"1081"> il est sûr qu'elle ne donnera jamais trop peu, & voilà pourquoi on se contente de diviser les premiers chiffres du dividende par le premier du diviseur. Quand la division donne trop, comme dans ce cas - ci, où 8 seroit trop fort, & même 7, on diminuera successivement le quotient jusqu'à ce qu'il ne soit pas trop fort, ce qui arrivera en mettant 6; ce 6, comme nous l'avons vû, indique 60, & le produit 2814 est réellement 28140, qui est retranché de 32030: il réste 389, qui est réellement 3890; & le 5 qu'on avoit mis à part, y étant ajoûté, il reste en tout 3895, qu'il faut actuellement diviser par 469: on suivra pour cela les mêmes principes que ci - dessus, & on trouvera 8, qui font huit unités. Ainsi on voit que toutes les opérations qu'on fait dans la division, ne sont autre chose que les opérations qu'on vient d'expliquer, & qui y sont faites d'une maniere abregée; car la division faite tout au long & avec tout le développement nécessaire, seroit [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Dans la division on fait implicitement toutes ces opérations, en écrivant moins de chiffres.

Quand on a pris dans le dividende autant de chifsres de gauche à droite qu'il y en a dans le diviseur, ou an chiffre de plus, si cela est nécessaire, on voitque le quotient doit contenir autant de chiffres, plus un, qu'il en reste dans le dividende. Cela est aisé à prouver; car soit, par exemple 523032 à diviser par 469: après avoir pris 523, qui a autant de chiffres que 469, il reste trois chiffres, 032: or je dis que le quotient doit avoir trois chiffres plus un, ou quatre; car il est clair que 523000 est plus de mille fois plus grand que 469, & moins de dix mille feis. En effet, 523000 est mille fois plus grand que 523, qui est plus grand que 469; & 523032 est plus petit que 469 pris dix mille fois, parce que 4690000 a un chiffre de plus. Donc le quotient doit contenir des mille, & point de dixaines de mille: done il doit avoir quatre chiffres, ni plus ni moins. Si le dividende étoit 1523032, alors prenant 1523, qui a un chiffre de plus que 469, on trouveroit de même que le quotient avoit quatre chiffres, ni plus ni moins.

C'est pour cette raison que l'on met quelquefois au quotient, o. Par exemple, je suppose que l'on ait à diviser 416 par 2; je vois que le quotient peut contenir des centaines, des dixaines, & des unités. Je divise donc d'abord 4 par 2, suivant la regle, & j'ai 2; & le produit 4 étant retranché de 2, il reste o; c'est - à - dire que j'ai divise 400 par 2, & j'ai eu 200 au produit: ce 2 marque donc des centaines. Je descends 1, ce qui est la même chose que si je prenois 10 à diviser par 2, en négligeant le 6; je vois que 10 ne peut pas contenir 2 des dixaines de fois: je mets donc o au quotient, tant pour indiquer que 2 ne se trouve aucune dixaine de fois dans 416, que pour conserver au 2, premier chiffre du quotient, la valeur de centaine. Ensuite je descends 6 & je l'ajoûte à 1, ce qui est la même chose que si je divisois 16 par 2; j'ai pour quotient 8, & le quotient total est 208. On doit, par cet exemple, voir en général pourquoi on met o au quotient, quelquefois même plusieurs fois de suite, comme il arriveroit si on divisoit 40016 par 2; le quotient seroit 20008.

Enfin il nous reste à expliquer pourquoi on ne met jamais au quotient plus de 9. Pour cela il suffit de faire voir que jamais le diviseur n'est égal à dix fois la partie du dividende qu'on a prise; ce qui est aisé à prouver. Car le diviseur pris dix fois, augmente d'un chiffre: or la partie du dividende qu'on a prise, est ou égale en nombre de chiffres au diviseur, ou d'un chiffre de plus. Dans le premier cas, il est visible qu'elle est plus petite que le diviseur pris dix fois, puisqu'elle a un chiffre de moins. Dans le second, le dividende diminué d'un chiffre vers la droite, est plus petit que le diviseur: donc le dividende avec ce chiffre rétabli, est plus petit que le diviseur pris dix fois.

En voilà ce me semble suffisamment pour faire entendre d'une maniere sensible les regles de la division, dont la plûpart des arithméticiens paroissent avoir négligé les démonstrations.

A l'égard des différentes manieres de faire la division, nous n'entrerons point ici dans ce détail, parce qu'à proprement parler elles reviennent toutes au même; elles ne different qu'en ce que dans l'une le quotient, le diviseur & les produits sont placés d'une façon, & dans une autre d'une façon différente: on se dispense aussi quelquefois d'écrire les produits, & on fait la soustraction en formant le produit de mémoire. Ainsi dans l'exemple ci - dessus on peut n'écrire point les produits 2184 & 3752, & on fera sans cela la soustraction, qui donnera les nombres 389 & 143: voici comme on s'y prend. On dit: 6 fois 9 font 54; qui de 13 ôte 4, reste 9 & retiens 5: 6 fois 6 font 36, & 5 font 41; qui de 9 ôte 1, reste 8 & retiens 4: 6 fois 4 font 24, & 4 font 28; qui de 31 ôte 28, reste 3: & ainsi des autres. Cette maniere de faire la division sans écrire les produits, & en arrangeant les chiffres comme ci - dessus, s'appelle l'ilalienne abregée. Peu importe le nom qu'on lui donnera; mais il est bon que les commençans, & ceux qui n'ont pas un usage très - familier du calcul, écrivent les produits, afin de ne se pas tromper.

