"312"> plomb, l'étain, le cuir, le charbon, le houblon, le lin, le chanvre, les chapeaux, la bierre, le poisson, les montres, les rubans.

Les seuls ouvrages de laine qu'on transporte tous les ans, sont évalués à deux millions de livres sterl. & le plomb, l'étain & le charbon, à 500000 livres sterl. Voyez Laine.

La laine, la terre à dégraisser, &c. sont des marchandises de contrebande, c'est - à - dire qu'il est défendu de transporter. Voyez Commerce & Contrebande. Pour les droits de sortie, voyez Impôt, Droits, &c. Chambers.

EXPOSANT (Page 6:312)

EXPOSANT, s. m. (Algebre.) Ce terme a différentes acceptions selon les différens objets auxquels on le rapporte. On dit, l'exposant d'une raison, l'exposant du rang d'un terme dans une suite, l'exposant d'une puissance.

L'exposant d'une raison (il faut entendre la géométrique, car dans l'Arithmetique ce qu'on pourroit appeller de ce nom, prend plus particulierement celui de différence): l'exposant donc d'une raison géométrique est le quotient de la division du conséquent par l'antécédent. Ainsi dans la raison de 2 à 8, l'exposant est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; dans celle de 8 à 2, l'exposant est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. Voyez Proportion.

C'est l'égalité des exposans de deux raisons qui les rend elles - mêmes égales, & qui établit entr'elles ce qu'on appelle proportion. Chaque conséquent est alors le produit de son antécédent par l'exposant commun. Il semble donc, pour le dire en passant, qu'ayant à trouver le quatrieme terme d'une proportion géométrique, au lieu du circuit qu'on prend ordinairement, il seroit plus simple de multiplier directement le troisieme terme par l'exposant de la premiere raison, au moins quand celui - ci est un nombre entier. Par exemple, dans la proportion commencée 8. 24:: 17. *, le quatrieme terme se trouveroit tout - d'un - coup, en multipliant 17 par l'exposant 3 de la premiere raison; au lieu qu'on prescrit de multiplier 24 par 17, & puis de diviser le produit par 8. Il est vrai que les deux méthodes exigent également deux opérations, puisque la recherche de l'exposant suppose elle - même une division; mais dans celle qu'on propose, ces deux opérations, s'exécutant sur des termes moins composés, en seroient plus courtes & plus faciles. Voyez Regle de Trois.

L'exposant du rang est, comme cela s'entend assez, le nombre qui exprime le quantieme est un terme dans une suite quelconque. On dira, par exemple, que 7 est l'exposant du rang du terme 13 dans la suite des impairs; que celui de tout autre terme T de la même suite est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & plus généralement que l'exposant du rang d'un terme pris où l'on voudra dans une progression arithmétique quelconque, dont le premier terme est désigné par p, & la difference par d, est [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

On nomme exposant, par rapport à une puissance, un chiffre (en caractere minuscule) qu'on place à la droite & un peu au - dessus d'une quantité, soit numérique, soit algébrique, pour désigner le nom de la puissance à laquelle on veut faire entendre qu'elle est élevée. Dans a4, par exemple, 4 est l'exposant qui marque que a est supposé élevé à la quatrieme puissance.

Souvent, au lieu d'un chiffre, on employe une lettre; & c'est ce qu'on appelle exposant indéterminé. an est a élevé à une puissance quelconque désignée par n. Dans [omission: formula; to see, consult fac-similé version], n désigne le nom de la racine qu'on suppose extraite de la grandeur a, &c.

Autrefois, pour représenter la quatrieme puissance de a, on écrivoit aaaa; expression incommode, & pour l'auteur, & pour le lecteur, sur - tout lorsqu'il s'agissoit de puissances fort élevées. Descartes vint, qui à cette répétition fastidieuse de la même racine substitua la racine simple, surmontée vers la droite de ce chiffre qu'on nomme exposant, lequel annonce au premier coup - d'oeil combien de fois elle est censée répétée après elle - même.

