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CENTRAL (Page 2:822)
CENTRAL, adj. (Méchanique.) se dit de ce qui
a rapport à un centre. Voyez
C'est ainsi que nous disons éclipse centrale, feu central,
force centrale, regle centrale, &c. Voyez les articles
Forces centrales, sont les forces ou puissances par lesquelles un corps mû tend vers un centre de mouvement, ou s'en éloigne.
C'est une loi générale de la nature, que tout corps
tend à se mouvoir en ligne droite; par conséquent
un corps qui se meut sur une ligne courbe, tend à
chaque instant à s'échapper par la tangente de cette
courbe: ainsi pour l'empêcher de s'échapper suivant
cette tangente, il faut nécessairement une force qui
l'en détourne & qui le retienne sur la courbe. Or
c'est cette force qu'on appelle force centrale. Par exemple
un corps A (
Remarquez qu'il n'est pas nécessaire que la force
centrale soit toûjours dirigée vers un même point:
elle peut changer de direction à chaque instant; il
suffit que sa direction soit différente de celle de la
tangente, pour qu'elle oblige le corps à décrire une
courbe. Voyez
Les forces centrales se divisent en deux especes, eu égard aux différentes manieres dont elles sont dirigées par rapport au centre, savoir en centripetes & en centrifuges. Voyez ces mots.
Lois des forces centrales. Le célebre M. Huyghens est le premier qui ait découvert ces lois. Mais outre qu'il les a données sans démonstration, il ne s'est appliqué qu'à déterminer les lois des forces centrales dans le cas où le corps décrit un cercle. Plusieurs auteurs ont démontré depuis les lois données par M. Huyghens, & le célebre M. Newton a étendu la théorie des forces centrales à toutes les courbes possibles.
Parmi les auteurs qui ont démontré les propositions de M. Huyghens, personne ne l'a fait plus clairement & d'une maniere plus simple, que le marquis de l'Hôpital dans les Mémoires de l'Académie de 1701. 1°. Il commence par enseigner la maniere de comparer la force centrale avec la pesanteur; & il donne là - dessus la regle générale suivante, qui renferme toute la théorie des forces centrales.
Supposons qu'un corps d'un poids déterminé se meuve uniformément autour d'un centre avec une certaine vîtesse, il faudra trouver de quelle hauteur il devroit être tombé pour acquérir cette vîtesse; après quoi on fera cette proportion: comme le rayon du cercle que le corps décrit est au double de cette hauteur, ainsi son poids est à sa force centrifuge. Il est visible que par cette proposition on peut toûjours trouver le rapport de la force centrale d'un corps à son poids; & que par conséquent on pourra facilement comparer les forces centrales entre elles. Mais si on veut se contenter de comparer les forces centrales entre elles sans les comparer avec la pesanteur, on peut se servir de ce théorème, que les forces centrales de deux corps sont entre elles comme les pro<cb->
Donc si deux corps M, m, décrivent les circonférences de cercles C, c avec des vîtesses V, u pendant les tems T, t, & que les forces centrales de ces corps soient F, f, & les rayons des cercles qu'ils décrivent R, r, on aura, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; de plus, on a, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc on aura encore [omission: formula; to see, consult fac-similé version].
2°. Il est aisé de conclurre de là, que si deux corps
de poids égal décrivent des circonférences de cercles
inégaux dans des tems égaux, leurs forces centrales seront comme les diametres A B & H L (
3°. La force centrale d'un corps qui se meut dans une circonférence de cercle, est comme le quarré de l'are infiniment petit A E, divisé par le diametre A B; car cet arc infiniment petit décrit dans un instant, peut représenter la vîtesse, puisqu'il lui est proportionnel. Ainsi puisqu'un corps décrit dans des tems égaux, par un mouvement uniforme, des arcs égaux A E, la force centrale par laquelle le corps est poussé dans la circonférence du cercle, doit être constamment la même.
4°. Si deux corps décrivent par un mouvement uniforme différentes circonférences, leurs forces centrales seront en raison composée de la doublée de leur vîtesse, & de la réciproque de leur diametre; d'où il s'ensuit que si les vîtesses sont égales, les forces centrales seront réciproquement comme les diametres; & si les diametres A B & H L sont égaux, c'est - à - dire si les mobiles se meuvent dans la même circonférence, mais avec des vîtesses inégales, les forces centrales seront en raison doublée des vîtesses.
Si les forces centrales de deux corps qui se meuvent dans des circonférences différentes, sont égales, les diametres A B & H L seront en raison doublée des vîtesses.
5°. Si deux corps qui se meuvent dans des circonférences
inégales sont animés par des forces centrales
égales, le tems employé à parcourir la plus grande
circonférence sera au tems employé à parcourir la
plus petite, en raison soûdoublée du plus grand diametre
A B, au moindre HL: c'est pourquoi on aura
T
Il s'ensuit aussi de là, que le tems que des corps poussés par des forces centrales égales employent à parcourir des circonférences inégales, sont proportionnels à leurs vîtesses. [p. 823]
Les forces centrales sont en raison composée de la directe des diametres & de la réciproque des quarrés des tems employés à parcourir les circonférences entieres.
6°. Si les tems dans lesquels les corps parcourent les circonférences entieres ou des arcs semblables, sont comme les diametres des cercles, les forces centrales seront alors réciproquement comme ces mêmes diametres.
