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INDIVISIBLE (Page 8:684)
INDIVISIBLE, adj. (Géométrie.) on entend par [p. 685]
Ils prétendent qu'une ligne est composée de points, une surface de lignes paralleles, & un solide de surfaces paralleles & semblables; &, comme ils supposent que chacun de ces élémens est indivisible, si, dans une figure quelconque, l'on tire une ligne qui traverse ces élémens perpendiculairement, le nombre des points de cette ligne sera le même que le nombre des élémens de la figure proposée.
Suivant cette idée, ils concluent qu'un parallélogramme, un prisme, un cylindre, peut se résoudre en élémens ou indivisibles, tous égaux entre eux, paralleles & semblables à la base; que pareillement un triangle peut se résoudre en lignes paralleles à sa base, mais décroissantes en proportion arithmétique, & ainsi du reste.
On peut aussi résoudre un cylindre en surfaces courbes cylindriques de même hauteur, mais qui décroissent continuellement à mesure qu'elles approchent de l'axe du cylindre, ainsi que le font les cercles de la base sur laquelle s'appuient ces surfaces courbes.
Cette maniere de considérer les grandeurs s'appelle
la Méthode des indivisibles, qui n'est au fond
que l'ancienne méthode d'exhaustion déguisée, &
dont on prend les conclusions comme principes sans
se donner la peine de les démontrer; car toutes les
raisons que les partisans des indivisibles ont imaginées
pour établir leurs élémens, sont de purs paralogismes
ou des pétitions de principe, ensorte que
l'on est absolument obligé de recourir à la méthode
d'exhaustion pour démontrer à la rigueur les principes
des Indivisibilistes; d'où il suit que leur méthode
n'en est point une nouvelle, puisqu'elle a besoin
d'une autre pour être démontrée, ainsi que nous le
verrons bientôt quand nous aurons donné un exemple
de la maniere de procéder dans une démonstration
de Géométrie par la prétendue méthode des
indivisibles. Voyez
Ce qui a gagné des partisans aux indivisibles, c'est que par leur moyen on abrege merveilleusement les démonstrations mathématiques; on peut en voir un exemple dans le fameux théorème d'Archimede, qu'une sphere est les deux tiers du cylindre qui lui est circonscrit.
Supposons un cylindre, une demi - sphere, & un
cône renversé (
Il faut avouer qu'il n'y a rien de plus aisé ni de
plus élégant que cette démonstration; c'est dommage
qu'elle ait besoin elle - même d'une autre démonstration,
ainsi qu'on le trouve prouvé d'une maniere
invincible (& à laquelle les Géometres qui y avoient
le plus d'intérêt n'ont osé répliquer) dans un ouvrage
intitulé institutions de Géométrie, &c. imprimé
à Paris chez Debure l'aîné en 1746, en 2 vol. in - 8°.
voici ce qu'on lit à ce sujet pag. 309 du second tome:
Cependant malgré cette absurdité & bien d'autres,
que l'on peut voir dans l'ouvrage même,
Depuis cette réponse il paroît que l'on n'a plus
inquiété les partisans des indivisibles, & que leurs
principes ont acquis toute l'autorité des premiers
axiomes. Cette autorité s'est d'autant plus fortifiée,
que les indivisibles aboutissent à des conclusions
qui sont démontrées à la rigueur par des
voies incontestables. Un rapport si juste pourroit - il
être la production d'un faux principe »?
Reprenons la méthode des Indivisibilistes. Quand
ils veulent démontrer, par exemple, que les pyramides
de même base & de même hauteur sont égales, ils imaginent que ces pyramides soient coupées
par un nombre infini de plans paralleles à leur base,
& comme le nombre de ces plans est mesuré par
la perpendiculaire qui désigne leur hauteur commune,
il s'ensuit que
A la vérité ils prouvent à la rigueur que les
bases entre lesquelles sont comprises les tranches
[p. 686]
Je conviendrai, tant qu'on voudra, que ces
tranches élémentaires correspondantes ont une
épaisseur infiniment petite; mais la difficulté qui
étoit d'abord en grand revient ici en petit, la petitesse
ne faisant pas l'égalité. Que l'on me prouve
donc que chaque tranche infiniment petite est
égale en solidité à sa correspondante; car c'est - là
précisément l'exposé de la proposition.
On voit maintenant pourquoi la méthode des
indivisibles fait parvenir à des vérités démontrées
d'ailleurs, c'est qu'il est fort aisé de trouver ce
que l'on suppose.
Ainsi ceux qui se conduisent par cette méthode
tombent dans une pétition de principe ou dans un
paralogisme. S'ils supposent que les petites tranches
élémentaires correspondantes ont une égale
solidité, c'est précisément l'état de la question. Si
après avoir démontré l'égalité des surfaces qui
terminent ces tranches par - dessus & par - dessous,
on en déduit l'égalité de ces petits solides, il y a
un paralogisme inconcevable; on passe de l'égalité
de quelques portions de surfaces à l'égalité
entiere des solidités ».
S'il n'étoit pas honteux de recourir à des autorités dans une science qui ne reconnoît pour maître que l'évidence ou la conviction qui en naît, on citeroit M. Isaac Newton, que l'on ne soupçonnera pas d'avoir parlé sur cette matiere d'une maniere inconsidérée: contractiores, dit - il, redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium; sed quoniam durior est indivisibilium hypothesis, & proptereà methodus illa minus geometrica censetur, malui, &c. Voyez la sect. prem. du prem. liv. des Princ. de M. Newton, au schol. du lem. xj.
Au reste, Cavalleri est le premier qui ait introduit
cette méthode dans un de ses ouvrages intitulé
Geometria indivisibilium, imprimé en 1635. Torricelli l'adopta dans quelques - uns de ses ouvrages,
qui parurent en 1644; & Cavalleri lui - même en fit
un nouvel usage dans un autre traité publié en 1647,
& aujourd'hui même un assez grand nombre de Mathématiciens conviennent qu'elle est d'un excellent
usage pour abréger les recherches & les démonstrations
mathématiques. Voyez
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