Outre l'avantage de la briéveté & de la netteté, cette expression a encore celui de faciliter extrèmement le calcul des puissances de la même racine, en le réduisant à celui de leurs exposans, lesquels pouvant d'ailleurs être pris pour les logarithmes des puissances auxquelles ils se rapportent, les font participer aux commodités du calcul logarithmique. Dans l'exposé qui va suivre du calcul des exposans des puissances, nous aurons soin de ramener chaque résultat à l'expression de l'ancienne méthode, comme pour servir à la nouvelle de démonstration provisionnelle; renvoyant pour une démonstration plus en forme à l'article Logarithme, qui est en droit de la revendiquer.

Multiplication. Faut - il multiplier am par an? On fait la somme des deux exposans, & l'on écrit am+n. En effet que m=3, & n=2; am+n=a3+2= a5=aaaaa=aaaXaa.

Division. Pour diviser am par an, on prend la différence des deux exposans, & l'on écrit am - n. En effet que m=5, & n=2; am - n=a5 - 2= a3=aaa=aa.

Si n=m, l'exposant réduit devient o, & le quotient est ao=1; car (au lieu de n, substituant m qui lui est égale par supposition) [omission: formula; to see, consult fac-similé version] =1.

Si n»m, l'exposant du quotient sera négatif. Par exemple, que m=2, & n=5; am - n=a2 - 5= a - 3. Mais qu'est - ce que a - 3? Pour le savoir, interrogeons l'ancienne méthode. a - 3 est donné pour l'expression de [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Ce qui fait voir qu'une puissance négative équivaut à une fraction, dont le numérateur étant l'unité, le dénominateur est cette puissance même devenue positive: comme réciproquement une puissance positive équivaut à une fraction, dont le numérateur est encore l'unité, & le dénominateur cette même puissance devenue négative. En général [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. On peut donc sans inconvénient substituer l'une de ces deux expressions à l'autre: ce qui a quelquefois son utilité.

Elévation. Pour élever am à la puissance dont l'exposant est n, on fait le produit des deux exposans, & l'on écrit amXn ... En effet que m=2, & n=3; amXn=a2X3=a6=aaaaaa=aaXaaXaa.

Extraction. Comme cette opération est le contraire de la précédente; pour extraire la racine n de am, on voit qu'il faut diviser m par n, & écrire [omission: formula; to see, consult fac-similé version] En effet que m=6, & n=3; [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

On peut donc bannir du calcul les signes radicaux qui y jettent souvent tant d'embarras, & traiter les grandeurs qu'ils affectent comme des puissances, dont les exposans sont des nombres rompus. Car [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c.

On ne dit rien de l'addition, ni de la soustraction; [p. 313] carce que ni la somme, ni la différence de deux puissancès de la même racine, ne peuvent se rappeller à un exposant commun, & qu'elles n'ont point d'expression plus simple que celle - ci, am+an. Mais elles ont d'ailleurs quelques propriétés particulieres, que je ne sache pas avoir jusqu'ici été remarquées, quoiqu'elles puissent trouver leur application. Elles ne seront point déplacées en cet article.

Premiere propriété. La différence de deux puissances quelconques de la même racine, est toûjours un multiple exact de cette racine diminuée de l'unité, c'est - à - dire que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donne toûjours un quotient exact. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sans reste. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Observez en passant que dans le premier exemple 43 - 41=60=3X4X5. Ce qui n'est point un hasard, mais une propriété constante de la différence des troisieme & premiere puissances, laquelle est toûjours égale au produit continu des trois termes consécutifs de la progression naturelle, dont le moyen est la premiere puissance même ou la racine. a3 - a1=a - 1XaXa+1.

Seconde propriété. La différence de deux puissances quelconques de la même racine est un multiple exact de cette racine augmentée de l'unité, quand la différence des exposans des deux puissances est un nombre pair; c'est - à - dire que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donne un quotient exact, quand m - n exprime un nombre pair. [omission: formula; to see, consult fac-similé version], sans reste, parce que 3 - 1=2, nombre pair. Mais [omission: formula; to see, consult fac-similé version] laisse un reste, parce que 3 - 0=3 n'est pas un nombre pair.

Troisieme propriété. La somme de deux puistances quelconques de la même racine est un multiple exact de cette racine augmentée de l'unité, quand la différence des exposans des deux puissances est un nombre impair; c'est - à - dire que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donne un quotient exact, quand m - n exprime un nombre impair. [omission: formula; to see, consult fac-similé version], sans reste, parce que 3 - 0=3, nombre impair. Mais [omission: formula; to see, consult fac-similé version] laisse un reste, parce que 3 - 1=2 n'est pas un nombre impair.

