ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS

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Arithmétique (Page 1:680)

* Arithmétique (machine), c'est un assemblage ou système de roues & d'autres pieces, à l'aide desquelles des chiffres ou imprimés ou gravés se meuvent, & exécutent dans leur mouvement les principales regles de l'Arithmétique.

La premiere machine arithmétique qui ait paru, est de Blaise Pascal, né à Clermont en Auvergne le 19 Juin 1623; il l'inventa à l'âge de dix - neuf ans. On en a fait quelques autres depuis qui, au jugement même de MM. de l'Académie des Sciences, paroissent avoir sur celle de Pascal des avantages dans la pratique: [p. 681] mais celle de Pascal est la plus ancienne; elle a pû servir de modele à toutes les autres: c'est pourquoi nous l'avons préférée.

Cette machine n'est pas extrèmement compliquée; mais entre ses pieces il y en a une surtout qu'on nomme le sautoir, qui se trouve chargée d'un si grand nombre de fonctions, que le reste de la machine en devient très difficile à expliquer. Pour se convaincre de cette difficulté, le lecteur n'a qu'à jetter les yeux sur les figures du recueil des machines approuvées par l'Académie, & sur le discours qui a rapport à ces figures & à la machine de Pascal: je suis sûr qu'il lui paroîtra, comme à nous, presqu'aussi difficile d'entendre la machine de Pascal, avec ce qui en est dit dans l'ouvrage que nous venons de citer, que d'imaginer une autre machine arithmétique. Nous allons faire ensorte qu'on ne puisse pas porter le même jugement de notre article, sans toutefois nous engager à exposer le méchanisme de la machine de Pascal d'une maniere si claire, qu'on n'ait besoin d'aucune contension d'esprit pour le saisir. Au reste, cet endroit de notre Dictionnaire ressemblera à beaucoup d'autres, qui ne sont destinés qu'à ceux qui ont quelque habitude de s'appliquer.

Les parties de la machine arithmétique se ressemblant presque toutes par leur figure, leur disposition & leur jeu, nous avons crû qu'il étoit inutile de représenter la machine entiere: la portion qu'on en voit Planche 2 d'Arithmétique, suffira pour en donner une juste idée. NOPR, fig. 1. est une plaque de cuivre qui forme la surface supérieure de la machine. On voit à la partie inférieure de cette plaque, une rangée NO de cercles Q, Q, Q, &c. tous mobiles, autour de leurs centres Q. Le premier à la droite a douze dents; le second en allant de droite à gauche, en a vingt; & tous les autres en ont dix. Les pieces qu'on apperçoit en S, S, S, &c. & qui s'avancent sur les disques des cercles mobiles R, R, R, &c sont des étochios ou arrêts qu'on appelle potences. Cos étochios sont fixes & immobiles; ils ne posent point sur les cercles qui se peuvent mouvoir librement sous leurs pointes; ils ne servent qu'à arrêter un stylet, qu'on appelle directeur, qu'on tient à la main, & dont on place la pointe entre les dents des cercles mobiles Q, Q, Q, &c. pour les faire tourner dans la direction 6, 5, 4, 3, &c. quand on se sert de la machine.

Il est évident par le nombre des dents des cercles mobiles Q, Q, Q, &c. que le premier à droite marque les deniers; le second en allant de droite à gauche, les sous; le troisieme, les unités de livres; le quatrieme, les dixaines; le cinquieme, les centaines; le sixieme, les mille; le septieme, les dixaines de mille; le huitieme, les centaines de mille: & quoiqu'il n'y en ait que huit, on auroit pû, en aggrandissant la machine, pousser plus loin le nombre de ces cercles.

La ligne YZ est une rangée de trous, à - travers lesquels on apperçit des chiffres. Les chiffres apperçùs ici sont 46309 l. 15 s. 10 d. mais on verra par la suite qu'on en peut faire paroître d'autres à discrétion par les mêmes ouvertures.

