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FRACTION (Page 7:263)
* FRACTION, s. f. (Gramm.) L'action de briser un corps. Il n'est guere d'usage que dans ces deux phrase, consacrees; fiaction de l hostie, fraction du pain.
I.
II. L'une & l'autre définition emportent nécessairement
deux termes, dont l'un représente le dividende,
l'autre le divileur. On les place l'un sous
l'autre avec une potite ligne transversale entre deux.
Le supérieur, qui représente le divioende, est dit
numérateur; & l'inférieur, qui représente le diviseur,
est dit dénominateur de la fraction. Ainsi
III. Si le numérateur est multiple du dénominateur, la fraction supposée ne l'est que par l'expression, puisque la division venant à s'effectuer, le quotient est un entier.
Si le numerateur, sans être multiple du dénominateur, est d'ailleurs plus grand que lui, il le contiendra, au moins une fois, avec un reste: c'est ce qu'on appelle fraction mixte, parce que le quotient est un entier joint à une fraction. [p. 264]
Enfin si le numérateur est plus petit que le dénominateur; c'est une fraction pure sur laquelle la division n'a point de prise, & qui est elle - même son quotient.
12/3=4 est une fraction de la premiere espece; 6/5 =1+1/5 une de la seconde; 2/3=2/3 une de la troisieme.
IV. Toute fraction, comme celle - ci 2/3, peut s'énoncer de deux manieres, ou 2 divisé par 3 (c'est - à - dire le tiers de deux) ou deux tiers. La premiere maniere est relative aux définitions ci - dessus. Suivant la seconde, on conçoit l'unité divisée en parties dont le dénominateur indique l'espece & le numérateur le nombre qu'il en faut prendre. Mais cette diversité dans la maniere d'énoncer n'influe en rien sur le fond; soit qu'on divise 2 toises ou 12 piés par 3, c'est - à - dire qu'on en prenne le tiers, soit qu'on prenne les deux tiers d'une toise ou de 6 piés, le résultat est également 4 piés.
V. Pour procéder avec quelque ordre dans une matiere d'un détail assez épineux, nous traiterons d'abord des fractions prises singulierement, puis nous comparerons diverses fractions ensemble, enfin nous en donnerons le calcul.
VI. Des fractions prises singulierement. La valeur absolue d'une fraction est d'autant plus grande, que son numérateur est plus grand & son dénominateur plus petit; & au contraire.
Pour en sentir la raison, il suffit de se rappeller
que le numérateur est le dividende, le dénominateur
le diviseur, & la valeur de la fraction le quotient.
Voyez
VII. Pour doubler, tripler, &c. la valeur d'une fraction, c'est donc la même chose de multiplier son numérateur, ou de diviser son dénominateur par 2, 3, &c... comme pour en prendre la moitié, le tiers, &c. c'est la même chose de diviser son numérateur ou de multiplier son dénominateur par 2, 3, &c.
VIII. Donc la valeur d'une fraction n'est point changée, soit qu'on multiplie, soit qu'on divise ses deux termes par la même grandeur n; car l'effet de l'opération faite sur le numérateur sera détruit par l'opération subséquente sur le dénominateur. C'est en effet multiplier ou diviser la fraction par n/n=1; or 1 ne change point les grandeurs, soit qu'il divise, soit qu'il multiplie.
IX. Cela même fournit le moyen de réduire un entier a en fraction d'un dénominateur quelconque n, sans altérer sa valeur; il n'y a qu'à le multiplier & le diviser par n.
Si l'on fait n=1, on aura ax1/1=a1; & c'est la maniere la plus simple de réduire un entier en fraction, lorsqu'on n'a pas d'ailleurs intérêt de lui donner un dénominateur déterminé.
X. On dit qu'une fraction est réduite à ses plus simples
termes, quand les deux termes qui l'expriment sont
premiers entr'eux. Voy.
Il est clair (n°: VIII.) que par cette opération la valeur de la fraction n'est point changée.
XI. Pour trouver la valeur d'une fraction relativement à un entier d'une espece déterminée, voici la méthode. On suppose la fraction pure; parce que, si originairement elle étoit mixte, on a dú préalablement en tirer l'entier par la voie ordinaire.
Le dénominateur de la fraction restant le diviseur
constant, prenez successi vement pour dividende, 1°.
le numérateur réduit en aliquotes premieres de l'entier
(voyez
La même fraction 3/5, s'il s'agit de monnoie, & que l'entier soit une livre, est 12 s.
Cete même fraction 3/5, s'il s'agit de tems, & que l'entier soit une heure, est 36'.
XII. De la comparaison des fractions. Le but qu'on
se propose, en comparant ensemble diverses fractions, est de découvrir le rapport qu'elles ont entr'elles. Ce rapport est sensible, dès que les fractions
ont le même dénominateur; car, a/c.b/c::a.b, puisque
le produit des extrèmes est égal au produit des
moyens (V.
Il ne s'agit donc que de donner aux fractions proposées un dénominateur commun, lorsqu'elles ne l'ont pas. Or pour cela, quel que puisse être le nombre des fractions, voici une regle simple & unique.
Multipliez les deux termes de chaque fraction par le produit continu des dénominateurs des autres fractions; il est clair (n°. VIII.) que par cette opération la valeur de chaque fraction primitive n'est point changée; & il n'est pas moins évident qu'il en résulte pour toutes les fractions réduites le même denominateur, puisqu'il est pour chacune le produit des mêmes facteurs.
Premieres fractions ...>
Secondes fractions ...> plus simplement >.