Si l'on compare [omission: formula; to see, consult fac-similé version], considéré d'une part comme dividende avec a+1, considéré de l'autre comme diviseur, il en résulte quatre combinaisons différentes; savoir, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Maintenant, si l'on vient à effectuer sur chacune la division indiquée, on trouvera (& c'est une suite des lois générales de la division algébrique)

1°. Que dans toutes les hypothèses, les termes du quotient (supposé exact) sont par ordre les puissances consécutives & décroissantes de a, depuis & y compris am - 1 jusqu'à an inclusivement; d'où il suit que le nombre des termes du quotient exact, ou, ce qui est la même chose, l'exposant du rang de son dernier terme est m - n.

2°. Que dans les deux premieres hypothèses les termes du quotient ont tous le signe +, & que dans les deux dernieres ils ont alternativement & dans le même ordre les signes + & - ; de sorte que le signe+ appartient à ceux dont l'exposant du rang est impair, & le signe - à ceux dont l'exposant du rang est pair.

3°. Que, pour rendre la division exacte, le dernier terme du quotient doit avoir le signe - dans les premiere & troisieme hypothèses, & le signe+dans la seconde & dans la quatrieme.

La figure suivante met sous les yeux le résultat des deux derniers articles. La ligne supérieure représente l'ordre des signes qui affectent les divers termes du quotient, relativement aux quatre différentes hypothèses; l'inférieure marque le signe que doit avoir dans chacune le dernier terme du quotient, pour rendre la division exacte. [omission: other; to see, consult fac-similé version]

La seule inspection de la figure fait voir que la division exacte ne peut avoir lieu dans la premiere hypothèse, puisqu'elle exige le signe - au dernier terme du quotient, & que tous y ont le signe+; que par une raison contraire elle a toûjours lieu dans la seconde; qu'elle l'a dans la troisieme, quand l'exposant du rang du dernier terme, où (suprà) m - n est pair; & dans la quatrieme, quand m - n est impair.

J'ai remarqué (& d'autres sans doute l'auront fait avant moi) que la différence des troisieme & premiere puissances de la même racine est égale au produit continu de trois termes consécutifs de la progression naturelle, dont le moyen est la premiere puissance même ou la racine ... r3 - r1=r - 1X r1Xr+1.

Cette propriété au reste dérive d'une autre ultérieure. Les exposans des deux puissances étant quelconques, pourvû que leur différence soit 2, on a généralement rm - rn=r - 1XrnXr+1; ... & la démonstration en est aisée. Car dans le second membre le produit des extrèmes est rr - 1: or si l'on multiplie le terme moyen rn par rr - 1, on aura rn+2 - rn: mais rn+2=rm, puisque (par supposition) m - n=2, d'où m=n+2.

Ceci est peu de chose en soi: mais n'en pourroiton pas faire nfage, pour résoudre avec facilité toute équation d'un degré quelconque, qui aura ou à qui on pourra donner cette forme xm - xn - a=0, de sorte que m - n y soit=2, & dont une des racines sera un nombre entier.

En effet, cherchant tous les diviseurs ou facteurs de a, & pour plus de commodité les disposant par ordre deux à deux, de façon que chaque paire contienne deux facteurs correspondans de a, comme on voit ici ceux de 12 ... [omission: formula; to see, consult fac-similé version] .... on est assûré qu'il s'en trouvera une paire qui sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Choisissant donc dans la ligne inférieure (que je suppose contenir les plus grands facteurs) ceux qui sont des puissances du degré n, oubien il ne s'en trouvera qu'un, & dès - là sa nieme racine sera la valeur de x, ou il s'en trouvera plusieurs; & alors les comparant avec leurs co - facteurs, on se déterminera pour celui dont le co - facteur est le produit de sa nieme racine diminuée de l'unité par la même racine augmentée de l'unité. Par exemple, Soit l'équation à résoudre ... x5 - x3 - 3000=0, on trouve que les facteurs de 3000 sont par ordre, [omission: other; to see, consult fac-similé version]

En consultant, si on le juge nécessaire, la table

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