La bande PR est mobile de bas en haut; on peut en la prenant par ses extrémités RP, la faire descendre sur la rangée des ouvertures 46309 l. 15 s. 10 d. qu'elle couvriroit: mais alors on appercevroit une autre rangée parallele de chiffres à - travers des trous placés directement au - dessus des premiers.

La même bande PR porte des petites roues gravées de plusieurs chiffres, toutes avec une aiguille au centre, à laquelle la petite roue sert de cadran: chacune de ces roues porte autant de chiffres que les cercles mobiles Q, Q, Q, &c. auxquels elles correspondent perpendiculairement. Ainsi V 1 porte douze chiffres, ou plûtôt a douze divisions; V 2 en a vingt; V 3 en a dix; V 4 dix, & ainsi de suite.

ABCD, fig. 2. est une tranche verticale de la machine, faite selon uné des lignes ponctuées mx, m, mx, &c. de la fig. 1. n'importe laquelle; car chacune de ces tranches, comprise entre deux paralleles mx, mx, contient toutes les parties de la figure 2, outre quelques autres dont nous ferons mention dans la suite. 1 Q 2 représente un des cercles mobiles Q de la fig. 1. ce cercle entraîne par son axe Q 3, la roue à chevilles 4, 5. Les chevilles de la roue 4, 5, font mouvoir la roue 6, 7, la roue 8, 9, & la roue 10, 11, qui sont toutes fixées sur un même axe. Les chevilles de la roue 10, 11, engrainent dans la roue 12, 13, & la font mouvoir, & avec elle le barillet 14, 15.

Sur le barillet 14, 15, même fig, 2. soient tracées l'une au - dessus de l'autre, deux rangées de chiffres de la maniere qu'on va dire. Si l'on suppose que ce barillet soit celui de la tranche des deniers, soient tracées les deux rangées:

      0, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
     11, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Si le barillet 14, 15 est celui de la tranche des sous, soient tracées les deux rangées:
   0, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10,
  19, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
   9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
  10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.
Si le barillet 14, 15 est celui de la tranche des unités de livres, soient tracées les deux rangées:
     0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
     9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Il est évident 1°. que c'est de la rangée inférieure des chiffres tracés sur les barillets, que quelques - uns paroissent à - travers les ouvertures de la ligne XZ, & que ceux qui paroîtroient à - travers les ouvertures couvertes de la bande mobile PR, sont de la rangée supérieure. 2°. Qu'en tournant, fig. 1. le cercle mobile Q, on arrêtera sous une des ouvertures de la ligne XZ, tel chiffre que l'on voudra; & que le chiffre retranché de 11 sur le barillet des deniers, donnera celui qui lui correspond dans la rangée superieure des deniers; retranché de 19 sur le barillet des sous, il donnera celui qui lui correspond dans la rangée supérieure des sous; retranché de 9 sur le barillet des unités de livres, il donnera celui qui lui correspond dans la rangée supérieure des unités de livres, & ainsi de suite. 3°. Que pareillement celui de la bande supérieure du barillet des deniers, retranché de 11, donnera celui qui lui correspond dans la rangée inférieure, &c.

La piece a b c d e f g h i k l qu'on entrevoit, même fig. 2. est celle qu'on appelle le sautoir. Il est important d'en bien considérer la figure, la position & le jeu; car sans une connoissance très - exacte de ces trois choses, il ne faut pas espérer d'avoir une idée précise de la machine: aussi avons nous repété cette piece en trois figures différentes. a b c d e f g h i k l, fig. 2. est le sautoir, comme nous venons d'en avertir: 1 2 3 4 5 6 7 xy T zv, l'est aussi, fig. 3. & 1 2 3 4 5 6 7 8 9, l'est encore, fig. 4.

