"455"> C = c, & A C = a c, alors B = b, A B = a b, & b c = B C. Enfin si dans deux triangles sphériques A B = a b, A C = a c, & B C = b c; donc A sera égal = a, B = b & C = c: les démonstrations de ces propriétés sont les mêmes que celles des propriétés semblables qui se rencontrent dans les triangles plans; car les propositions sur l'égalité des triangles rectilignes s'étendent à tous les autres, &c. pourvu que leurs côtés soient semblables. Voyez Triancle sphérique isocele.

2°. Dans un triangle A B C, fig. 11. les angles à la base B & C sont égaux; & si dans un triangle spherique les angles B & C à la base B C sont égaux, le triangle est isoscele.

3°. Dans tout triangle sphérique chaque côté est moindre qu'un demi - cercle; deux côtés quelconques pris ensemble sont plus grands que le troisieme; tous les trois côtés pris ensemble sont moindres que la circonsérence d'un grand cercle, le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle, & le moindre côté au moindre angle.

4°. Si dans un triangle sphérique B A C, fig. 13. deux côtés A B & B C pris ensemble sont égaux à un demi - cercle, la base A C étant continuée en D, l'angle externe B C D sera égal à l'angle interne opposé B A C.

Si deux côtés pris ensemble sont moindres ou plus grands qu'un demi - cercle, l'angle externe B C D sera moindre ou plus grand que l'angle interne opposé A, & la converse de toutes ces propositions est vraie; savoir, si l'angle B C D est égal ou plus grand, ou moindre que A, les côtés A B & B C sont égaux, ou plus grands, ou moindres qu'un demi - cercle.

5°. Si dans un triangle sphérique A B C, fig. 12. deux côtés A B & B C sont égaux à un demi - cercle, les angles à la base A & C sont égaux à deux angles droits; si les côtés sont plus grands qu'un demi - cercle, les angles sont plus grands que deux droits; & si les côtés sont moindres, les angles sont moindres, & réciproquement.

6°. Dans tout triangle sphérique chaque angle est moindre que deux droits; & les trois ensemble sont moindres que six angles droits, & plus grands que deux.

7°. Si dans un triangle sphérique B A C, les côtés A B & B C sont des quarts de cercle, les angles à la base B & C seront des angles droits; si l'angle A compris entre les côtés A B & A C est un angle droit, B C sera un quart de cercle; si A est un angle obtus, B C sera plus grand qu'un quart de cercle; & s'il est aigu, B C sera moindre, & réciproquement.

8°. Si dans un triangle sphérique rectangle, le côté B C, fig 14. adjacent à l'angle droit B, est un quart de cercle, l'angle A sera un angle droit; si B E est plus grand qu'un quart de cercle, l'angle A sera obtus; & si B D est moindre qu'un quart de cercle, l'angle A sera aigu, & réciproquement.

9°. Si dans un triangle spherique rectangle chaque côté est plus grand ou plus petit qu'un quart de cercle, l'hypothénuse sera moindre qu'un quart de cercle, & réciproquement.

10°. Si dans un triangle sphérique A B C, fig. 15. rectangle seulement en B, un côté C B est plus grand qu'un quart de cercle, & l'autre côté A B moindre, l'hypothénuse A B sera plus grande qu'un quart de cercle, & réciproquement.

11°. Si dans un triangle sphérique obliquangle A B C, fig. 16. les deux angles à la base A & B, sont obtus ou aigus, la perpendiculaire C D qu'on laissera tomber du troisieme angle C sur le côté opposé A B, tombera dans le triangle; si l'un d'eux A est obtus, & l'autre B aigu, la perpendiculaire tombera hors du triangle.

12°. Si dans un triangle sphérique A B C tous les angles A, B, & C sont aigus, les côtés sont chacun moindres qu'un quart de cercle. Ainsi, si dans un triangle sphérique obliquangle un côté est plus grand qu'un quart de cercle, il y a un angle obtus, savoir celui qui est opposé à ce côté.

13°. Si dans un triangle sphérique A C B, deux angles A & B sont obtus, & le troisieme C aigu, les côtés A C & C B opposés aux côtés obtus sont plus grands qu'un quart de cercle; ainsi si les deux côtés sont moindres qu'un quart de cercle, les deux angles sont aigus.

14°. Si dans un triangle sphérique tous les côtés sont plus grands qu'un quart de cercle, ou - bien s'il y en a deux plus grands, & un qui soit égal à un quart de cercle, tous les angles sont obtus.

15°. Si dans un triangle sphérique obliquangle deux côtés sont moindres qu'un quart de cercle, & le troisieme plus grand, l'angle opposé au plus grand sera obtus & les autres aigus. Wolf & Chambers.

Sur la résolution des triangles sphériques, voyez Triangle.