(+) Si les dénominateurs des fractions ont un diviseur commun, on peut simplifier l'opération en cette sorte: Soit > qu'il faut réduire à même dénomination, les dénominateurs g e & g k ayant pour diviseur commun g, je multiplie le haut & le bas de la premiere par k seulement, & le haut & le bas de la seconde par e seulement, & j'ai >.
(+) Ainsi, si j'avois > à réduire à même denomination,
je prendrois d'abord le plus grand commun
diviseur 8 de 16 & de 24 (voyez
Du calcul des fractions. Ce qui a été dit (n°. IX.) nous met en droit de supposer que les quantités sur lesquelles il sera question d'opérer, ne contiennent que des fractions.
XIII. Addition. Les fractions proposées étant préalablement reduites à la même dénomination, saites la somme des numérateurs, & écrivez au - dessous le dénominateur commun.
>
XIV. Soustraction. Après avoir réduit séparément les deux quantites proposées en une seule fraction, donnez aux deux fractions résultantes un denomina<pb-> [p. 265]
>
(+) On voit par cette opération que lorsqu'il s'agit d'additionner & de soustraire des fractions, on peut les réduire à la même dénomination par la premiere regle générale, sans s'embarrasser si les dénominateurs ont un commun diviseur, ou non; il suffira de réduire à la plus simple expression la fraction unique qui sera le résultat de la derniere opération. En effet qu'on ait, par exemple, à ajoûter > avec >, on peut écrire indifféremment >, après avoir réduit au même dénominateur par la seconde regle, ou en réduisant au même dénominateur par la premiere regle >, en réduisant & divisant le haut & le bas par g.
XV. Multiplieation & division. Nommant premiere fraction celle qui représente le multiplicande ou le dividende, & seconde fraction celle qui représente le multiplicateur ou le diviseur, multipliez terme - à - terme la premiere fraction par la seconde, directe s'il s'agit de multiplication, & renversée s'il s'agit de division.
Le produit de>.
Le quotient de>.
Pour le démontrer, soit > d'où >; & >Il faut faire voir que > & que >.
Or, que dans le premier membre de ces deux dernieres égalités, au lieu de a & de c, on substitue leurs valeurs b p & d q, on aura ......... >
XVI. Si, pour la division on a préféré'e renversement de la fraction qui représente le diviseur à la pratique usitée de multiplier en croix, qui au fond est la même chose; c'est que la regle presentée sous ce point de vûe rend plus sensiblement raison d'une espece de paradoxe qui a coûtume de frapper les commençans. Il arrive souvent dans la multiplication des fractions que le produit est plus petit que le multiplicande, & au contraire dans leur division, que le quotient est plus grand que le dividende; & cela ne peut manquer d'arriver toutes les fois que la fraction qui représente le multiplicateur ou le diviseur est plus petite que l'unite; car alors son numérateur est plus petit que son dénominateur. Quand donc la fraction reste directe dans la multiplication, c'est le plus petit terme qui multiplie la premiere fraction, tandis que le plus grand la divise: cette premiere fraction doit donc être plus diminuée qu'augmentée, & devenir plus petite. Quand au contraire la fraction se renverse dans la division, c'est le plus grand terme qui multiplie la premiere fraction, tandis que le plus petit la divise; elle gagne donc plus qu'elle ne perd, & doit devenir plus grande.
XVII. Soit > à diviser par >, le quotient sera >. Ce qui fait voir que quand le dividende & le diviseur ont un dénominateur commun, on peut négliger celui - ci, & prendre pour quotient des deux fractions celui même de leurs numérateurs.
(+) On peut voir au mot
(+) On a prouvé au mot
XVII. C'est à la multiplication qu'on doit rappeller
la réduction des fractions de fraction, & non à
la division, comme au 1
Il suit qu'ayant un nombre quelconque de fractions de fraction, pourvû que ce qui étoit numerateur reste numérateur, & que ce qui étoit dénominateur reste dénominateur, on peut d'ailleurs transposer entr'elles les fractions, & échanger leurs termes comme on voudra, sans que la valeur de la suite en soit altérée, puisque les deux termes de la fraction qui l'exprimera seront toûjours formés respectivement des mêmes facteurs. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
XIX. Elévation & extraction. Faites séparément sur les deux termes de la fraction celle des deux opérations qu'exige la circonstance, & elle se trouvera faite sur la fraction elle - même. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
(+) XX. Fractions décimales. On a trai> cette
matiere au mot
XXI. Fractions sexagésimales. On nomme ainsi un ordre de fractions dont les dénominateurs sont les puissances successives de 60. On en peut imaginer de tant d'autres especes qu'on voudra; mais nous ne nous y arrêterons pas: outre que leur utilité est bornée à un objet particulier, leur calcul peut aisément se déduire par analogie de tout ce qui a précédé.
(+) Ces fractions, dont le calcul est peu d'usage,
ont été imaginées par quelques arithméticiens à
cause de la division du cercle en 360 degrés, = 6
x 60, du degré en 60 minutes, de la minute en 60
secondes, &c. Mais on eût beaucoup mieux fait
d'employer la division décimale pour les parties du
cercle, & en général pour toutes les divisions quelconques,
comme on l'a déjà dit au mot
XXII. Il est encore d'autres fractions d'un ordre
transcendant, qu'on nomme continues; mais comme
elles peuvent toûjours se résoudre en suites,
nous les renvoyerons à cet article, celui - ci n'étant
déjà que trop long. Voyez
Fraction rationnelle (Page 7:266)
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