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Entre deux joueurs dont l'un ne risque qu'un argent qu'il peut perdre sans s'incommoder, & l'autre un argent dont il ne sçauroit manquer sans être privé des besoins essentiels de la vie, à proprement parler, le jeu n'est pas égal.

Une conséquence naturelle de ce principe, c'est qu'il n'est pas permis à un souverain de jouer un jeu ruineux contre un de ses sujets. Quel que soit l'évenement, il n'est rien pour l'un; il précipite l'autre dans la misere.

On a demandé pourquoi les dettes contractées au jeu se payoient si rigoureusement dans le monde, où l'on ne se fait pas un scrupule de négliger des créances beaucoup plus sacrées. On peut répondre, c'est qu'au jeu on a compté sur la parole d'un homme, dans un cas où l'on ne pouvoit employer les lois contre lui. On lui a donné une marque de confiance à laquelle il faut qu'il réponde. Au lieu que dans les autres circonstances où il a pris des engagemens, on le force par l'autorité des tribunaux à y satisfaire.

Les jeux de hasard sont soumis à une analyse qui est tout à fait du ressort des Mathématiques. Ou la probabilité de l'évenement est égale entre les joueurs; ou si elle est inégale, elle peut toujours se compenser par l'inégalité des mises ou enjeux. On peut à chaque instant demander quelle est la prétention d'un joueur; & comme sa prétention à la somme des mises est en raison des coups qu'il a pour lui, le calcul déterminera toujours, ou rigoureusement, ou par approximation, quelle seroit la partie de cette somme qui lui reviendroit, si le jeu ne s'instituoit pas, ou si le jeu étant une fois institué, on vouloit l'interrompre.

Plusieurs Auteurs se sont exercés sur l'analyse des jeux; on en a un traité élémentaire de Huygens; on en a un plus profond de Moivre; on a des morceaux très - sçavans de Bernoulli sur cette matiere. Il y a une analyse des jeux de hasard par Montmaur, qui n'est pas sans mérite.

Voici les principes fondamentaux de cette science. Soit p le nombre des cas où une chose arrive; soit q le nombre des cas où elle n'arrive pas. Si la probabilité de l'évenement est égale dans chaque cas, l'apparence que la chose sera est à l'apparence qu'elle ne sera pas, comme p est à q.

Si deux joueurs A & B jouent à condition que si les cas p arrivent, A gagnera; que ce sera B au contraire qui gagnera, si ce sont les cas q qui arrivent, & que la mise des deux joueurs soit a; l'espérance de A sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & l'espérance de B sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Ainsi, si A & B vendent leurs espérances, ils en peuvent exiger l'un la valeur [omission: formula; to see, consult fac-similé version], l'autre la valeur [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

S'il y a deux évenemens indépendans, & que p soit le nombre des cas où l'un de ces évenemens peut avoir lieu; q le nombre des cas où le même évenement peut ne pas arriver; r le nombre des cas où le second évenement peut avoir lieu; s le nombre des cas où le second évenement peut ne pas arriver; multipliez p + q par r + s; le produit p r + q r + p s + q s sera le nombre de tous les cas possibles de la chose, ou la somme des évenemens pour & contre.

Donc si A gage contre B que l'un & l'autre évenemens auront lieu, le rapport des hasards sera comme p r à q r + p s + q s.

S'il gage que le premier évenement aura lieu & que le second n'aura pas lieu, le rapport des chances ou hasards sera comme p s à p r + q r + q s. Et s'il y a trois ou un plus grand nombre d'évenemens, la raison des chances ou hasards se trouvera tou jours par la multiplication.

Si tous les évenemens ont un nombre donné de cas où ils peuvent arriver, & un nombre donné de cas où ils peuvent ne pas arriver; & que a soit le nombre des cas où ils peuvent arriver; b le nombre des cas où ils peuvent ne pas arriver; & n le nombre de tous les cas: élevez [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à la puissance n.

Maintenant si A & B conviennent que si un de ces évenemens indépendans, ou un plus grand nombre de ces évenemens a lieu, A gagnera; & que si aucun de ces évenemens n'a lieu, le gagnant sera B: la raison ou le rapport des hasards qu'ils courent, ou celui de leurs chances relatives, sera comme [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est le seul terme où a ne se trouve point.

Si A & B jouent avec un seul dé, à la condition que si A amene deux fois ou plus de deux fois As, en huit coups, il gagnera; & qu'en toute autre supposition ou cas, il perdra. On demande le rapport de leurs chances ou hasards.

