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Le cadran méridional, ou pour le désigner plus particulierement, le cadran droit directement méridional, est celui que l'on décrit sur la surface du premier vertical, qui regarde le midi.

Le soleil éclaire le plan du premier vertical qui regarde le midi, lorsque dans sa course, il passe de ce vertical au méridien, ou qu'il va du méridien au premier vertical; en quoi il employe six heures avant midi & six heures après le jour de l'équinoxe; & environ quatre heures & demie avant midi, & quatre heures & demie après le jour du solstice d'été, & ainsi des autres jours; & en hyver, le soleil ne paroît sur l'horison qu'après six heures; d'où il s'ensuit qu'un cadran méridional ne peut marquer les heures que depuis six heures du matin jusqu'à six heures du soir.

Tracer un cadran vertical méridional. Sur le plan du vertical qui regarde le midi, tracez une ligne méridienne A B (fig. 9.) & prenant l'intervalle A C à volonté pour la grandeur du cadran proposé, élevez en C une perpendiculaire d'une longueur indéfinie C D; & faisant un angle C A D égal à l'élévation de l'équateur, tirez une ligne droite A D qui rencontre la perpendiculaire C D en D; ensuite faites au point D l'angle C D E égal aussi à l'élévation de l'équateur, en tirant la ligne droite D E qui coupe le méridien en E. Par le point E tirez la ligne droite G H qui coupe le méridien A B à angles droits. Prenez E B égal à E D, & avec ce rayon décrivez un quart de cercle E F. Le reste se fait comme dans le cadran horison<-> al, excepté que les heures d'après midi doivent être écrites à main droite, & celles d'avant midi à main gauche, ainsi que la figure le fait comprendre. Enfin au point A fixez un style oblique, qui fasse un angle égal à l'élévation de l'équateur; ou bien, élevez en C un style perpendiculaire égal à C D; ou enfin, élevez sur A E un triangle A D E, qui soit perpendiculaire au plan du cadran.

L'ombre du style couvrira les différentes lignes horaires aux heures qui répondent à ces lignes.

Le cadran septentrional, ou le cadran droit directement septentrional, se trace sur la surface du premier vertical qui regarde le nord. Voyez Nord.

Le soleil n'éclaire cette surface que quand il avance de l'orient au premier vertical, ou qu'il vient de ce même vertical au couchant: de plus, le soleil est dans le premier vertical à six heures du matin & à six heures du soir le jour de l'équinoxe; le jour du solstice d'été il se leve sur l'horison de Paris à quatre heures, & arrive au premier vertical vers les sept heures & demie; & en hyver le soleil n'éclaire point du tout ce plan septentrional; d'où il est évident que le cadran septentrional ne peut marquer que les heures d'avant sept heures & demie du matin, & celles d'après sept heures & demie du soir. C'est pourquoi, comme dans l'automne & dans l'hyver le soleil ne se leve pas avant six heures, & qu'il se couche avant six heures du soir, on voit que pendant toutes ces deux saisons, le cadran septentrional n'est d'aucun usage: mais en le joignant au cadran méridional, il supplée ce qui manque à celui - ci.

Décrire un cadran vertical septentrional. Tirez une ligne méridienne E B (fig. 10) & du point A décrivez un petit cercle à volonté: au point A faites l'angle D A C égal à l'élévation de l'équateur, & du point C pris à volonté, élevez une perpendiculaire C D qui rencontre A D au point D. Faites un autre angle C D E égal aussi à l'élévation de l'équateur, & firez pareillement une ligne D E qui rencontre A E au point E. Ensuite prenez I B égal à E D, & par I tirez G H qui coupe S B à angles droits. Du centre B avec le rayon I B décrivez un quart de cercle; & divisez - le en six parties égales. Par les deux dernieres divisions tirez des lignes du centre B, c'est - à - dire B h & B G, qui rencontrent G H en h & G, & faites I d égal à I h, & I H égal à I G. Ensuite appliquant une regle aux points A, d & H, & encore aux points A, h & G, tirez les lignes droites A 5, A 4, A 7, A 8. Enfin, au point A fixez un style oblique A D, faisant un angle D A E, avec la ligne méridienne dans le plan du méridien, égal à l'élévation de l'équateur: ou bien un style perpendiculaire en C, égal à C D; ou, au lieu d'un style, mettez sur la ligne méridienne E A un triangle E D A perpendiculaire au plan du cadran.

Les lignes A 4, A 5, A 6, marqueront les heures du matin; & les lignes A 6, A 7, A 8, marqueront celles de l'après - midi, & par conséquent l'ombre de l'index montrera ces heures.

Ou bien encore, opérez de la maniere suivante. Dans le cadran méridional (fig. 9.) si les lignes horaires 4 & 5, de même que 7 & 8, sont continuées au - delà de la ligne 6 A 6, & que le triangle A D E tourne autour de son pole A, jusqu'à ce que A E tombe sur le prolongement de A 12; il est évident que par ce moyen on a un cadran septentrional, observant seulement ce que l'on a dit sur la maniere de marquer les heures.

