ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS
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ATTOUCHEMENT
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ATTOUCHEMENT, s. m. (Géom.) point d'atteuchement, qu'on appelle aussi point de cont>ct ou
de contingence, est le point dans lequel une ligne
droite touche une ligne courbe, ou dans lequel deux
courbes se touchent. Voyez Contingence.
On dit ordinairement en Géométrie, que le point
d'attouchement vaut deux points d'intersection, parce
que la tangente peut être regardée comme une sécante
qui coupe la courbe en deux points infiniment
proches. En effet, disent les géometres, concevons
par exemple une ligne droite indéfinie qui coupe un
cercle en deux points; imaginons ensuite que cette
ligne droite se meuve parallélement à elle - même vers
le sommet du cercle; les deux points d'intersection
se rapprocheront insensiblement, & enfin se confondront,
ou ne feront plus qu'un point, lorsque par
ce mouvement la sécante sera devenue tangente,
c'est - à - dire, ne fera plus que toucher ou raser le
cercle.
Comme il n'y a point réellement de quantités infiniment
petites, & que par conséquent l'on ne sauroit
concevoir deux points infiniment proches (Voy.
Infini & infiniment Petit), il est très - important de se former une idée nette de cette façon de
parler, que le point d'attouchement vaut deux points
d'intersection infiniment proches. Elle signifie seulement
que le point d'attouchement est la limite ou le terme
de tous les doubles points d'intersection des sécantes
paralleles à la tangente; c'est - à - dire, que si on mene
parallelement à la tangente une ligne qui coupe en
deux points la courbe, par exemple, le cercle, on
peut toûjours imaginer cette ligne à une telle distance
de la tangente, que la distance des deux points
d'intersection soit aussi petite qu'on voudra: mais
que cette distance ne deviendra pourtant jamais absolument
nulle, à moins que la sécante ne se confonde
absolument avec la tangente. Cette idée des
limites est très - nette, & très - utile pour réduire la
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géométrie des infiniment petits à des notions claires.
Voyez Limite, &c.
Au reste, il n'est question jusqu'ici que du point
d'attouchement simple; car il y a des points d'attouchement qui équivalent à trois points d'intersection,
comme dans l'attouchement au point d'inflexion; d'autres
équivalent à quatre points d'intersection, comme
dans l'attouchement au point de serpentement infiniment
petit; & ainsi à l'infini; voyez Inflexion,
Serpentement: ce qui, en réduisant la chose à
des notions claires, signifie simplement que la valeur
de la secante devenue touchante, a dans ce cas
trois ou quatre, &c. racines égales dans l'équation
de la courbe; je dis, de la sécante devenue touchante,
car il y a des cas où une sécante a plusieurs racines
égales, sans être touchante, comme dans les
points doubles, & dans les points conjugués. Ce qui
distingue ces points des points d'attouchement, c'est
que si vous donnez une autre direction à la ligne
qui étoit tangente, en la faisant toûjours passer par
le point d'attouchement, alors elle ne coupe plus la
courbe qu'en un point, & l'équation qui représente
son intersection cesse d'avoir des racines égales; au
lieu que dans les points multiples & conjugués, la
sécante a toûjours plusieurs racines égales, quelque
position qu'on lui donne, pourvû qu'elle passe toûjours
par le point multiple ou conjugué. Voyez
Racine, Intersection, Point multiple, Point conjugué , &c.
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