LOGARITMIQUE (Page 9:633)

LOGARITMIQUE, s. f. (Géométrie.) courbe qui tire ce nom de ses propriétés & de ses usages dans la construction des logarithmes & dans l'explication de leur théorie.

Si l'on divise la ligne droite A X (Pl. d'Analyse, fig. 37.) en un nombre égal de parties, & que par les points A, P, p, de division, on tire des lignes toutes paralleles entr'elles & continuellement proportionnelles, les extrémités N, M, m, &c. de ces dernieres lignes, formeront la ligne courbe appellée logarithmique, de sorte que les abscisses A P, A p, sont ici les logarithmes des ordonnées P M, p m, &c. puisque ces abscisses sont en progression arithmétique pendant que les ordonnés sont en progression géométrique. Donc si AP = x, A p = u, P M = y, p m = z, & qu'on nomme l y & l z les logarithmes de y & de z, on aura x = l y, u = l z, & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Propriétés de la logarithmique. Dans une courbe quelconque, si on nomme s la soutangente, on a <-> [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Voyez Soutangente. Or dans la logarithmique, si on prend d x constant, c'est - à - dire les abscisses en progression arithmétique, dont la différence soit d x, les ordonnées seront en progression géométrique, & par conséquent les différences de ces ordonnées (voyez Progression géométrique) seront entr'elles comme les ordonnées; donc sera constant, d'où sera constant; donc puisque (hyp.) d x est constant, s le sera aussi; donc la soutangente de la logarithmique est constante; j'appelle cette soutangente a.

2°. Si on fait a = 1, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; dont l'intégrale est x = log. y; & si on suppose un nombre c, tel que son logarithme, soit = 1, on aura x log. c = log. y, & par conséquent log. cx = log. y & y = cx. Voyez Logarithme. C'est - là ce qu'on appelle repasser des logarithmes aux nombres, c'est - à - dire d'une équation logarithmique x = l y, à une équation finie exponentielle y = cx. Voyez Exponentiel.

3°. Nous avons expliqué au mot Exponentiel ce que signifie cette équation y = cx appliquée à la logarithmique. En général, si dans une même logarithmique on prend quatre ordonnées qui soient en proportion géométrique; l'abscisse renfermée entre les deux premieres sera égale à l'abscisse renfermée entre les deux autres, & le rapport de cette abscisse à la soutangente sera le logarithme du rapport des deux ordonnées. C'est une suite de l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui donne [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en supposant que y = b, lorsque x = 0.

4°. Si on prend pour l'unité dans la logarithmique l'ordonnée qui est égale à la soutangente, on trouvera que l'abscisse qui répond au nombre 10 (c'est - à - dire à l'ordonnée qui seroit égale à dix fois celle qu'on a prise pour l'unité) on trouvera, dis - je, que cette abscisse ou le logarithme de 10 est égal à 2, 30258509 (voyez Logarithme), c'est - à - dire que cette abscisse est à la soutangente comme 230258509 est à 100000000; c'est sur ce fondement que Képler avoit construit ses tables de logarithmes, & pris 2, 3025850 pour le logarithme de 10.

5°. Mais si on place autrement l'origne de la logarithmique, & de maniere que l'ordonnée 1 ne soit plus égale à la soutangente, & que l'abscisse comprise entre les ordonnées 1 & 10 soit égale à 1; ce qui se peut toujours supposer, pusqu'on peut placer l'origine des x où l'on voudra, alors le logarithme de 10 sera 1, ou 1, 0000000, &c. & la soutangente sera telle que l'on aura 2, 3025850 à l'unité, comme 1,0000000 est à la valeur de la sou<pb-> [p. 634] tangente, qui sera par conséquent dans ce cas - ci [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou 0, 43429488. C'est sur cette supposition que sont calculés les logarithmes de Briggs, qui sont ceux des tables ordinaires.

6°. Dans deux logarithmiques différentes, si on prend des ordonnées proportionnelles, les abscisses correspondantes seront entre elles comme les soutangentes. C'est encore une suite de l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

7°. Si dans une même logarithmique on prend trois ordonnées très - proches, les différences de ces ordonnées seront entre elles à très - peu - près comme les différences des abscisses. Car soient y, y', y", les trois ordonnées, & d x, d x' les abscisses, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à très - peu près; & de même [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à très peu près. Donc puisque y & y' different très - peu l'une de l'autre, on aura à très - peu près d x : d x' :: y' - y : y" - y'.

8°. Comme une progression géométrique s'étend à l'infini des deux côtés de son premier terme, il est évident que la logarithmique s'étend à l'infini le long de son axe A X au - dessus & au - dessous du point A. Il est de plus évident que A X est l'asymptote de la logarithmique. Voyez Asymptote. Car comme une progression géométrique va toûjours en décroissant, sans néanmoins arriver jamais à zéro, il s'ensuit que l'ordonnée P m va toûjours en décroissant, sans jamais être absolument nulle. Donc, &c.

Sur la quadrature de la logarithmique, voyez Quadrature.

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