Logarithmique spirale (Page 9:634)

Logarithmique spirale, ou spirale logarithmique, est une courbe dont voici la construction. Divisez un quart de cercle en un nombre quelconque de parties égales, aux points N, n, n, &c. (Pl. d'anal. fig. 22.) & retranchez des rayons C N, C n, C n, des parties continuellement proportionnelles C M, C m, C m, les points M, m, m, &c. formeront la logarithmique spirale. Par conséquent les arcs A N, A n, &c. sont les logarithmes des ordonnées ou rayons C M, C m, &c. pris sur les rayons du cercle, & en partant de son centre, qui dans cette courbe peut être considéré comme pole. On peut donc regarder la logarithmique spirale comme une logarithmique ordinaire dont l'axe a été roulé le long d'un cercle A N, & dont les ordonnées ont été arrangées de maniere qu'elles concourent au centre C, & qu'elles se trouvent prises sur les rayons C N prolongés.

Cette courbe a plusieurs propriétés singulieres découvertes par M. Jacques Bernoulli son inventeur. 1°. Elle fait une infinité de tours autour de son centre C, sans jamais y arriver; ce qu'il est facile de démontrer: car les rayons C M, C m, C m, &c. de cette courbe forment une progression géométrique dont aucun terme ne sauroit être zéro; & par conséquent la distance de la spirale à son centre C, ne peut jamais être zéro. 2°. Les angles C M m, C m m des rayons C M, C m avec la courbe, sont par - tout égaux. Car nommant C M, y, & N n, d x, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], puisque les arcs A N sont les logarithmes des y. Voyez ci - dessus Logarithmique. Or décrivant du rayon C M un are que l'on nommera d z, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en faisant A C = r; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc l'angle C M m est constant. 3°. La développée de cette courbe, ses caustiques par réfraction & par réflexion, &c. sont d'autres logarithmes spirales: c'est pour cette raison que M. Jacques Bernoulli ordonna qu'on mît sur son tombeau une logarithmique spirale avec cette inscription, eadem mutata resurgo. Voyez l'analyse des infiniment petits, par M. de l'Hôpital. Voyez aussi Développée & Caustique. (O)

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