Si sur l'extrémité I K d'un cadran horisontal, (fig. 7. Gnomon.) on éleve à angles droits un plan vertical I K N M, & qu'on prolonge l'index horaire A L du cadran horisontal jusqu'à ce qu'il rencontre le plan vertical en L, on n'aura qu'à tirer ensuite du point L à la ligne de contingence ou de rencontre I K des deux plans des lignes droites qui passent par les différens points des heures marquées sur cette ligne I K; on aura un cadran vertical méridional, dont L sera le centre; ce qui est évident, puisque l'ombre du style marquera les mêmes heures sur les deux cadrans.

Tracer par la Trigonométrie un cadran vertical septentrional ou méridional. La description de ces cadrans ne differe de celle du cadran horisontal, qu'en ce que l'angle C A D, est égal au complément de l'élévation du pole du lieu; de sorte que l'on doit se servir de la même analogie que pour le cadran horisontal: en observant seulement que le second terme soit le complément de l'élévation du pole pour le lieu où l'on trace le cadran.

Le cadran oriental, ou le cadran droit directement oriental, est celui que l'on trace sur le côté du méridien qui regarde l'orient. Voyez Orient.

Comme le soleil n'éclaire le plan du méridien qui regarde l'orient, qu'avant midi; un cadran oriental ne peut marquer les heures que jusqu'à midi.

Tracer un cadran oriental. Sur le côté oriental du plan du méridien, tirez une ligne droite A B (fig. 11.) parallele à l'horison, & joignez - y la ligne A K, qui fasse avec elle un angle K A B, égal à l'élévation de l'équateur. Ensuite avec le rayon D E décrivez un cercle, & par le centre D, tirez E C perpendiculaire à A K; moyennant quoi le cercle sera divisé en quatre quarts. Subdivisez chacun de ces quarts en six parties égales. Et du centre D, par les différentes divisions, tirez les lignes droites D 4, D 5, D 6, D 7, D 8, D 9, D 10, D 11. Enfin, en D élevez un style égal au rayon D E perpendiculairement au plan, ou sur deux petites pieces fixées perpendiculairement en E, C, & égales au même rayon D E, attachez un style parallele à E C.

Par ce moyen, chaque index aux différentes heures, jettera une ombre sur les lignes respectives 44, 55, 66, &c.

Le cadran occidental, ou le cadran droit directement occidental, se trace sur le côté occidental du méridien. Voyez Occident.

Comme le soleil n'éclaire qu'après midi le côté du plan du méridien, qui regarde l'occident, on voit qu'un cadran occidental ne peut marquer les heures que depuis midi jusqu'au soleil couchant. [p. 521]

Ainsi, en joignant le cadran occidental avec l'oriental, ces deux cadrans marqueront toutes les heures du jour.

Tracer un cadran occidental. La construction est précisément la même que celle du cadran oriental; excepté que sa situation est renversée, & les heures écrites conformément à cette disposition.

Le cadran polaire est tracé sur un plan qu'on imagine passer par les poles du monde, & par les points de l'orient & de l'occident de l'horison. Il y en a de deux especes: ceux de la premiere espece regardent le zénith, & sont appellés polaires supérieurs; ceux de la seconde regardent le nadir, & sont appellés pelaires insérieurs.

Ainsi le cadran polaire est incliné à l'horison, avec lequél il fait un angle égal à l'élévation du pole.

Comme le plan polaire P O, Q S, (figure 12.) passe par les points O & S de l'orient & de l'occident, il y a un quart de l'équateur, & de chacun des paralleles à l'équateur, intercepté entre ce plan & le méridien P H Q: donc la surface supérieure est éclairée par le soleil depuis six heures du matin jusqu'à six heures du soir; & la surface inférieure depuis le lever du soleil jusqu'à six heures du matin; & depuis six heures du soir jusqu'au coucher du soleil.

C'est pourquoi un cadran polaire inférieur marque les heures du matin depuis le lever du soleil jusqu'à six heures, & celles du soir depuis six heures jusqu'à son coucher; & un cadran polaire supérieur marque les heures depuis six heures du matin jusqu'à six heures du soir.

Tracer un cadran polaire supérieur. Tirez une ligne droite A B (fig. 13.) parallele à l'horison; & si le plan est immobile, trouvez la ligne méridienne C E: divssez C E en deux parties égales, & par C tirez une ligne droite F G parallele à A B; ensuite du centre D, avec l'intervalle D E, décrivez un quart de cercle, & divisez le en six parties égales: du centre D, par les différens points de division, tirez les lignes droites D 1, D 2, D 3, D 4, D 5, & placez en sens contraire les intervalles E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, c'est - à - dire, E 11, 10, 9, 8, & 7, des points 5, 4, 3, 2, 1, &c. élevez des perpendiculaires qui rencontrent la ligne F G aux points correspondans; enfin élevez en D un style perpendiculaire égal à D E; ou sur deux styles égaux à E D, piacez une verge horisontale parallele à E C: les lignes 12 12, 11 11, 22, 33, &c. seront les lignes horaires.