Le sautoir, fig. 2. a deux anneaux ou portions de douilles, dans lesquelles passe la portion f k & g l de l'axe de la roue à chevilles 8, 9; il est mobile sur cette partie d'axe. Le sautoir, fig. 3. a une concavité ou partie échancrée 3, 4, 5; un coude 7, 8, 9, pratiqué pour laisser passer les chevilles de la roue 8, 9; deux anneaux dont on voit un en 9, l'autre est couvert par une portion de la roue 6, 7, à la partie inférieure de l'échancrure 3, 4, 5; en 2, une especde coulisse, dans laquelle le cliquet 1 est suspendu par le tenon 2, & pressé par un ressort entre les chevilles de la roue 8, 9. Pour qu'on apperçût ce ressort & son effet, on a rompu, fig. 3. un des côtés de [p. 682] la coulisse en x, y; 12 est le cliquet; 2 le tenon qui le tient suspendu; & Z v le ressort qui appuie sur son talon, & pousse son extrémité entre les chevilles de la roue 8, 9.

Ce qui précede bien entendu, nous pouvons passer au jeu de la machine. Soit fig. 2. le cercle mobile 1 Q 2, mû dans la direction 1 Q 2, la roue à chevilles 4, 5, sera mûe, & la roue à cheville 6, 7; & fig. 3. la roue VIII, IX; car c'est la même que la roue 8, 9 de la fig. 2. Cette roue VIII, IX, sera mûe dans la direction VIII, VIII, IX, IX. La premiere de ses deux chevilles r, s, entrera dans l'échancrure du sautoir; le sautoir continuera d'être élevé, à l'aide. de la seconde cheville RS. Dans ce mouvement l'extrémité 1 du cliquet sera entraînée; & se trouvant à la hauteur de l'entre - deux de deux chevilles immédiatement supérieur à celui où elle étoit, elle y sera poussée par le ressort. Mais la machine est construite de maniere que ce premier échappement n'est pas plûtôt fait, qu'il s'en fait un autre, celui de la seconde cheville RS de dessous la partie 3, 4, du sautoir: ce second échappement laisse le sautoir abandonné à lui - même; le poids de sa partie 4 5 6 7 8 9, fait agir l'extrémité 1 du cliquet contre la cheville de la roue 8, 9, sur laquelle elle vient de s'appuyer par le premier échappement; fait tourner la roue 8, 9, dans le sens 8, 8, 9, 9, & par conséquent aussi dans le même sens la roue 10, 11, 11, & la roue 12, 13, en sens contraire, ou dans la direction 13, 13, 12, & dans le même sens que la roue 12, 13, le barillet 14, 15. Mais telle est encore la construction de la machine que, quand par le second échappement, celui de la cheville R S de dessous la partie 3, 4, du sautoir, ce sautoir se trouve abandonné à lui - même, il ne peut descendre & entraîner la roue 8, 9, que d'une certaine quantité déterminée. Quand il est descendu de cette quantité, la partie T fig. 2. de la coulisse rencontre l'étochio r qui l'arrête.

Maintenant si l'on suppose 1°. que la roue VIII, IX a douze chevilles, la roue X, XI autant, & la roue XII, XIII autant encore: 2°. que la roue 8, 9 a vingt chevilles, la roue 10, 11 vingt, & la roue 12, 13 autant: 3°. que l'extrémité T du sautoir, figure 3. rencontre l'étochio r précisément quand la roue 8, 9, fig. 4. a tourné d'une vingtieme partie, il s'ensuivra évidemment que le barillet XIV, XV fera un tour sur lui - même, tandis que le barillet 14, 15 ne tournera sur lui - même que de sa vingtieme partie.

Si l'on suppose 2°. que la roue VIII, IX a vingt chevilles, la roue X, XI autant, & la roue XII, XIII autant: 2°. que la roue 8, 9 ait dix chevilles, la roue 10, 11 autant, & la roue 12, 13 autant: 3°. que l'extrémité T du sautoir ne soit arrêtée, figure 3. par l'étochio r, que quand la roue 8, 9, fig. 4. a tourné d'une dixieme partie, il s'ensuivra évidemment que le barillet XIV, XV fera un tour entier sur lui - même, tandis que le barillet 14, 15 ne tournera sur lui - même que de sa dixieme partie.

