"737"> série; c'est à quoi on n'a pû parvenir jusqu'à présent. Cependant M. Nicole l'a sommée dans quelques cas particuliers, qu'il a par conséquent soustraits, pour ainsi dire, au cas irréductible. Voyez les Mem. acad. 1738, & suiv.

Lorsque l'une des trois équations réelles & inégales est commensurable, alors l'équation n'est plus dans le cas irréductible, parce que l'un des diviseurs du dernier terme donne la racine commensurable. Voyez Diviseur & Racine.

Mais quand l'équation est incommensurable, il faut, pour trouver l'expression réelle de la racine, ou sommer la série susdite, ou dégager de quelqu'autre maniere l'expression trouvée, de la forme imaginaire qui la défigure pour ainsi dire. C'est à quoi on travaille inutilement depuis deux cents ans.

Cette racine du cas irréductible, si difficile à trouver par l'Algebre, se trouve aisément par la Géométrie. Voyez Construction. Mais quoiqu'on ait sa valeur linéaire, on n'en est pas plus avancé pour son expression algébrique. V. Incommensurable.

Cet inconvénient du cas irréductible vient de la méthode qu'on a employée jusqu'ici pour résoudre les équations du troisieme degré; méthode imparfaite, mais la seule qu'on ait pû trouver jusqu'à présent. Voici en quoi consiste l'imperfection de cette méthode. On suppose x = y + z, y & z étant deux quantités indéterminées; ensuite on a tout à la fois x3 - 3yzx - y3 = o, & x3 + qx + r = o. On com<-> - z3 pare ces équations terme à terme, & cette comparaison terme à terme enferme une supposition tacite, qui amene la forme irréductible sous laquelle x est exprimée; à la rigueur on a qx + r= - 5yzx - y3 - z3; voilà la seule conséquence rigoureuse qu'on puisse tirer de la comparaison des deux équations: mais outre cela on veut encore supposer que la premiere partie de qx + r, c'est - à - dire qx soit égale à - 3yzx, premiere partie du second membre. Cette supposition n'est point absolue ni rigoureusement nécessaire, on ne la fait que pour parvenir plus aisément à trouver la valeur de y & de z, qu'on ne pourroit pas trouver sans cela; d'ailleurs comme y & z sont l'une & l'autre indéterminées, on peut supposer - 3yzx = qx& - y3 - z3 = r. Mais cette supposition même fait que les deux quantités y & z, au lieu d'être réelles comme elles devroient, se trouvent chacune imaginaires. Il est vrai qu'en les ajoûtant ensemble, leur somme est réelle: mais l'imaginaire qui s'y trouve toûjours, & qu'on ne peut en chasser, rend inutile l'expression de x qui s'en tire.

En un mot, l'équation x = y + z ne donne à la rigueur que cette équation qx + r = - 3yzx - y3 - z3 ou qy + qz + r = - 3yyz - 3yzz - y3 - z3; & toutes les fois que l'on voudra de cette équation en faire deux autres particulieres, on fera une supposition tacite qui pourra entrainer des inconvéniens impossibles à éviter, comme il arrive ici, où y & z se trouvent forcément imaginaires.

Il faudroit voir si par quelque moyen on ne pourroit pas couper l'équation susdite en deux autres, qui donnassent à y & à z une forme réelle & facile à trouver: mais cette operation paroît devoir être fort difficile, si elle n'est pas impossible.

J'ai fait voir dans les Mémoires de l'Academie des Sciences de Prusse de 1746, que l'on pouvoit toûjours trouver par la trisection d'un arc de cercle, une quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version], égale à la racine cube de [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & que si [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version] V. Imaginaire. D'où il s'ensuit que dans les cas où un arc de cercle peut être divisé géométriquement, c'est - à - dire, par la regle & le compas, en trois parties égales, on peut assigner la valeur algébrique de c & de e: ce qui pourroit fournir des vûes pour résoudre en quelques occasions des équations du troisieme degré qui tomberoient dans le cas irréductible. Voyez le Mémoire que j'ai cité.

Quoi qu'il en soit, la racine étant incommensurable dans le cas irréductible, l'expression réelle de cette racine, quand on la trouveroit, n'empêcheroit pas de recourir aux approximations. Nous avons donné à l'article Approximation la méthode générale pour approcher de la racine d'une équation, & nous y avons indiqué les auteurs qui ont donné des méthodes particulieres d'approximation pour le cas irréductible. Voyez aussi Cascade.

