retenu) & 5 sont 6, & 2 sont 8,
& 8 sont 16
L'addition des décimales se fait de la même maniere que celle des nombres entiers; ainsi qu'on peut le voir dans l'exemple suivant:
630.953 51.0807 305.27 - - - - - - - - - - - - - - - Somme 987.3037 - - - - - - - - - - - - - - -
Voyez encore le mot
L'addition, en algebre, c'est - à - dire, l'addition des
quantités indéterminées, désignées par les lettres
de l'alphabet, se fait en joignant ces quantités avec
leurs propres signes, & réduisant celles qui sont susceptibles
de réduction; savoir les grandeurs semblables.
Voyez
Ainsi a ajoûté à la quantité b, donne a + b; & a joint avec - b, fait a - b; - a & - b, font - a - b; 7a & 9a font 7a + 9a = 16a; car 7a & 9a sont des grandeurs semblables.
Si les grandeurs algébriques, dont on propose de
faire l'addition, étoient composées de plusieurs termes
où il y en a de semblables; par exemple, si l'on
avoit le polynome 3a
3a2 b3 - 5cs4 - 4dr + 2s - a2 b3 + 4cs4 + 4dr - s - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2a2 b3 - cs4 * + s Total. - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
On disposeroit ensuite l'autre polynome sous celui
que l'on vient d'écrire, de maniere que les termes
semblables fussent directement les uns sous les autres:
on tireroit une ligne sous ces polynomes ainsi disposés,
& réduisant successivement les termes semblables
à leur plus simple expression, on trouveroit que
la somme de ces deux polynomes est 2a
Remarquez que l'on appelle grandeurs semblables, en Algebre, celles qui ont les mêmes lettres & précisément le même nombre de lettres; ainsi 5abd & 2abd sont des grandeurs semblables; la premiere signifie que la grandeur abd est prise 5 fois, & la seconde, qu'elle est prise 2 fois; elle est donc prise en tout 7 fois; l'on doit donc écrire 7abd au lieu de 5abd + 2abd; & comme l'expression 7abd est plus simple que 5abd + 2abd, c'est la raison pour laquelle on dit en ce cas que l'on réduit à la plus simple expression.
Pour reconnoître facilement les quantités algébriques
semblables, on ne doit point faire attention à
leur coefficient: mais il faut écrire les lettres dans
l'ordre de l'alphabet. Quoique 2abd soit la même
chose que 2abd ou 2dba; eependant on aura une
grande attention de ne point renverser l'ordre de l'alphabet,
& d'écrire 2abd, au lieu de 2abd ou de
2bda: cela sert à rendre le calcul plus clair; 5abd
& 2abd paroissent plûtôt des grandeurs semblables
que 5bad & 2bda, qui sont pourtant la même
chose que les précédentes. Les quantités 3b
On observera encore que les quantités positives ou affectées du signe + sont directement opposées aux quantités négatives ou précédées du signe - ; ainsi quand les grandeurs dont on propose l'addition sont semblables & affectées de signes contraires, elles se détruisent en tout ou en partie, c'est - à - dire, que dans le cas où l'une est plus grande que l'autre, il se détruit dans la plus grande une partie égale à la plus petite, & le reste est la différence de la plus grande à la plus petite, affectée du signe de la plus grande.
Or cette opération ou réduction tombe toûjours sur les coefficients: il est évident que 5df& - 3df se réduisent à + 2df; puisque + 5df montre que la quantité df est prise 5 fois, & - 3df fait connoître que la même quantité df est retranchée 3 fois: mais une même quantité prise 5 fois & ôtée 3 fois se réduit à n'être prise que 2 fois.
Pareillement + 5fm & - 6fm se réduisent à - 1fm
ou simplement à - fm; car - 6fm est la quantité fm
ôtée 6 fois, & + 5fm est la même quantité fm remise
5 fois; la quantité fm reste donc négative encore
une fois, & est par conséquent - fm. V.
Il n'y a point de grandeurs Algébriques, dont on ne puisse faire l'addition, en tenant la conduite que l'on a indiquée ci - dessus : ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] De même [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] L'on a encore [omission: formula; to see, consult fac-similé version], [omission: formula; to see, consult fac-similé version] en ajoûtant ensemble les grandeurs a, b, qui multiplient la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version].
Pareillement [omission: formula; to see, consult fac-similé version], [omission: formula; to see, consult fac-similé version] puisque 2a + 3c + 3a = 5a + 3c.
On fait l'addition des fractions positives ou affirmatives,
qui ont le même dénominateur, en ajoûtant
ensemble leur numérateur, & mettant sous cette
somme le dénominateur commun: ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version];
& [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Voyez
On fait l'addition des quantités négatives de la même maniere précisément que celle des quantités affirmatives : ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version].
Quand il faut ajoûter une quantité négative à une quantité affirmative, l'affirmative doit être diminuée par la négative, ou la négative par l'affirmative: ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; pareillement [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; de même [omission: formula; to see, consult fac-similé version].
S'il s'agit d'ajoûter des irrationels; quand ils n'auront
pas la même dénomination, on la leur donnera.
En ce cas, s'ils sont commensurables entr'eux,
on ajoûtera les quantités rationnelles sans les lier
par aucun signe, & après leur somme on écrira le
signe radical: ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version].
[omission: formula; to see, consult fac-similé version] Au contraire [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
& [omission: formula; to see, consult fac-similé version] étant incommensurables, leur somme sera
[omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Voyez
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