Si l'on suppose 3°. que la roue VIII, IX ait dix chevilles, la roue X, XI autant, & la roue XII, XIII autant: 2°. que la roue 8, 9 ait pareillement dix chevilles, la roue 10, 11 autant, & la roue 12, 13 autant aussi: 3°. que l'extrémité T du sautoir; fig. 3. ne soit arrêtée par l'étochio r, que quand la roue 8, 9, fig. 4. aura tourné d'un dixieme, il s'ensuivra évidemment que le barillet XIV, XV fera un tour entier sur lui - même, tandis que le barillet 14, 15 ne tournera sur lui - même que d'un dixieme.

On peut donc en général établir tel rapport qu'on voudra entre un tour entier du barillet XIV, XV, & la partie dont le barillet 14, 15 tournera dans le même tems.

Donc, si l'on écrit sur le barillet XIV, XV les deux rangées de nombre suivantes, l'une au - dessus de l'autre, comme on les voit,

     0, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
    11, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
& sur le barillet 14, 15, les deux rangées suivantes, comme on les voit,
 0, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10.
19, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.
& que les zéros des deux rangées inférieures des barillets correspondent exactement aux intervalles A, B, il est clair qu'au bout d'une révolution du barillet XIV, XV, le zéro correspondra encore à l'intervalle B: mais que ce sera le chiffre I du barillet 14, 15, qui correspondra dans le même tems à l'intervalle A.

Donc, si l'on écrit sur le barillet XIV, XV les deux rangées suivantes, comme on les voit,

 0, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10,
19, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.
& sur le barillet 14, 15, les deux rangées suivantes, comme on les voit,
      0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
      9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
& que les zéros des deux rangées inférieures des barillets correspondent en même tems aux intervalles A, B, il est clair que dans ce cas, de même que dans le premier, lorsque le zéro du barillet XIV, XV correspondra, après avoir fait un tour, à l'intervalle B, le barillet 14, 15 présentera à l'ouverture ou espace A, le chiffre 1.

Il en sera toûjours ainsi, quelles que soient les rangées de chiffres que l'on trace sur le barillet XIV, XV, & sur le barillet 14, 15: dans le premier cas le barillet XIV, XV tournera sur lui - même, & présentera ses douze caracteres à l'intervalle B, quand le barillet 14, 15, n'ayant tourné que d'un vingtieme, présentera à l'intervalle A, le chiffre 1. Dans le second cas, le barillet XIV, XV tournera sur lui - même, & présentera ses vingt caracteres à l'ouverture ou intervalle B, pendant que le barillet 14, 15, n'ayant tourné que d'un dixieme, présentera à l'ouverture ou intervalle A, le chiffre 1. Dans le troisieme cas, le barillet XIV, XV tournera sur lui - même, & aura présenté ses dix caracteres à l'ouverture B, quand le barillet 14, 15, n'ayant tourné que d'un dixieme, présentera à l'ouverture ou intervalle A, le chiffe 1.

Mais au lieu de faire toutes ces suppositions sur deux barillets, je peux les faire sur un grand nombre de barillets, tous assemblés les uns avec les autres, comme on voit ceux de la fig, 4. Rien n'empêche de supposer à côté du barillet 14, 15 un autre barillet placé par rapport à lui, comme il est placé par rapport au barillet XIV, XV, avec les mêmes roues, un sautoir, & tout le reste de l'assemblage. Rien n'empêche que je ne puisse supposer douze chevilles à la roue VIII, IX & les deux rangées 0, 11, 10, 9, &c. 11, 0, 1, 2, &c. tracées sur le barillet XIV, XV, vingt chevilles à la roue 8, 9, & les deux rangées 0, 19, 18, 17, 19, 0, 1, 2, 16, 15, &c. tracées sur le barillet 14, 15; dix che<-> 3, 4, &c. villes à la premiere, pareille à la roue 8, 9, & les deux rangées 0, 9, 8, 7, 6, &c. sur le troisieme ba<-> 9, 0, 1, 2, 3, &c. [p. 683] rillet; dix chevilles à la seconde pareille de 8, 9, & les deux rangées 0, 9, 8, 7, 6, &c. sur le qua<-> 9, 0, 1, 2, 3, &c. trieme barillet; dix chevilles à la troisieme pareille de 8, 9, & les deux rangées 0, 9, 8, 7, 6, &c. sur 9, 0, 1, 2, 3, &c. le cinquieme barillet, & ainsi de suite.

