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Pour nous expliquer plus exactement, soit z la distance de la lune au zénith d'un lieu quelconque, on aura à très - peu - pres D - r cosin. z pour la distance de la lune à ce lieu; & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] pour la force avec laquelle la lune tend à attirer l'eau de la mer en cet endroit là; cette force se décompose en deux autres: l'une tend vers le centre de la terre; & par le principe de la décomposition des forces (voyez Décomposition & Composition), elle est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; l'autre est parallele à la ligne qui joint les centres de la terre & de la lune; & elle est par les mêmes principes égale à [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à très peu - près [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Voyez Suite, Approximation, & Binome, & sur - tout l'article Négliger, en Algebre. Il faut retrancher de cette force, suivant ce qui a été dit plus haut, la force [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui agit également sur toutes les parties du globe terrestre, & qui tend à transporter toute cette masse par un mouvement commun à toutes les parties; ainsi (le centre de la terre étant par ce moyen regardé comme en repos par rapport aux eaux de la mer) on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] pour la force avec laquelle ces eaux tendent à s'élever vers la lune suivant une ligne parallele à celle qui joint les centres du soleil & de la lune: cette force se décompose en deux autres: l'une dans la direction du rayon de la terre; elle est par le principe de la décomposition des forces, [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & tend à éloigner les eaux du centre de la terre. L'autre est dirigée suivant une perpendiculaire au rayon, ou tangente à la terre; & elle est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Ainsi comme nous avons déjà trouvé qu'il y a une force [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui tend à pousser les eaux vers le centre de la terre, il s'ensuit que les eaux tendront à s'éloigner de ce centre avec une force égale à [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & à se mouvoir parallelement à la surface de la terre avec une force= [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Il en est de même de l'action du soleil; il n'y aura qu'à mettre dans l'expression précédente S au lieu de L, & D au lieu de D.

De ces deux forces on peut même négliger entierement la premiere, comme je l'ai démontré dans mes Reflexions sur la cause des vents, & comme plusieurs géometres l'avoient démontré avant moi; car l'action de la pesanteur, pour pousser les particules de l'eau au centre de la terre, est comme infiniment plus grande que l'action qui tend à les en écarter; nous l'avons déjà observé ci - dessus, & nous le prouverons ainsi en peu de mots. La force de la pesanteur est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en appeliant T la masse de la terre; car chaque particule de la surface de la terre est attirée vers son centre avec une force égale à la masse de la terre divisée par le quarré du rayon. Voy. Attraction & Gravitation. Or [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est à [omission: formula; to see, consult fac-similé version] comme T D3 à L G3, c'est - à - dire incomparablement plus grande, puisque T est plus grand que L, & que D est égale à environ 60 fois G. Voyez Lune, Terre, &c. Ainsi l'action de la gravité sur les eaux de la mer, est incomparablement plus forte que l'action de la lune: or on trouve par le calcul, que l'action du soleil [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est beaucoup plus petite que l'action de la lune [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc l'action de la gravité est beaucoup plus grande que les actions du soleil & de la lune, pour élever les eaux de la mer dans une direction perpendiculaire à la terre. Donc, &c.

La force [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est aussi beaucoup plus petite que la gravité, & par les mêmes raisons; mais l'effort de cette force n'étant point contraire à celui de la pesanteur, elle doit avoir tout son effet: or quel est son effet? de mouvoir les eaux de la mer horisontalement & avec des vîtesses différentes, selon la différence de la distance z de la lune au zénith: & ce mouvement doit évidemment faire élever les eaux de la mer au - dessous de la lune.

Pour le demontrer d'une maniere plus immédiate & plus directe, supposons une sphere fluide, dont les parties pesent vers le centre avec une force égale àpeu - près à [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & soient outre cela poussées perpendiculairement au rayon par une force égale à [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; on démontre aisément par les principes de l'Hydrostatique (voyez Figure de la Terre mesréflexions sur la cause des vents, & plusieuts autres ouvrages), que cette sphere, pour conserver l'équilibre de ses parties, doit se changer en un sphéroide, dont la différence des axes seroit [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & que la différence d'un rayon quelconque au petit axe de ce sphéroïde seroit [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. z2.