Puisque nous en sommes sur cette matiere des équations du troisieme degré, nous croyons qu'on ne nous saura pas mauvais gré de faire ici quelques remarques nouvelles qui y ont rapport, & dont nos lecteurs pourront tirer de l'utilité.

On sait que toute équation du troisieme degré a trois racines. Il faudroit donc, pour résoudre d'une maniere complette une équation du troisieme degré, trouver une méthode qui fît trouver à la fois les trois racines, comme on trouve à la fois les deux racines d'une équation du second degré. Jusqu'à ce qu'on ait trouvé cette méthode, il y a bien de l'apparence que la théorie des équations du troisieme degré restera imparfaite: mais la trouvera - t - on, cette méthode? c'est ce que nous n'osons ni nier ni prédire.

Examinons présentement de plus près la méthode dont on se sert pour trouver les racines d'une équation du troisieme degré. On a d'abord une équation du sixieme degré y6, &c. telle qu'on l'a vûe ci - dessus, & qui a par conséquent six racines, qu'on peut aisément prouver être toutes inégales: on a ensuite une équation du troisieme degré z3 = - y3 - r; & comme y3 a deux valeurs différentes à cause de l'équation y6 + ry3, &c. = o, & que z est élevé au troisieme degré, il s'ensuit que cette équation doit donner aussi six valeurs différentes de z, trois pour chaque valeur de y3; or chacune des six valeurs de z étant combinée avec chacune des six valeurs de y, on aura trente - six valeurs différentes pour z + y; donc x paroît avoir trente - six valeurs différentes. Cependant l'équation étant du troisieme degré, x ne doit avoir que trois valeurs: comment accorder tout cela?

Je réponds d'abord que les trente - six valeurs prétendues de y + z doivent se réduire à dix - huit; en effet, il ne faut pas combiner indifféremment chaque valeur de z avec toutes les valeurs de y, mais seulement avec les valeurs de y qui correspondent à la valeur qu'on a supposée à y3. Par exemple, on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version], d'où l'on tire [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; le signe + qui précede le signe radical dans la valeur de y3, répond au signe <-> qui précede le signe radical dans la valeur de z3, & le signe - au signe +; ce qui est évident, puisque z3 = - r - y3: donc pour chacune des trois valeurs de y qui répondent au signe + placé devant le signe radical, il y a trois valeurs de z qui répondent au signe - placé devant le signe radical, ce qui fait neuf valeurs de y + z; & en y ajoûtant les neuf autres valeurs pour le cas du signe - placé avant le signe radical dans l'expression de y3, cela fait dix - huit au lieu de 36 qu'on auroit eu en combinant indifféremment les signes. Mais ce n'est pas tout.

Quoique chacune des valeurs de y & de z, employées & combinées comme on vient de le prescrire, paroisse donner une valeur de y + z, il faut encore rejetter celles dans lesquelles le produit z y [p. 738] ne sera pas égal à - q/3; car c'est une des conditions de la solution, comme on l'a vû plus haut, que - 3zy=q; il est vrai que les dix - huit valeurs de y & z satisfont à la condition que - 27y3 z3= q3. Mais cette condition - 27y3z3= q3 est beaucoup plus étendue que la condition - 3zy= q, quoique d'abord elle paroisse la même. Par exemple, u=b ne donne qu'une valeur de u: mais u3=b3 donne trois valeurs de u. Pour le prouver, soit u3 - b3 = o, & divisons par u - b, il viendra uu + bu + bb = o, ce qui donne [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ainsi u3=b3 donne [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc quoique dans les dix - huit valeurs de y + z on ait 27y3z3= - q3, il ne faut prendre que celles où 3yz= - q. Cela posé.

Soient ces quatre équations: [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Et soit [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à la racine cubique de [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à la racine de [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ce qui donnera:

Sont les mêmes que de la seconde.

Sont les mêmes que de la premiere.

Donc, 1°. la combinaison des racines de la troisieme équation avec celles de la quatrieme, donnera le même résultat que celle des racines des deux premieres.