Rien n'empêche non plus de supposer que tandis que le premier barillet présentera ses douze chiffres à son ouverture, le second ne présentera plus que le chiffre 1 à la sienne; que tandis que le second barillet présentera ses vingt chiffres à son ouverture ou intervalle, le troisieme ne présentera que le chiffre 1; que tandis que le troisieme barillet présentera ses dix caracteres à son ouverture, le quatrieme n'y présentera que le chiffre 1; que tandis que le quatrieme barillet présentera ses dix caracteres à son ouverture, le cinquieme barillet ne présentera à la sienne que le chiffre 1, & ainsi de suite.

D'où il s'ensuivra 1°. qu'il n'y aura aucun nombre qu'on ne puisse écrire avec ces barillets; car après les deux échappemens, chaque équipage de barillet demeure isolé, est indépendant de celui qui le précede du côté de la droite, peut tourner sur lui - même tant qu'on voudra dans la direction VIII, VIII, IX, IX, & par conséquent offrir à son ouverture celui des chiffres de sa rangée inférieure qu'on jugera à propos: mais les intervalles A, B, sont aux cylindres nuds XIV, XV, 14, 15, ce que leur sont les ouvertures de la ligne Y, X, fig. 1. quand ils sont couverts de la plaque NORP.

2°. Que le premier barillet marquera des deniers, le second des sous, le troisieme des unités de livres, le quatrieme des dixaines, le cinquieme des centaines, &c.

3°. Qu'il faut un tour du premier barillet, pour un vingieme du second; un tour du second, pour un dixieme du troisieme; un tour du troisieme, pour un dixieme du quatrieme; & que par conséquent les barillets suivent entre leurs mouvemens la proportion qui regne entre les chiffres de l'arithmétique quand ils expriment des nombres; que la proportion des chiffres est toûjours gardée dans les mouvemens des barillets, quelle que soit la quantité de tours qu'on fasse faire au premier, ou au second, ou au troisieme, & que par conséquent de même qu'on fait les opérations de l'Arithmétique avec des chiffres, on peut la faire avec les barillets & les rangées de chiffres qu'ils ont.

4°. Que pour cet effet, il faut commencer par mettre tous les barillets de maniere que les zéros de leur rangée inférieure correspondent en même tems aux ouvertures de la bande YZ, & de la plaque NORP; car si tandis que le premier barillet, par exemple, présente O à son ouverture, le second présente 4 à la sienne, il est à présumer que le premier barillet a fait déjà quatre tours, ce qui n'est pas vrai.

5°. Qu'il est assez indifférent de faire tourner les barillets dans la direction VIII, VIII, IX; que ce mouvement ne dérange rien à 'effet de la machine; mais qu'il ne faut pas qu'ils ayent la liberté de rétrograder; & c'est aussi la fonction du cliquet supérieur C de la leur ôter.

Il permet, comme on voit, aux roues de tourner dans le sens VIII, VIII, IX: mais il les empêche de tourner dans le sens contraire.

6°. Que les roues ne pouvant tourner que dans la direction VIII, VIII, IX, c'est de la ligne ou rangée de chiffres inferieure des barillets qu'il faut se servir pour écrire un nombre; par conséquent pour faire l'addition; par conséquent encore pour faire la multiplication; & que comme les chiffres des rangées sont dans un ordre renversé, la soustraction se doit faire sur la rangée supérieure, & par consequent aussi la division.