Puisqu'il n'y a qu'un cas à chaque coup pour amener un As, & cinq cas pour ne le pas amener; soit a = 1 & b = 5; d'ailleurs puisqu'il y a huit coups à jouer, soit n = 8. On aura donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version], pour la chance d'un des joueurs, & bn + nabn - 1 pour la chance de l'autre; ou l'espérance de A à l'espérance de B comme 663991 à 1015625; ou à peu près comme 2 à 3.

A & B sont engagés au jeu de palets; il ne manque à A que quatre coups pour avoir gagné; il en manque six à B; mais à chaque coup l'adresse de B est à l'adresse de A comme 3 est à 2. On demande le rapport de leurs chances, hasards ou espérances. Puisqu'il ne manque à A que quatre coups, & qu'il n'en manque à B que six, le jeu sera fini dans neuf coups au plus. Ainsi élevez a + b à la neuvieme puissance, & vous aurez a9 + 9a8b + 36a7bb + 84a6b3 + 126a5b4 + 126 a4b5 + 84a3b6 + 36a2b7 + 9ab8 + b9; & prenez pour A tous les termes où a a quatre ou un plus grand nombre de dimensions; & pour B tous ceux où b en a six ou davantage; & tout le rapport de leurs hasards, comme a9 + a8b + 36a7bb + 84a6b3 + 126a5b4 + 126a4b5 est à 84a3b6 + 36a2b7 + 9ab8 + b9; & soit a = 3 & b = 2; & vous aurez en nombre les espérances des joueurs, comme 1759077 à 194048.

A & B jouent au palet; mais A est le plus fort, ensorte qu'il peut faire à B l'avantage de deux coups sur trois. On demande le rapport de leurs chances dans un seul coup. Supposons que ce rapport soit comme z à 1, élevez z + 1 à la troisieme puissance, & vous aurez z3 + 3z2 + 3z + 1. Maintenant A pouvant faire à B l'avantage de deux coups sur trois, A se propose de gagner trois coups de suite, & conséquemment à cette condition sa chance sera comme z3 à 3zz + 3z + 1, & z3 = 3zz + 1. Ou 2z3 = z3 + 3zz + 3z + 1. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: donc les chances sont comme [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à 1.

Trouver en combien de coups il est probable qu'un évenement quelconque aura lieu; ensorte que A & B puissent gager pour ou contre à jeu égal. Soit le nombre des cas où la chose peut arriver du premier coup = a; soit le nombre des cas où la chose peut ne pas arriver du premier coup = b; & x le nombre des coups à jouer, tel que l'apparence que la chose arrivera soit égale à l'apparence qu'elle n'arrivera pas. Par ce qu'on a dit plus haut, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Et reprenant l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & faisant a. b :: 1. q. on aura [p. 886] [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Elevez [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à la puissance x, par le théorême de Newton, & vous aurez [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. = 2. Or dans cette équation, si q = 1 & x = 1, q étant infinie, x le sera aussi. Faisant donc x infinie, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. = 2. Soit [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & l'on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. = 2. Mais [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. est un nombre dont le logarithme hyperbolique est z. Donc z = log. 2. Mais le logarithme hyperbolique de 2 est à peu près 7: donc z = 7 à peu près. Mais où q est 1, x est 1; & où q est infinie x = à peu près 7. Voilà donc les limites du rapport de x à q fixées. C'est d'abord un rapport d'égalité, qui dans la supposition de l'infini, devient celui de 7 à 10, ou à peu près.

Trouver en combien de coups A peut gager d'amener deux As avec deux dés. Puisqu'A n'a qu'un cas où il puisse amener deux As avec deux dés; & trente - cinq où il peut ne les pas amener, q = 35; multipliez donc 35 par 7; le produit 24.5 montre que le nombre de coups cherché est entre 24 & 25.

Trouver le nombre des cas dans lesquels un nombre quelconque donné de points peut être amené avec un nombre donné de dès. Soit p + 1 le nombre donné de points; n le nombre de dés; & f le nombre des faces de chaque dé: soit p - f = q, q - f = r, r - f = s, s - f = t, &c. le nombre cherché de coups sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Série qu'il faut continuer jusqu'à ce que quelques-uns des facteurs soit égal à o, ou négatif; & remarquez qu'il faut prendre autant de facteurs des différens produits [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. qu'il y a d'unités dans n - 1.

Soit donc le nombre de cas cherché, celui où l'on peut amener seize points avec quatre dés. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Or 455 - 336 + 6 = 125. Donc 125 est le nombre cherché.

Trouver en combien de coups A peut gager d'amener quinze points avec six dés. A ayant 1666 cas pour lui, & 44990 contre; divisez 44990 par 1666, & le quotient 27 sera = q. Multipliez donc 27 par 7; le produit 18. 9 montrera que le nombre de coups est environ 19.