Ce nouveau sphéroïde devant être égal en masse à la sphere primitive, il est facile, par les principes de Géométrie, de déterminer la différence des rayons de ce sphéroïde aux rayons correspondans de la sphere, de trouver par conséquent de combien le fluide sera élevé ou abaissé en chaque endroit, au - dessus du lieu qu'il occuperoit dans la sphere, si la lune n'avoit point d'action. Par - là on trouvera d'abord aisément l'élevation & l'abaissement des eaux en chaque endroit, en supposant la lune en repos, & la terre sphérique & aussi en repos. Car quoique ces hypothèses soient bien éloignées de la vérité, cependant il faut commencer par - là, pour aller ensuite du simple au composé.

Quand la terre ne seroit pas supposée primitivement sphérique, mais sphéroïde, pourvû qu'on la regardât comme en repos, ainsi que la lune, l'élévation des eaux, en vertu de l'action de la lune, seroit sensiblement la même que sur une sphere parfaite. J'ai démontré cette proposition dans mes réflexions sur la cause des vents, art. 50 - 62.

On trouveroit de même, & par les mêmes principes, l'élévation des eaux sur la sphere ou sur le sphéroïde, en vertu de l'action seule du soleil, & on peut démontrer (comme je l'ai fait dans l'endroit même que je viens de citer) que l'élévation des eaux, en vertu de l'action conjointe des deux astres, est sensiblement égale à la somme des élevations qu'elles auroient en vertu des deux actions séparées.

Mettons en calcul les idées que nous venons d'exposer. Soit r le rayon de la sphere, r'le demi petit axe du sphéroïde dans l'hypothèse que la lune seule agisse; on aura pour la différence des rayons de la sphere & du sphéroïde [omission: formula; to see, consult fac-similé version] (voy. les articles Sinus & Négliger) [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: ainsi la différence de la sphere & du sphéroïde, aura pour élément [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sin. zX2P, 2 P étant le rapport de la circonférence au rayon. L'intégrale de cette quantité qui doit être=0, lorsque z=0, est [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; lorsque z=90 [p. 908] degrés, & que par conséquent cosin. z=0, & cos. 3 z=0, cette quantité devient [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; or la différence de la sphere & du sphéroïde, qui est le quadruple de cette derniere quantité, doit être égale à zero: donc cette quantité elle - même doit être égale à zero; on aura donc r' [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc la différence des rayons du sphéroïde & des rayons correspondans de la sphere pour chaque angle z, sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Donc si on nomme Z la distance du soleil au zénith, l'élévation des eaux, en vertu des actions réunies du soleil & de la lune, sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. C'est la formule de l'élévation des eaux de la mer, en faisant abstraction du mouvement de la terre & de celui des deux astres; & cette formule a lieu généralement, de quelque maniere qu'on suppose le soleil & la lune placés par rapport à un point quelconque de la terre, sans qu'il soit nécessaire que ces astres soient, ni dans l'équateur, ni dans un même parallele à l'équateur.

En faisant la quantité précédente=0, on trouvera l'endroit où les eaux ne sont ni élevées, ni abaissées; en la faisant égale à un plus grand ou à un moindre (voyez Maximum & Minimum), on trouvera l'endroit où les marées sont les plus hautes & les plus basses; on trouvera de plus l'heure des hautes & basses marées par la même formule, en supposant, ce qui n'est pas exactement vrai, que le point des plus hautes & des plus basses marées soit le même que si on considéroit le soleil & la lune comme en repos; mais quoique cette supposition ne soit pas parfaitement exacte, cependant elle répond en général assez bien aux phénomenes, comme on le peut voir dans les excellentes pieces de MM. Euler & Daniel Bernoulli sur le flux & reflux de la mer. Voyez aussi l'article Marée. Au reste ces deux grands géometres, ainsi que M. Maclaurin, ont donné des méthodes d'approximation particulieres pour déterminer le moment précis de l'élevation des eaux, en ayant égard au mouvement de la terre & à celui de la lune.

La formule qu'on a donnée ci - dessus pour les hauteurs des marées, donne les plus petites & les plus hautes, les premieres dans les quadratures, les secondes dans les syzygies; & c'est par le rapport de ces marées que M. Newton a déterminé celui des quantités [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Mais M. Daniel Bernoulli croit qu'il vaut mieux le déterminer par les intervalles entre les marées consécutives aux syzygies & aux quadratures. Le premier de ces deux grands géometres trouve ce rapport égal à environ 4, & M. Daniel Bernoulli à [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; ce qui, comme l'on voit, est fort différent. Mais il faut avoüer aussi qu'eu égard aux circonstances physiques, qui troublent & dérangent ici beaucoup le géométrique, la methode d'employer les marées pour découvrir un tel rapport, est fort incertaine. Les phénomenes de la nutation & de la précession sont bien préférables, voyez Nutation & Précession, & ces phénomenes donnent un rapport assez approchant de celui de M. Daniel Bernoulli. Voyez mes Recherches sur la précession des équinoxes. Paris, 1749.