Mais tous ces corollaires s'éclairciront davantage par l'usage de la machine, & la maniere de faire les opérations.

Mais avant que de passer aux opérations, nous ferons observer encore une fois que chaque roue 6, 7, fig. 4. a sa correspondante 4, 5, fig. 2. & chaque roue 4, 5, son cercle mobile Q; que chaque roue 8, 9, a son cliquet supérieur, & son cliquet inférieur; que ces deux cliquets ont une de leurs fonctions commune; c'est d'empêcher les roues VIII, IX, 8, 9, &c. de rétrograder; enfin, que le talon 1, pratiqué au cliquet inférieur, lui est essentiel.

Usages de la machine arithmétique pour l'addition. Commencez par couvrir de la bande PR, la rangée supérieure d'ouvertures, en sorte que cette bande soit dans l'état où vous la voyez fig. 1. mettez ensuite toutes les roues de la bande inférieure ou rangée à zero; & soient les sommes à ajoûter

                   69   7  8
                  584  15  6
                  342  12  9

Prenez le conducteur; portez sa pointe dans la huitieme denture du cercle Q le plus à la droite; faites tourner ce cercle jusqu'à ce que l'arrêt ou la potence S vous empêche d'avancer.

Passez à la roue des sous, ou au cercle Q qui suit immédiatement celui sur lequel vous avez opéré, en allant de la droite à la gauche; portez la pointe du conducteur dans la septieme denture, à compter depuis la potence; faites tourner ce cercle jusqu'à ce que la potence S vous arrête; passez aux livres, aux dixaines, & faites la même opération sur leurs cercles Q.

En vous y prenant ainsi, votre premiere somme sera évidemment écrite: opérez sur la seconde, précisément comme vous avez fait sur la premiere, sans vous embarrasser des chiffres qui se présentent aux ouvertures; puis sur la troisieme. Après votre troisieme opération, remarquez les chiffres qui paroîtront aux ouvertures de la ligne YZ, ils marqueront la somme totale de vos trois sommes partielles.

Démonstration. Il est évident que si vous faites tourner le cercle Q des deniers de huit parties, vous aurez 8 à l'ouverture correspondante à ce cercle: il est encore évident que si vous faites tourner le même cercle de six autres parties, comme il est divisé en douze, c'est la même chose que si vous l'aviez fait tourner de douze parties, plus 2: mais en le faisant tourner de douze, vous auriez remis à zéro le barillet des deniers correspondant à ce cercle des deniers, puisqu'il eût fait un tour exact sur lui - même: mais il n'a pû faire un tour sur lui - même, que le second barillet, ou celui des sous, n'ait tourné d'un vingtieme; & par conséquent mis le chiffre 1 à l'ouverture des sous. Mais le chiffre des deniers n'a pû rester à o; car ce n'est pas seulement de douze parties que vous l'avez fait tourner, mais de douze parties plus deux. Vous avez donc fait en sus comme si le barillet des deniers étant à zéro, & celui des sous à 1, vous eussiez fait tourner le cercle Q des deniers de deux dentures: mais en faisant tourner le cercle Q des deniers de deux dentures, on met le barillet des deniers à 2, où ce barillet présente 2 à son ouverture. Donc le barillet des deniers offrira 2 à son ouverture, & celui des sous 1: mais 8 deniers & 6 deniers font 14 deniers, ou un sou, plus 2 deniers; ce qu'il falloit en effet ajoûter, & ce que la machine a donné. La démonstration sera la même pour tout le reste de l'opération.

