ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS

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Application (Page 1:551)

Application de la Géométrie à l'Algebre. Quoiqu'il soit beauccup plus ordinaire & plus commode d'appliquer l'Algebre à la Géométrie, que la Géométrie à l'Algebre; cependant cette derniere application a lieu en certains cas. Comme on représente les lignes géométriques par des lettres, on peut quelquefois représenter par des lignes les grandeurs numériques que des lettres expriment, & il peut même dans quelques occasions en résulter plus de facilité pour la démonstration de certains théoremes, ou la résolution de certains problèmes. Pour en donner un exemple simple, je suppose que je veuille prendre le quarré de a + b; je puis par le calcul algébrique démontrer que ce quarré contient le quarré de a, plus celui de b, plus deux fois le produit de a par b. Mais je puis aussi démontrer cette proposition en me servant de la Géométrie. Pour cela, je n'ai qu'à faire un quarré, dont je partagerai la base & la hauteur chacune en deux parties, d'ont j'appellerai l'une a, & l'autre b; ensuite tirant par les points de division des lignes paralleles aux côtés du quarré, je diviserai ce quarré en quatre surfaces, dont on verra au premier coup d'oeil, que l'une sera le quarrré de a, une autre celui de b, & les deux autres seront chacune un rectangle formé de a & de b; d'où il s'ensuít que le quarré du binome a + b contient le quarré de chacune des deux parties, plus deux fois le produit de la premiere par la seconde. Cet exemple très simple & à la portée de tout le monde, peut servir à faire voir comment on applique la Géométrie à l'Algebre, c'est - à - dire, comment on peut se servir quelquefois de la Géométrie pour démontrer les théoremes d'Algebre.

Au reste, l'application de la Géométrie à l'Algebre, n'est pas si nécessaire dans l'exemple que nous venons de rapporter, que dans plusieurs autres, trop compliqués pour que nous en fassions ici une énumération fort étendue. Nous nous contenterons de dire, que la considération, par exemple, des courbes de genre parabolique, & du cours de ces courbes par rapport à leur axe, est souvent utile pour démontrer aisément plusieurs théoremes sur les équations & sur leurs racines. Voyez entr'autres, l'usage que M. l'abbé de Gua a fait de ces sortes de courbes, Mém. Acad. 1741, pour démontrer la fameuse regle de Descartes sur le nombre des racines des équations. Voyez Parabolique, Construction, &c. [p. 552]

On peut même quelquefois appliquer la Géométrie à l'Arithmétique. c'est - à - dire, se servir de la Géométrie, pour démontrer plus aisément sans Analyse & d'une maniere générale, certains théorèmes d'Arithmétique; par exemple, que la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, &c. ajoûtés successivement, donne la suite des quarrés 1, 4, 9, 16, 25, &c.

Pour cela, faites un triangle rectangle ABE (fig. 65. Méchan.) dont un côté soit horisontal, & l'autre vertical (je les désigne par horisontal & vertical pour fixer l'imagination): divisez le côté vertical AB en tant de parties égales que vous voudrez, & par les points de division 1, 2, 3, 4, &c. menez les paralleles 1 f. 2 g, &c. à BE; vous aurez d'abord le petit triangle A 1 f, ensuite le trapeze 1 fg 2, qui vaudra trois fois ce triangle, puis un troisieme trapeze 2 gh 3, qui vaudra cinq fois le triangle. De sorte que les espaces terminés par ces paralleles 1 f, 2 g. &c. seront représentés par les nombres suivans, 1, 3, 5, 7, &c. en commençant par le triangle A 1 f, & designant ce triangle par 1, 5.

Or les sommes de ces espaces seront les triangles A 1 f, A 2 g, A 3 h, &c. qui sont comme les quarrés des côtés A 1, A 2, A 3, c'est - à - dire, comme 1, 4, 9, &c. donc la somme des nombres impairs donne la somme des nombres quarrés. On peut sans doute démontrer cette proposition algébriquement: mais la démonstration précédente peut satisfaire ceux qui ignorent l'Algebre. Voyez Accélération.

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