Les propriétés des triangles sphériques sont démontrées avec beaucoup d'élégance & de simplicité dans un petit traité qui est imprimé à la fin de l'introductio ad veram Astronomiam, de M. Keill. M. Deparcieux, de l'académie royale des Sciences de Paris & de celle de Berlin, a donné au public en 1741, un traité de Trigonométrie sphérique, in - 4°. imprimé à Paris chez Guérin; l'auteur démontre dans cet ouvrage les propriétés des triangles sphériques, en regardant leurs angles comme les angles formés par les plans qui se coupent au centre de la sphere, & les cotés des triangles sphériques comme les angles que forment entr'elles les lignes tirées du centre de la sphere aux extrémités du triangle; c'est - à - dire qu'il substitue aux triangles sphériques des pyramides qui ont leur sommet au centre de la sphere. L'académie royale des Sciences ayant fait examiner cet ouvrage par des commissaires qu'elle nomma à cet effet, a jugé que quoique l'idée de M. Déparcieux ne soit pas absolument nouvelle, & qu'elle l'ait obligé de charger quelques - unes de ses démonstrations d'un assez grand détail, elle lui avoit donné moyen d'en éclaircir & d'en simplifier un plus grand nombre d'autres, & que cet ouvrage ne pouvoit manquer d'être fort utile. (O)

L'astronomie sphérique est la partie de l'Astronomie qui considere l'univers dans l'état où l'oeil l'apperçoit. Voyez Astronomie.

L'astronomie sphérique comprend tous les phénomenes & les apparences des cieux & des corps célestes, telles que nous les appercevons, sans en chercher les raisons & la théorie. En quoi elle est distinguée d'avec l'astronomie théorique, qui considere la structure réelle de l'univers, & les causes de ses phénomenes.

Dans l'astronomie sphérique on conçoit le monde comme une surface sphérique concave, au centre de laquelle est la terre, autour de laquelle le monde visible tourne avec les étoiles & les planetes, qui sont regardées comme attachées à sa circonférence; & c'est sur cette supposition qu'on détermine tous les autres phénomenes.

L'astronomie théorique nous apprend par les lois de l'optique, &c. à corriger ces apparences, & à réduire le tout à un système plus exact.

Compas sphérique, voyez Compas.

Géométrie sphérique est la doctrine de la sphere & particulierement des cercles qui sont décrits sur sa surface, avec la méthode de les tracer sur un plan, & d'en mesurer les arcs & les angles quand on les a tracés.

La Trigonométrie sphérique est l'art de résoudre les triangles sphériques, c'est - à - dire, trois choses étant données dans un triangle sphérique, trouver tout le reste: par exemple, deux côtés & un angle étant [p. 456] donnés, trouver les deux autres angles, & le troisieme côté. Voyez Triangle & Trigonométrie. Chamlers.

Sphériques (Page 15:456)

Sphériques, (Géom.) c'est proprement la doctrine des propriétés de la sphere, considérée comme un corps géométrique, & particulierement des différens cercles qui sont décrits sur sa surface. Voyez Sphere.

C'est sur cette matiere que le mathématicien Théodose a écrit les livres qui nous restent encore de lui, & qu'on appelle les sphériques de Théodose.

Voici les principales propositions, ou les principaux théoremes des sphériques.

1°. Si on coupe une sphere de quelque maniere que ce soit, le plan de la section sera un cercle dont le centre est dans un diametre de la sphere.

D'où il suit, 1°. que le diametre H I (Planche de Trigonom. fig. 17.) d'un cercle qui passe par le centre C, est égal au diametre A B du cercle générateur de la sphere, & le diametre d'un cercle, comme F E, qui ne passe pas par le centre, est égal à quelque corde du cercle générateur.

2°. Que comme le diametre est la plus grande de toutes les cordes, un cercle qui passe par le centre est un grand cercle de la sphere, & tous les autres sont plus petits.

3°. Que tous les grands cercles de la sphere sont égaux les uns aux autres.

4°. Que si un grand cercle de la sphere passe par quelque point donné de la sphere, comme A; il doit passer aussi par le point diamétralement opposé, comme B.

5°. Que si deux grands cercles se coupent mutuellement l'un l'autre, la ligne de section est un diametre de la sphere; & que par conséquent deux grands cercles se coupent l'un l'autre dans des points diamétralement opposés.

6°. Qu'un grand cercle de la sphere la divise en deux parties, ou hémispheres égaux.

2°. Tous les grands cercles de la sphere se coupent l'un l'autre en deux parties égales & réciproquement tous les cercles qui se coupent en deux parties égales, sont de grands cercles de la sphere.

3°. Un arc d'un grand cercle de la sphere compris entre un autre arc, H I L (fig. 18.) & ses poles A & B, est un quart de cercle.

Celui qui est compris entre un moindre cercle D E F, & un de ses poles A, est plus grand qu'un quart de cercle; & celui qui est compris entre le même, & l'autre pole B, est plus petit qu'un quart de cercle.