Exemple de soustraction. Commencez par baisser la bande PR sur la ligne XY d'ouvertures inférieu<pb-> [p. 684] res; écrivez la plus grande somme sur les ouvertures de la ligne supérieure, comme nous l'avons prescrit pour l'addition, par le moyen du conducteur; faites l'addition de la somme à soustraire, ou de la plus petite avec la plus grande, comme nous l'avons prescrit à l'exemple de l'addition: cette addition faite, la soustraction le sera aussi. Les chiffres qui paroîtront aux ouvertures, marqueront la différence des deux sommes, ou l'excès de la grande sur la petite; ce que l'on cherchoit.

       Soit               9121     9     2
dont il faut soustraire    8989    19    11

Si vous exécutez ce que nous vous avons prescrit, vous trouverez aux ouvertures 131 9 3.

Démonstration. Quand j'écris le nombre 9121 liv. 9 s. 2 d. pour faire paroître 2 à l'ouverture des deniers, je suis obligé de faire passer avec le directeur, onze dentures du cercle Q des deniers; car il y a à la rangée supérieure du barillet des deniers onze termes depuis o jusqu'à 2:si à ce 2 j'ajoûte encore 11, je tomberai sur 3; car il faut encore que je fasse faire onze dentures aux cercles Q: or comptant 11 depuis 2, on tombe sur 3. La démonstration est la même pour le reste. Mais remarquez que le barillet des deniers n'a pu tourner de 22, sans que - le barillet des sous n'ait tourné d'un vingtieme, ou de douze deniers. Mais comme à la rangée d'enhaut les chiffres vont en rétrogradant dans le sens que les barillets tournent; à chaque tour du barillet des deniers, les chiffres du barillet des sous diminuent d'une unité; c'est - à - dire, que l'emprunt que l'on fait pour un barillet est acquitté sur l'autre, ou que la soustraction s'exécute comme à l'ordinaire.

Exemple de multiplication. Revenez aux ouvertures inférieures; faites remonter la bande PR sur les ouvertures supérieures; mettez toutes les roues à zéro, par le moyen du conducteur, comme nous avons dit plus haut. Ou le multiplicateur n'a qu'un caractere, ou il en a plusieurs; s'il n'a qu'un caractere, on écrit, comme pour l'addition, autant de fois le multiplicande, qu'il y a d'unités dans ce chiffre du multiplicateur: ainsi la somme 1245 étant à multiplier par 3, j'écris ou pose trois fois cette somme à l'aide de mes roues & des cercles Q; après la derniere fois, il paroît aux ouvertures 3735, qui est en effet le produit de 1245 par 3.

Si le multiplicateur a plusieurs caracteres, il faut multiplier tous les chiffres du multiplicande par chacun de ceux du multiplicateur, les écrire de la même maniere que pour l'addition: mais il faut observer au second multiplicateur de prendre pour premiere roue celle des dixaines.

La multiplication n'étant qu'une espece d'addition, & cette regle se faisant évidemment ici par voie d'addition, l'opération n'a pas besoin de démonstration.

Exemple de division. Pour faire la division il faut se servir des ouvertures supérieures; faites donc descendre la bande PR sur les inférieures; mettez à zéro toutes les roues fixées sur cette bande, & qu'on appelle roues de quotient; faites paroître aux ouvertures votre nombre à diviser, & opérez comme nous allons dire.

Soit la somme 65 à diviser par cinq; vous dites, en 6, cinq y est, & vous ferez tourner votre roue comme si vous vouliez additionner 5 & 6; cela fait, les chiffres des roues supérieures allant toûjours en rétrogradant, il est évident qu'il ne paroîtra plus que 1 à l'ouverture où il paroissoit 6; car dans 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1; 1 est le cinquieme terme après 6.