Les trois pieces de MM. Bernoulli, Euler & Maclaurin sur le flux & reflux de la mer, dont nous avons parlé plusieurs fois dans le courant de cet article, ont chacune un mérite particulier, & ont paru avec raison aux commissaires de l'académie, dignes de partager leurs suffrages: ils y ont joint (apparemment pour ne pas paroître adopter aucun systeme) une piece du P. Cavalleri jésuite, qui est toute cartésienne, ou du moins toute fondée sur la théorie des tourbillons, & dont nous n'avons tiré rien autre chose que le détail des principaux phénomenes. C'est dans les trois autres pieces qu'il faut chercher les explications, sut - tout dans celles de MM. Euler & Bernoulli, car la piece de M. Maclaurin entre dans un moindre détail; mais elle est remarquable par un très - beau théoreme sur la figure que doit prendre la terre en vertu de l'action du soleil & de la lune, combinée avec la pesanteur & la force centrifuge de ses parties. Voyez Figure de la Terre

Dans la piece de M. Euler on trouvé un calcul ingénieux du mouvement des eaux, en ayant égard à leur inertie; mais ce caleul est peut - être un peu trop hypothétique. Dans le premier chapitre de cette même piece, l'auteur paroit adopter les tourbillons; mais il est aisé de voir que ce n'est pas serieusement, & qu'il se montre d'abord Cartésien en apparente, pour être ensuite Newtonien plus à son aise. M. Daniel Bernoulli est plus franc, & sa piece n'en est parlà que plus estimable: elle joint d'ailleurs à ce mérite, celui d'être faite avec beaucoup d'intelligence & de clarté. Plus on relit ces trois excellens ouvrages, plus on est embarrassé auquel on doit donner la présérence, & plus on applaudit au jugement que l'académie en a porté en les couronnant tous trois.

Je crois qu'on me permettra de donner aussi dans cet article une idée de la maniere dont j'ai traité la question dont il s'agit dans mes réflexions sur la cause des vents, que l'académie royale des Sciences de Prusse a honorées de son suffrage en 1746. Comme je ne considere guere dans cette piece que l'attraction de la lune & du soleil sur la masse de l'air, il est évident que les mêmes principes peuvent s'appliquer au flux & reflux. Je commence donc, ce que personne n'avoit fait avant moi, par déterminer les oscillations d'un fluide qui couvriroit la terre à une petite profondeur, & qui seroit attiré par le soleil ou par la lune. On peut par cette théorie comparer ces oscillations à celles d'un pendule, dont il est aisé de déterminer la longueur. Je fais voir ensuite que le célebre M. Daniel Bernoulli s'est trompé dans l'équation qu'il a donnée pour l'élévation des eaux, en supposant la terre composée de couches différemment denses; & je démontre qu'il n'est point nécessaire pour expliquer l'élévation des eaux, d'avoir recours à ces différentes couches; qu'il suffit seulement de supposer que la partie fluide de la terre n'ait pas la même densité que la partie solide: enfin je donne le moyen de déterminer la vîtesse & l'élévation des particules du fluide, en ayant égard à l'inertie, & d'une maniere, ce semble, beaucoup moins hypothétique que M. Euler. C'est par ce moyen que je trouve qu'un fluide qui couvriroit la terre, doit avoir de l'est à l'oüest un mouvement continuel. L'article Vent présentera un plus grand détail sur l'ouvrage dont il s'agit.

Ce mouvement de la mer d'orient en occident est très - sensible dans tous les détroits: par exemple, au détroit de Magellan le flux éleve les eaux à plus de 20 piés de hauteur, & cette intumescence dure six heures; au lieu que le reflux ne dure que deux heures, & l'eau coule vers l'occident: ce qui prouve que le reflux n'est pas égal au flux, & que de tous deux il résulte un mouvement vers l'occident, mais beaucoup plus fort dans le tems du flux que dans celui du reflux: c'est par cette raison que dans les hautes mers éloignées de toute terre, les marées ne sont guere sensibles que par le mouvement général qui en résulte, c'est - à - dire par ce mouvement d'orient en occident. Ce mouvement est sur - tout remarqua<pb->

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