Un cadran polaire supérieur ne differe des cadrans orientaux & occidentanx, que par sa situation, & que par la maniere d'écrire les heures.

On a un cadran polaire inférieur, en négligeant les heures d'avant midi, 9, 10, & 11, & celles d'après midi, 1, 2, & 3, avec l'heure 12 de midi; & en ne laissant que les heures 7 & 8 du matin, & 4 & 5 du soir, qui deviendront alors les heures 7 & 8 du soir, & 4 & 5 du matin, en renversant le cadran sens - dessus - dessous.

Tracer tous les cadrans de la premiere espece sur le même corps irrégulier. 1°. Supposons que le plan ABCD, (figure 14.) dans la situation naturelle du corps, soit horisontal; décrivez dessus un cadran horisontal, comme il a été enseigné plus haut.

2°. Tirez les lignes E M & F L, paralleles à D C, qui seront par conséquent paralleles à l'horison dans la situation naturelle du corps; si on suppose ensuite que le plan B N M C, fasse un angle C M E avec E M, égal à l'élévation du pole; décrivez dessus un cadran polaire supérieur.

3°. Supposant que le plan opposé A D E, fasse avec E M un angle D E M, égal à l'élévation de l'équateur; tracez sur ce plan un cadran équinoctial supérieur.

4°. Supposant que le plan K L H, sasse avec L F un angle H L F, égal à l'élévation de l'équateur; tracez sur ce plan un cadran équinoctial insérieur.

5°. Si le plan opposé F G, fait avec F L un angle G F L, égal à l'élévation du pole; tracez - y un cadran polaire inférieur.

6°. Si le plan M N K L, & l'opposé E F, sont perpendiculaires à F L; sur l'un d'eux tracez un cadran méridional, & sur l'autre un cadran septentrional.

7°. Sur le plan E M L F, décrivez un cadran occidental, & un oriental sur le plan opposé.

Nous avons expliqué plus haut & fort en détail les méthodes dont on doit se servir pour tracer ces différentes especes de cadrans.

Cela fait, si le corps est dispose de maniere que le plan M N K L regarde le midi, & que le plan du méridien le coupe en deux dans la ligne de 12 heures du cadran horisontal A B C D, & du cadran méridional M N K L; tous ces différens plans marqueront en même tems les heures du jour.

Les cadrans secondaires, ou de la seconde espece, sont tous ceux que l'on place sur les plans de cereles différens de l'horison, du premier vertical, de l'équinoctial, & des cercles polaires; c'est - à - dire sur des plans qui déclinent, inclinent, réclinent.

Les cadrans verticaux déclinans, sont des cadrans droits ou verticaux qui déclinent, ou qui ne regardent pas directement quelqu'un des points cardinaux.

Les cadrans déclinans sont d'un asage fort ordinaire, car les murailles des maisons sur lesquelles on trace communément les cadrans, ne sont pas directement exposées aux points cardinaux. Voyez Déclinant.

Il y a différentes especes de cadrans déclinans, qui prennent leurs noms des points cardinaux vers lesquels ils paroissent le plus tournés, mais dont ils déclinent réellement: il y en a qui déclinent du midi ou du nord, & même du énith.

Tracer trigonométriquement un cadran vertical déclinant. 1°. La declinaison du plan & l'élévation du pole du lieu étant donnés, voici la regle pour trouver l'angle formé au centre du cadran par la méridienne & la soûstylaire: comme le sinus total est à la tangente du complément de la hauteur du pole du lieu; ainsi le sinus de l'angle de déclinaison du plan est à la tangente de l'angle cherché.

2°. La déclinaison du plan étant donnée, avec l'élévation du pole du lieu, voici comment on trouve l'angle formé au centre d'un cadran vertical déclinant, par la soûstylaire & l'axe.

Regle. Comme le sinus total est au sinus du complément de l'élévation du pole; ainsi le sinus du complément de délinaison du plan est au sinus de l'angle cherché.

3°. La déclinaison du plan & l'élévation du pole étant données, si on veut trouver l'arc de l'équateur compris entre le méridien du lieu & le méridien du plan; voici la regle.

Comme le sinus total est au sinus de la hauteur du pole du lieu; ainsi la tangente du complément de déclinaison du plan est à la tangente du complément de l'angle cherché, que nous appellerons pour abréger, angle de la difference des longitudes.

4°. L'angle de la différence des longitudes, & celui de l'axe avec la soûstylaire, étant donnés, on demande les angles formés au centre d'un cadran vertical déclinant, entre la soûstylaire & les lignes horaires.

Ce problème a trois cas; car les lignes horaires dont on cherche les angles, peuvent être 1°. entre le méridien & la soûstylaire; ou 2°. au - delà de la soûstylaire; ou 3°. du côté du méridien où la soûstylaire

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