"636"> convénient de représenter par une image physique grossiere & imparfaite une hypothèse abstraite & mathématique.

Géométrie transcendante ou des courbes. Cette Géométrie suppose le calcul algébrique. Voyez Algebre & Mathématiques. On doit la commencer par la solution des problèmes du second degré au moyen de la ligne droite & du cercle; & cette théorie peut produire beaucoup de remarques importantes & curieuses sur les racines positives & négatives, sur la position des lignes qui les expriment, sur les différentes solutions dont un problème est susceptible. Voyez au mot Equation la plûpart de ces remarques, qui ne se trouvent pas dans les traités de Géométrie ordinaires; voyez aussi Racine. On passera de - là aux sections coniques; la meilleure maniere & la plus courte de les traiter dans un ouvrage de Géométrie (qui ne se borne pas à cette seule matiere), est, ce me semble, d'employer la méthode analytique que nous avons indiquée à la fin de l'article Conique, de les regarder comme des courbes du premier genre ou lignes du second ordre, & de les diviser en especes, suivant ce qui en a été dit à l'article cité & au mot Courbe. Quand on aura trouvé l'équation la plus simple de la parabole, celle de l'ellipse, & celle de l'hyperbole, on fera voir ensuite très - aisément que ces courbes s'engendrent dans le cone, & de quelle maniere elles s'y engendrent. Cette formation des sections coniques dans le cone seroit peut - être la maniere dont on devroit les envisager d'abord, si on se bornoit à faire un traité de ces courbes; mais elles doivent entrer dans un cours de Géométrie sous un point de vûe plus général. On terminera le traité des sections coniques par la solution des problèmes du troisieme & du quatrieme degré, au moyen de ces courbes; sur quoi voyez Construction & Equation.

La théorie des sections coniques doit être précédée d'un traité, qui contiendra les principes généraux de l'application de l'Algebre aux lignes courbes. Voyez Courbe. Ces principes généraux consisteront, 1°. à expliquer comment on représente par une équation le rapport des abscisses aux ordonnées; 2°. comment la résolution de cette équation fait connoître le cours de la courbe, ses differentes branches & ses asymptotes; 3°. à donner la maniere de trouver par le calcul différentiel les tangentes & les points de maximum & de minimum; 4°. à enseigner comment on trouve l'aire des courbes par le calcul intégral: par conséquent ce traité contiendra les regles du calcul différentiel & intégral, au - moins celles qui peuvent être utiles pour abréger un traité des sections coniques. Quelques géometres se récrieront peut - être ici sur l'emploi que nous voulons faire de ces calculs dans une matiere où l'on peut s'en passer; mais nous les renvoyerons à ce que nous avons dit sur ce sujet au mot Ellipse, pag. 517 & 518. du tome V. Nous y avons fait voir par des exemples combien ces calculs sont commodes pour abréger les démonstrations & les solutions, & pour réduire à quelques lignes ce qui autrement occuperoit des volumes. Nous avons d'ailleurs donné au mot Différentiel la métaphysique très - simple & très - lumineuse des nouveaux calculs; & quand on aura bien expliqué cette métaphysique, ainsi que celle de l'infini geométrique (voyez Infini), on pourra se servir des termes d'infiniment petit & d'infini, pour abréger les expressions & les démonstrations.

En traitant de l'application de l'Algebre aux courbes, on ne les représente guere que par l'équation entre les - coordonnées paralleles; mais il est encore d'autres formes, quoique moins usitées, à donner à leur équation. On peut la supposer, par exemple, entre les rayons de la courbe qui partent d'un cen<cb-> tre, & les abscisses ou les ordonnées correspondantes; comme aussi entre ces rayons, & la tangente, le sinus ou la sécante de l'angle qu'ils forment avec les abscisses ou les ordonnées; on en voit des exemples au mot Ellipse. Toutes ces équations dans les courbes géométriques sont finies & algébriques; mais il en est quelquefois qui se présentent ou qui peuvent se présenter sous une forme différentielle; ce sont celles, par exemple, dans lesquelles un des membres est la différentielle de l'angle formé par le rayon & l'abscisse, & l'autre est une différentielle de quelque fonction de l'abscisse ou du rayon, réductible à un arc de cercle. Par exemple, si j'avois cette équation d [omission: formula; to see, consult fac-similé version], z étant l'angle entre le rayon & l'abscisse, x le rayon, & a la valeur du rayon quand z = o, il est évident que la courbe est géométrique. Car [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est la différentielle d'un angle dont le cosinus est x, & le rayon a (voyez Cosinus); donc x/a = cosinus z; or, si on nomme u & y les abscisses & ordonnées rectangles, on aura u u + y y = x x; [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & consin. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. C'est pourquoi l'équation différentielle d [omission: formula; to see, consult fac-similé version], qui paroît ne pouvoir être intégrée que par des arcs de cercle, donnera l'équation en coordonnées rectangles [omission: formula; to see, consult fac-similé version], qui est l'équation d'un cercle dont les coordonnées ont leur origine à la circonsérence. Il en est de même de plusieurs autres cas semblables.