Trouver le nombre de coups dans lequel il y a à parier qu'une chose arrivera deux fois; de sorte que A & B risquent autant l'un que l'autre. Soit le nombre des cas où la chose peut arriver du premier coup = a; & le nombre de ceux où elle peut ne pas arriver = b. Soit x le nombre de coups cherché. Il paroît par ce qui a été dit que [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Et faisant a. b :: 1. q; [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. 1°. Soit q = 1, & partant x = 3. 2°. Soit q infinie, & par conséquent x aussi infinie. Soit x infinie, & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. = 2 + 2z, & z = log. 2 + log. 1 + z. Soit log. 2 = y. L'équation se transformera dans l'equation différen ti elle suivante.

[omission: formula; to see, consult fac-similé version], & cherchant la valeur de z par les puissances de y, on aura z = 1. 678, ou à - peu - près. Ainsi la valeur de x sera toujours entre les limites de 3 q & de 1. 678 q. Mais x convergera bientôt à 1. 678 q; c'est pourquoi, si le rapport de q à 1 n'est pas très - petit, nous ferons x = 1. 678 q. Ou si on soupçonne x d'être trop petite, on substituera sa valeur dans l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & l'on notera l'erreur si elle en vaut la peine; x prendra ainsi un peu d'accroissement. Substituez la valeur accrûe de x dans l'équation susdite, & notez la nouvelle erreur. Par le moyen de ces deux erreurs, on peut corriger celle de x avec assez d'exactitude. Voici une table des limites qui conduiront assez vîte au but qu'on se propose dans ce problême. Si l'on parie seulement que la chose arrivera une fois, le nombre sera entre

                     1 q & 0. 693 q
si deux fois; entre   3 q & 1. 678 q
si trois fois; entre  5 q & 2. 675 q
si quatre fois; entre 7 q & 3. 671 q
si cinq fois; entre   9 q & 4. 673 q
si six fois; entre   11 q & 3. 668 q.

Trouver en combien de coups on peut se proposer d'amener trois As, deux fois, avec trois dés. Puisqu'il n'y a qu'un cas où l'on puisse amener trois as, & 215 où l'on ne les amene pas, q = 215; multipliez donc 215 par 1. 678: le produit 360.7 montrera que le nombre de coups est entre 360 & 361.

A & B mettent sur table chacun douze pieces d'argent; ils jouent avec trois dés, à cette condition qu'à chaque fois qu'il viendra onze points, A donnera une piece à B, & qu'à chaque fois qu'il viendra quatorze points B donnera une piece à A; ensorte que celui qui aura le premier toutes les pieces en sa possession les regardera comme gagnées par lui. On demande le rapport de la chance de A à la chance de B. Soit le nombre de pieces que chaque joueur dépose = p. a & b le nombre des cas où A & B peuvent chacun gagner une piece. Le rapport de leurs chances sera donc comme a p à b p. ici p = 12, a = 27, b = 15. Or si 27 étant à 15 comme 9 à 5, vous faites a = 9 & b = 5; le rapport des chances ou des espérances sera comme 912 à 512, ou comme 244140625 à 282429536481.

Une attention qu'il faut avoir, c'est de n'être pas trompé par la ressemblance des conditions, & de ne pas confondre les problêmes entr'eux. Il seroit aisé de croire que le suivant ne differe en rien de celui qui précede. C a vingt - quatre pieces, & trois dés; à chaque fois qu'il amene 27 points, il donne une piece à A, & à chaque fois qu'il amene 14, il en donne une à B; & A & B conviennent que celui des deux qui aura le premier douze pieces, gagnera la mise. On demande le rapport des chances de A & de B. Ce second problême a ceci de propre qu'il faut que le jeu finisse en vingt - trois coups; au lieu que le jeu peut durer éternellement dans le premier, les pertes & les gains se détruisant alternativement; élevez [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à la 23e puissance, & les douze premiers termes seront aux douze derniers, comme la chance de A à celle de B.

Trois joueurs A, B & C ont chacun douze balles; quatre blanches & huit noires, & les yeux bandés, ils jouent à condition que le premier qui tirera une balle blanche gagnera la mise; mais A doit tirer le premier, B le second, C le troisieme, & ainsi de suite, dans cet ordre. On demande le rapport de leurs chances. Soit n le nombre des balles; a le nombre des blanches; b le nombre des noires, & l'enjeu = 1.

1°. A a pour amener une balle blanche les cas a; & les cas b pour en amener une noire; donc fa

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