Mais le diviseur 5 n'est plus dans 1, marquez donc 1 sur la roue des quotiens, qui répond à l'ouverture des dixaines; passez ensuite à l'ouverture des unités, ôtez - en 5 autant de fois qu'il sera possible, en ajoûtant 5 au caractere qui paroît à - travers cette ouverture, jusqu'à ce qu'il vienne à cette ouverture ou zéro, ou un nombre plus petit que cinq, & qu'il n'y ait que des zéros aux ouvertures qui précédent: à chaque addition faites passer l'aiguille de la roue des quotiens qui est au - dessous de l'ouverture des unités, du chiffre 1 sur le chiffre 2, sur le chiffre 3, en un mot sur un chiffre qui ait autant d'unités que vous ferez de soustractions: ici après avoir ôté trois fois 5 du chiffre qui paroissoit à l'ouverture des unités, il est venu zéro; donc 5 est 13 fois en 65.

Il faut observer qu'en ôtant ici une fois 5 du chiffre qui paroît aux unités, il vient tout de suite o à cette ouverture; mais que pour cela l'opération n'est pas achevée, parce qu'il reste une unité à l'ouverture des dixaines, qui fait avec le zéro qui suit 10, qu'il faut épuiser; or il est évident que 5 ôté deux fois de 10, il ne restera plus rien; c'est - à - dire que pour exhaustion totale, ou que pour avoir zéro à toutes les ouvertures, il faut encore soustraire 5 deux fois.

Il ne faut pas oublier que la soustraction se fait exactement comme l'addition, & que la seule différence qu'il y ait, c'est que l'une se fait sur les nombres d'en - bas, & l'autre sur les nombres d'en - haut.

Mais si le diviseur a plusieurs caracteres, voici comment on operera: soit 9989 à diviser par 124, on ôtera 1 de 9, chiffre qui paroît à l'ouverture des mille; 2 du chiffre qui paroît à l'ouverture des centaines; 4 du chiffre qui paroîtra à l'ouverture des dixaines, & l'on mettra l'aiguille des cercles de quotient, qui répond à l'ouverture des dixaines, sur le chiffre 1. Si le diviseur 124 peut s'ôter encore une fois de ce qui paroîtra, après la premiere soustraction, aux ouvertures des mille, des centaines, & des dixaines, on l'ôtera & on tournera l'aiguille du même cercle de quotient sur 2, & on continuera jusqu'à l'exhaustion la plus complete qu'il sera possible; pour cet effet il faudra réitérer ici la soustraction huit fois sur les trois mêmes ouvertures; l'aiguille du cercle du quotient qui répond aux dixaines, sera donc sur 8, & il ne se trouvera plus aux ouvertures que 69, qui ne peut plus se diviser par 124; on mettra donc l'aiguille du cercle de quotient, qui répond à l'ouverture des unités, sur o, ce qui marquera que 124 ôté 80 fois de 9989, il reste ensuite 69.

Maniere de réduire les livres en sous, & les sous en deniers. Réduire les livres en sous, c'est multiplier par 20 les livres données; & réduire les sous en deniers, c'est multiplier par douze. V. Multiplication.

Convertir les sous en livres & les deniers en sous, c'est diviser dans le premier cas par 20, & dans le second par douze. Voyez Division.

Convertir les deniers en livres, c'est diviser par 240. Voyez Division.

Il parut en 1725 une autre machine arithmétique, d'une composition plus simple que celle de M. Pascal, & que celles qu'on avoit déjà faites à l'imitation; elle est de M. de l'Épine; & l'Académie a jugé qu'elle contenoit plusieurs choses nouvelles & ingénieusement pensées. On la trouvera dans le recueil des machines: on y en verra encore une autre de M. de Boitissendeau, dont l'Académie fait aussi l'éloge. Le principe de ces machines une fois connu, il y a peu de mérite à les varier: mais il falloit trouver ce principe; il falloit s'appercevoir que si l'on fait tourner verticalement de droite à gauche un barillet chargé de deux suites de nombres placées l'une au - dessus de l'autre, en cette sorte, 0, 9, 8, 7, 6; &c. 9, 0, 1, 2, 3; &c. - - - - - - - - - l'addition se faisoit sur la rangée supérieure, & la soustraction sur l'inférieure, précisément de la même maniere. [p. 685]


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