Ces sortes d'équations méritent qu'on en fasse une mention expresse dans la Géométrie transcendante, d'autant qu'elles sont très - utiles dans la théorie des trajectoires ou courbes décrites par des projectiles, voyez Trajectoire, & par conséquent dans la théorie des orbites des planetes, voyez Ellipse, Kepler (loi de), Planete, & Orbite . Voyez aussi dans les mém. de l'acad. des Sciences pour l'année 1710. un mèmoire de M. Bernoulli sur ce dernier sujet.

Les sections coniques achevées, on passera aux courbes d'un genre supérieur; on donnera d'abord la théorie des points multiples, des points d'inflexion, des points de rebroussement & de serpentement. Voyez Point multiple, Inflexion, Rebroussement, Serpentement , &c. Ces théories sont fondées en partie sur le calcul algébrique simple, en partie & presque en entier sur le calcul différentiel; ce n'est pas que ce dernier calcul y soit absolument nécessaire; mais, quoi qu'on en puisse dire, il abrege & facilite extrèmement toute cette théorie. On n'oubliera pas la théorie si belle & si simple des développées & des caustiques. Voyez Développée, Caustique, Osculateur , &c. Nous ne pouvons & nous ne faisons qu'indiquer ici ces différens objets, dont plusieurs ont déjà été traités dans l'Encyclopédie, & les autres le seront à leurs articles particuliers. Voyez Tangente, Maximum &c. On entrera ensuite dans le détail des courbes des différens ordres, dont on donnera les classes, les especes, & les propriétés principales. Voyez Courbe. A l'égard de la quadrature & de la rectification de ces sortes de courbes, & même de la rectification des sections coniques, on la remettra à la Géométrie sublime.

Au reste, en traitant les courbes géométriques, on pourra s'étendre un peu plus particulierement [p. 637] lur les plus connues, comme le folium de Descartes, la conchoïde, la cissoide, &c. Voyez ces mots.

Les courbes mechaniques suivront les géométriques. On traitera d'abord des courbes exponentielles, qui sont comme une espece moyenne entre les courbes géométriques & les méchaniques. Voyez Exponentiel. Ensuite, après avoir donné les principes généraux de la construction des courbes méchaniques, au moyen de leur équation différentielle & de la quadrature des courbes (voyez Construction), on entrera dans le détail des principales & & des plus connues, de la spirale, de la quadratrice, de la cycloide, de la trochoïde, &c. Voyez ces mots.

Telles sont à - peu - près les matieres que doit contenir un traité de Géomètrie transcendante; nous ne faisons que les indiquer, & que marquer, pour ainsi dire, les masses principales: Un géometre intelligent saura trouver de lui - même, & à l'aide des différens articles de ce Dictionnaire, les parties qui doivent composer chacune de ces masses.

Géométrie sublime. Après le plan que nous avons tracé pour la Géométrie transcendante, on voit que le calcul différentiel & ses usages y sont presqu'épuisés; il ne reste plus à la Géométrie sublime que le calcul intégral, & son application à la quadrature & à la rectification des courbes. Ce calcul fera donc la matiere principale & presque unique de la Géométrie sublime. Sur la maniere dont on doit le traiter, voyez Intégral.

Nous terminerons cet article par quelques réflexions générales. On a vû au mot Application des observations sur l'usage de l'analyse & de la synthèse en Géométrie. On nous a fait sur cet article quelques questions qui donneront lieu aux remarques suivantes.

1°. Le calcul algébrique ne doit point être appliqué aux propositions de la géométrie élémentaire, par la raison qu'il ne faut employer ce calcul que pour faciliter les démonstrations, & qu'il ne paroît pas y avoir dans la géométrie élémentaire aucune démonstration qui puisse réellement être facilitée par ce calcul. Nous exceptons néanmoins de cette regle la solution des problèmes du second degré par le moyen de la ligne droite & du cercle (supposé qu'on veuille regarder ces problèmes comme ppartenant à la géométrie élémentaire, & non comme le passage de la géométrie élémentaire à la transcendante); car le calcul algébrique simplifie extrèmement la solution des questions de ce genre, & il abrege même les démonstrations. Pour s'en convaincre, il suffira de jetter les yeux sur quelques - uns des problèmes du second degré qui sont résolus dans l'application de l'Algebre à la Géométrie de M. Guisnée. Après avoir mis un problème en équation, l'auteur tire de cette équation la construction nécessaire pour satisfaire à l'équation trouvée; & ensuite il démontre synthétiquement & à la maniere des anciens, que la construction qu'il a employée résout en effet le problème. Or la plûpart de ces démonstrations synthétiques sont assez compliquées & fort inutiles, si ce n'est pour exercer l'esprit; car il suffit de faire voir que la construction satis fait à la solution de l'équation finale, pour prouver qu'elle donne la solution du problème.