4°. Si un grand cercle d'une sphere passe par les poles d'un autre, cet autre passe par les poles de celui - ci; & si un grand cercle passe par les poles d'un autre, ils se coupent l'un l'autre à angles droits, & réciproquement.

5°. Si un grand cercle A F B D passe par les poles A & B d'un plus petit cercle D E F, il le divise en parties égales, & le coupe à angles droits.

6°. Si deux grands cercles A E B F, & C E D F, (fig. 19.) se coupent l'un l'autre aux poles E & F, d'un autre grand cercle A C B D, cet autre passera par les poles H & h, I & i des cercles A E B F, & C E D F.

7°. Si deux grands cercles A E B F, & C E D F, en coupent chacun un autre mutuellement, l'angle d'obliquité A E E sera égal à la distance des poles H I.

8°. Tous cercles de la sphere, comme G E, & L K, (fig. 20.) également distans de son centre C, sont égaux: & plus ils sont éloignés du centre, plus ils sont petits; ainsi, comme de toutes les cordes paralleles il n'y en a que deux qui soient également éloignées du centre, de tous les cercles paralleles au même grand cercle, il n'y en a que deux qui soient égaux.

9°. Si les arcs E H & K H, G I & I L, compris entre un grand cercle I H M, & les cercles plus petits G N E, & L O K sont égaux, les cercles sont égaux.

10°. Si les arcs E H & G I, du même grand cercle A I B H, compris entre deux cercles G N E, & I M H, sont égaux, les cercles sont paralleles.

11°. Un arc d'un cercle parallele I G, (fig. 21.) est semblable à un arc d'un grand cercle A E, si chacun d'eux est compris entre les mêmes grands cercles C A F, & C E F.

Ainsi, les arcs A E & I G, ont la même raison à leur circonférence; & par conséquent contiennent le même nombre de degrés; & l'arc I G, est plus petit que l'arc A E.

12°. L'arc d'un grand cercle est la ligne la plus courte qu'on puisse tirer d'un point de la surface d'une sphere à un autre point de la même surface.

De - là il s'ensuit que la vraie distance de deux lieux sur la surface de la terre, est un arc d'un grand cercle compris entre ces lieux. Voyez Navigation & Carte. Wolf & Chambers. (E)

SPHERISTERE (Page 15:456)

SPHERISTERE, s. m. (Gymnastiq.) sphoerisisrium, lieu consacré à tous les exercices dans lesquels on employoit la balle.

Quoiqu'entre les divers exercices où l'on se servoit de balles, il y en eût plusieurs qu'on ne pouvoit pratiquer qu'en plein air & dans les endroits les plus spacieux des gymnases, tels qu'étoient les xystes, xysta, ou les grandes allées découvertes; on ne laissoit pas chez les Grecs de construire dans ces gymnases quelques pieces convenables à certaines especes de sphéristiques.

Les Romains qui avoient imité les Grecs dans la construction de la plûpart de leurs bâtimens, & entre autres dans celle de leurs gymnases ou palestres, & de leurs thermes, y plaçoient aussi de ces sphéristeres, qui n'étoient pas tellement affectés à ces édifices publics, qu'il ne s'en trouvât souvent dans les maisons des particuliers tant à la ville qu'à la campagne. L'empereur Vespasien, par exemple, en avoit un dans son palais; & c'étoit - là, qu'au rapport de Suétone, il se faisoit frotter la gorge & les autres parties du corps un certain nombre de fois. Alexandre Severe s'exerçoit aussi très - souvent dans son sphéristere, suivant le témoignage de Lampridius.

Pline le jeune, dans les descriptions qu'il nous a laissées de ses deux maisons de campagne du Laurentin & de celle de Toscane, place dans l'une & dans l'autre un sphoeristerium. Il dit en parlant du Laurentin, cohoeret calida piscina mirificè ex quâ natantes mare adspiciunt; nec procul sphaeristerium, quod calidissimo soli, inclinato jam die, occurrit, c'est - à - dire, il y a une grande baignoire d'eau chaude si avantageusement située, que ceux qui s'y baignent voyent la mer; & non loin de - là est un jeu de paume exposé à la plus grande chaleur du soleil vers la fin du jour. Et en parlant de sa maison de Toscane, il s'exprime ainsi: apodyterio superpositum est sphaeristerium quod plura genera exercitationis, pluresque circulos capit; une espece de jeu de paume propre à divers exercices, occupe le dessus du lieu qui sert de garde - robe; & ce jeu de paume est accompagné de plusieurs réduits & détours particuliers.

Comme Vitruve, dans la description qu'il donne des gymnases ou palestres, tels qu'on les voyoit en Grece de son tems (car ils n'étoient pas fort communs en Italie) ne dit pas un mot du spoeristerium, en faisant le dénombrement des différentes pieces de la palestre; il y a apparence que le coryceum dont il parle, est le véritable sphoeristerium des palestres, c'est - à - dire, un lieu destiné à la plûpart des exerci<pb->

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