2°. Il ne faudra combiner ensemble que les valeurs de y & de z, & dont le produit sera = - q/3, c'est - à - dire a a + b b; car [omission: formula; to see, consult fac-similé version] étant = à [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. D'où il s'ensuit,

3°. Qu'il faudra combiner la racine marquée (1) avec la racine marquée (4), ce qui donnera y=2a.

4°. Qu'il faudra combiner la racine marquée (2) avec la racine marquée (6), ce qui donnera [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

5°. Qu'il faudra combiner la racine marquée (3) avec la racine marquée (5), ce qui donnera [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Voilà les trois racines de l'équation, & il est visible, par les regles que nous avons établies, que toutes les autres valeurs de y + z donneroient des ex<cb-> pressions fausses de la racine x; & que toutes les trois racines sont ici réelles.

On peut trouver aisément par la même méthode les trois valeurs de x dans tout autre cas que le cas irréductible. Par exemple, si q est positif, ou si q est négatif & < ou = r2/4, alors il faudra supposer [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & l'on trouvera en ce cas une racine réelle & deux imaginaires, ou une racine réelle & deux autres réelles, égales entr'elles. C'est ce qu'il est inutile d'expliquer plus en détail: il ne faut pour s'en convaincre, que faire un calcul semblable à celui que nous avons fait pour trouver les trois racines dans le cas irréductible. (O)

Cas (Page 2:738)

Cas, en terme de Palais, se dit de certaines natures d'affaires, de délits ou de crimes. Ainsi les cas royaux sont ceux dont les seuls juges royaux connoissent: tels sont en matiere criminelle la fausse monnoie, le rapt, le port d'armes, la sédition, l'infraction de sauve - garde, & quelques autres. Pour le crime de lese - majesté, qui est aussi un des cas royaux, la connoissance en appartient exclusivement au parlement, du moins au premier chef. En matiere civile, le possessoire des bénéfices, les causes du domaine du Roi, les procès concernant les églises de fondation royale, & en général tous les délits où le Roi a quelqu'intérêt en sa qualité de Roi, voyez Royal; voyez aussi la Conférence des nouvelles ordonnances au titre premier des matieres criminelles, où plusieurs autres cas royaux sont rapportés.

Il y a aussi des cas qu'on appelle prevôtaux, d'autres qu'on appelle cas privilégiés. Voyez Prevotal & Privilégié.

Il y en a enfin qu'on appelle ecclésiastiques, parce que les seuls juges d'église en peuvent connoître. (H)

Cas de conscience (Page 2:738)

* Cas de conscience, (Morale.) Qu'est - ce qu'un cas de conscience? c'est une question relative aux devoirs de l'homme & du chrétien, dont il appartient au théologien, appellé casuiste, de peser la nature & les circonstances, & de décider selon la lumiere de la raison, les lois de la société, les canons de l'Eglise, & les maximes de l'Evangile; quatre grandes autorités qui ne peuvent jamais être en contradiction. Voyez Casuiste.

Nous sommes chrétiens par la croyance des vérités révélées, & par la pratique des maximes évangéliques. Nous faisons à Dieu le sacrifice de notre raison par la foi, & nous lui faisons le sacrifice de nos penchans par la mortification: ces deux branches de l'abnégation de soi - même sont également essentielles au Salut: mais l'infraction n'en est peut - être pas également funeste à la société; & c'est une chose encore à savoir, si ceux qui attaquent les dogmes d'une religion, sont aussi mauvais citoyens que ceux qui en corrompent la Morale.

Il semble au premier coup d'oeil que le poison des Corrupteurs de la morale, soit fait pour plus de monde que celui des impies. La dépravation des moeurs est un effet direct de celle des principes moraux; au lieu qu'elle n'est qu'une suite moins prochaine de l'irreligion; mais suite toutefois presqu'infaillible, ainsi qu'un de nos plus grands orateurs, le P. Bourdaloue, l'a bien démontré. L'incrédule est d'ailleurs quelquefois un homme, qui las de chercher inutilement dans les sources communes & les conversations ordinaires, le rayon de lumiere qui devoit rompre l'écaille de ses yeux, s'est adressé au publie, en a reçû les éclaircissemens dont il avoit besoin, a abjuré son erreur, & a évité le plus grand de tous les mal<pb->

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