2°. Nous croyons qu'il est ridicule de démontrer par la synthèse ce qui peut être traité plus simplement & plus facilement par l'analyse, comme les propriétés des courbes, leurs tangentes, leurs points d'inflexion, leurs asymptotes, leurs branches, leur rectification, & leur quadrature. Les propriétés de la spirale que les plus grands mathématiciens ont eu tant de peine à suivre dans Archimede, peuvent aujourd'hui se démontrer d'un trait de plume. N'y a - t - il donc pas en Géométrie assez de choses à apprendre, assez de difficultés à vaincre, assez de découvertes à faire, pour ne pas user toutes les forces de son esprit sur les connoissances qu'on peut y acquérir à moins de frais? D'ailleurs combien de recherches géométriques auxquelles la seule analyse peut atteindre? Les Anglois, grands partisans de la synthèse, sur la foi de Newton qui la loüoit, & qui s'en servoit pour cacher sa route, en employant l'analyse pour se conduire lui - même; les Anglois, dis je, semblent par cette raison n'avoir pas fait en Géométrie, depuis ce grand homme, tous les progrès qu'on auroit pu attendre d'eux. C'est à d'autres nations, aux François & aux Allemands, & sur tout aux premiers, qu'on est redevable des nouvelles recherches sur le système du monde, sur la figure de la terre, sur la théorie de la lune, sur la précession des équinoxes, qui ont prodigieusement étendu l'Astronomie - physique. Qu'on essaye d'employer la synthèse à ces recherches, on sentira combien elle en est incapable. Ce n'est qu'à des géometres médiocres qu'il appartient de rabaisser l'analyse, comme il n'appartient de décrier un art qu'à ceux qui l'ignorent. On trouve une espece de consolation à taxer d'inutilité ce qu'on ne sait pas. Nous avons, il est vrai, exposé ailleurs quelques inconvéniens de l'Algebre. Voyez le mot Equation, page 850. tome V. Si la synthèse peut lever ces inconvéniens dans les cas où ils ont lieu, nous conviendrons qu'on devroit présérer la synthèse à l'analyse, du moins en ces caslà; mais nous doutons, pour ne rien dire de plus, que la synthèse ait cet avantage; & ceux qui penseroient autrement, nous obligeroient de nous desabuser.

3°. Il y a cette différence en Mathématique entre l'Algebre & l'Analyse, que l'Algebre est la science du calcul des grandeurs en général, & que l'Analyse est le moyen d'employer l'Algebre à la soiution des problèmes. Je parle ici de l'analyse mathématique; l'emploi qu'elle fait de l'Algebre pour trouver les inconnues au moyen des connues, est ce qui la distingue de l'analyse logique, qui n'est autre chose en général que l'art de découvrir ce qu'on ne connoît pas par le moyen de ce qu'on connoît. Les anciens géometres avoient sans doute dans leurs recherches une espece d'analyse; mais ce n'étoit proprement que l'analyse logique. Tout algebriste s'en sert pour commencer le calcul; mais ensuite le secours de l'Algebre facilite extrèmement l'usage & l'application de cette analyse à la solution des problèmes. Ainsi, quand nous avons dit au mot Analyse, que l'analyse mathématique enseigne à résoudre les problèmes, en les réduisant à des équations, nous croyons avoir donné une définition très - juste. Ces derniers mots sont le caractere essentiel qui distingue l'analyse mathématique de toute autre; & nous n'avons fait d'ailleurs que nous conformer en cela au langage universellement reçu aujourd'hui par tous les géometres algébristes.

4°. On peut appeller l'Algebre géométrie symbolique, à cause des symboles dont l'Algeore se sert dans la solution des problèmes; cependant le nom de géométrie métaphysique qu'on a donnée à l'Algebre (voyez Algebre), paroît lui être du - moins aussi convenable; parce que ie propre de la Métaphysique est de généraliser les idées, & que non seulement l'Algebre exprime les objets de la Géométrie par des caracteres généraux, mais qu'elle peut faciliter l'application de la Géométrie à d'autres objets. En effet on peut, par exemple, en Méchanique, représenter le rapport des parties du tems par le rapport des parties d'une ligne, & le mouvement d'un corps par l'équation d'une courbe, dont les abscisses représentent les tems, & les ordonnées les vîtesses correspondantes. La Géométrie, sur - tout lorsqu'elle est ai<pb->

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