7°. Si un corps se meut uniformément dans la circonférence d'un cercle avec la vîtesse qu'il acquiert en tombant de la hauteur A F, nous avons dit que la force centrale sera à la gravité comme le double de la hauteur A F est au rayon C A; & par conséquent si on nomme G la gravité du corps, la force centrifuge sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Par là on connoitra quelle doit être la force centrifuge & la vîtesse d'un corps attaché à un fil, pour qu'il ne rompe point ce fil en circulant horisontalement: car supposons qu'un poids de trois livres, par exemple, rompe le fil, & que le poids du corps soit de deux livres, on aura G égal à deux livres, & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] devra être plus petit que trois livres, d'où l'on tire [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: ainsi la vîtesse que le corps doit avoir pour ne point rompre le fil, doit être plus petite que celle qu'il acquerroit en tombant d'une hauteur égale aux 3/4 du rayon. Si le corps circuloit verticalement, il faudroit que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] fût < trois livres.
8°. Si un corps grave se meut uniformément dans la circonférence d'un cercle, & avec la vîtesse qu'il peut acquérir en tombant d'une hauteur égale à la moitié du rayon, la force centrale sera alors égale à la gravité; réciproquement si la force centrale est égale à la gravité, le corps se mouvra dans la circonférence du cercle avec la même vîtesse qu'il auroit acquise en tombant d'une hauteur égale à la moitié du rayon.
9°. Si la force centrale est égale à la gravité, le tems qu'elle employera à faire parcourir la circonférence entiere, sera au tems dans lequel un corps grave tomberoit de la moitié du rayon, comme la circonférence est au rayon.
10°. Si deux corps se meuvent dans des circonférences inégales & avec des vîtesses inégales, de sorte que les vîtesses soient entr'elles en raison réciproque de la soûdoublée des diametres, les forces centrales seront en raison réciproque de la doublée des distances au centre des forces.
11°. Si deux corps se meuvent dans des circonférences inégales avec des vîtesses qui soient entre elles réciproquement comme les diametres, les forces centrales seront en raison inverse des cubes de leur distance au centre des forces.
12°. Si les vitesses de deux corps qui se meuvent dans des circonférences inégales, sont en raison inverse de la soûdoublée des diametres, les tems qu'ils employeront à faire leur révolution entiere ou à parcourir des arcs semblables, seront en raison inverse de la triplée des distances du centre des forces: c'est pourquoi si les forces centrales sont en raison inverse de la doublée des distances du centre, les tems que les corps employeront à faire leur révolution entiere ou à parcourir des arcs semblables, seront en raison inverse de la triplée des distances.
13°. Ces différentes lois sont aisées à déduire de la formule que nous avons donnée dans l'art. 1. pour la comparaison des forces centrales entre elles. Or pour comparer les forces centrales sur des courbes autres que des cercles, il faut prendre au lieu des rayons des cercles, les rayons de la développée de ces courbes qui changent à chaque point, & qu'on trouve par des méthodes géométriques: d'où l'on voit que quand un corps décrit une courbe autre qu'un cer<cb->
14°. Si un corps tend à se mouvoir suivant A D
(
15°. Quelque différentes que soient des forces centrales dans des cercles, on pourra toûjours les comparer ensemble: car elles seront toûjours en raison composée de celle des quantités de matiere que contiennent les mobiles, de celles de leur distance au centre, & enfin de l'inverse de la doublée des tems périodiques. Si l'on multiplie donc la quantité de matiere de chaque mobile par sa distance du centre, & qu'on divise le produit par le quarré du tems périodique, les quotiens qui résulteront de ces opérations seront entre eux dans la raison des forces centrales: c'est une suite de l'article 1.
16°. Si les quantités de matieres sont égales, il faudra diviser les distances par les quarrés des tems périodiques, pour déterminer le rapport des forces centrales.
17°. Lorsque la force par laquelle un corps est sollicité
vers un point, n'est pas par - tout la même, mais
qu'elle augmente ou diminue à proportion de la distance
du centre; cette nouvelle condition fait décrire
alors au mobile différentes courbes plus ou moins
composées. Si la force décroît en raison inverse des
quarrés des distances à ce point, le mobile décrira
alors une ellipse, qui est une courbe ovale, dans laquelle
se trouvent deux points qu'on nomme foyers,
dont l'un est alors occupé par le point T, vers lequel
se dirige la force dont no> parlons; de façon
qu'à chaque révolution le corps s'approche une fois
de ce point, & s'en éloigne une fois. Le cercle appartient
aussi à cette espece de courbe; de sorte que
dans ce cas le mobile peut aussi décrire un cercle. Le
mobile peut aussi, en lui supposant une plus grande
vîtesse, décrire les deux autres sections coniques, la
parabole, & l'hyperbole; lesquelles ne retournent
point sur elles - mêmes. Si la force croît en même tems
que la distance, & en raison de la distance même, le
corps décrira encore une ellipse: mais le point vers
lequel se dirigera la force, sera alors le centre de
l'ellipse, & le mobile à chaque révolution s'approchera
deux fois & s'éloignera deux fois de ce point.
Il peut arriver encore en ce cas, que le corps se
meuve dans un cercle. Voyez
Les courbes peuvent être considérées, ou comme
courbes rigoureuses, ou comme polygones infinis;
or l'expression de la force centrale est différente dans
les deux cas: ce paradoxe singulier sera expliqué à
l'article
Regle centrale, c'est une regle ou une méthode qui
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