Lorsque le dividende & le diviseur sont l'un & l'autre des nombres concrers, il faut distinguer si ce sont des nombres concrers de la même espece, ou de differentes especes.

Premier cas. Si on a, par exemple, des livres, des sous & des deniers à diviser par des livres, des sous & des deniers, il faut réduire le dividende & le diviseur en deniers, c'est - à - dire dans la plus petite monnoie: si le diviseur ne contenoit pas de deniers, & que le dividende en contint, il faudroit toûjours réduire l'un & l'autre en deniers; le quotient indiqueroit combien le diviseur est contenu dans le dividende. En effet, si on avoit, par exemple, 1 livre à diviser par 12 deniers, c'est - à - dire si on vouloit savoir combien de fois 12 deniers sont dans 1 livre, il faudroit réduire 1 livre en 240 deniers pour avoir le quotient 20, & ainsi du reste.

Second cas. Soit proposé de diviser, par exemple, 7 toises 2 piés par 1 livre 2 sous. Voilà un dividende & un diviseur qui sont des nombres concrets de différentes especes. Voyons d'abord ce que signifie cette question. Si j'avois 60 toises à diviser par 10 sous, le quotient de 60 divisé par 10, c'est à - dire 6, m'indiqueroit que 6 toises valent 1 sou, c'est - à - dire que 6 toises d'ouvrage ou de marchandise valent 1 sou; or 7 toises 2 piés sont 44 piés, & 1 livre 2 sous font 22 sous: donc divisant 44 par 22, je vois que 2 piés d'ouvrage valent 1 sou: & ainsi du reste.

A l'égard de la division algébrique, elle n'a aucune difficulté, elle porte avec elle sa démonstration; il y en a des exemples plus compliqués, qu'on peut voir dans les auteurs d'Algebre ordinaire. Il faut avoir soin de bien arranger les termes du dividende & du diviseur suivant les dimensions d'une même lettre; car c'est de - là que dépend la facilité & même la possibilité de l'opération: car si on écri<pb-> [p. 1082] voit, par exemple, dans la seconde des deux opérations précedentes, - 5 b d + 4 c x au diviseur, au lieu de 4 c x - 5 b d, on ne pourroit faire la division de ce premier terme.

Enfin dans la division géométrique, lorsqu'on trouve une ligne pour quotient, cela signifie ou que le dividende étoit un produit de deux lignes, dont l'une a pu être regardée comme l'unité, & par conséquent peut quelquefois ne point paroître dans le dividende; ou que la ligne qu'on trouve pour quotient, est à une ligne qu'on prend pour l'unité, comme la ligne qui étoit le dividende est à la ligne qui étoit le diviseur. Voyez Mesure, Multiplication, Surface , &c. (O)

Division (Page 4:1082)

Division, (Jurispr.) signifie en général le partage d'une chose commune entre plusieurs personnes.

Bénéfice de division, est une exception par laquelle celui de plusieurs fidéjusseurs ou cautions qui est poursuivi pour toute la dette, oppose qu'il n'en est tenu que pour sa part & portion.

Ce bénéfice fut introduit par l'empereur Adrien, en faveur des fidéjusseurs ou cautions seulement. Justinien, par sa novelle 99. l'étendit à tous coobligés solidairement: mais en France il n'apoint lieu dès que les cofidéjusseurs ou autres coobligés sont solidaires.

Il n'a lieu non plus au profit des cautions, que quand tous sont solvables pour leur part & portion au tems de la contestation en cause.

Ce bénéfice est même devenu presqu'inutile, attendu que les créanciers ne manquent guere de faire renoncer ces coobligés & cautions au bénéfice de division. Ces renonciations sont aujourd'hui presque de style: cependant elles ne se suppléent point, & ne sont point comprises dans la clause des notaires, renonçant, &c. Voyez au code, liv. VIII. tit. xxxij. & au mot Bénéfice de division. (A)

Division de dettes actives et passives (Page 4:1082)

Division de dettes actives et passives, se fait de plein droit entre les créanciers & débiteurs, suivant la maxime nomina & actiones ipso jure dividuntur. Voyez Créancier, Contribution, Dette, Débiteur . (A)

Division (Page 4:1082)

Division ou Partage d'héritages, voyez Partage. (A)

Divisions (Page 4:1082)

Divisions; ce sont, dans l'Art militaire, les différentes parties dans lesquelles une armée ou un corps de troupes est partagé.

Les divisions sont nécessaires dans une armée pour la mettre en ordre de bataille, la faire camper & marcher. Les divisions ordinaires de l'armée sont les bataillons & les escadrons. Voyez Bataillon & Escadron. On la divise aussi en brigades de cavalerie & d'infanterie. Voyez Brigade.

Les divisions ordinaires des bataillons s'expriment par manches, demi - manches, &c.

Pour faire concevoir cette espece de division, il faut rendre compte de plusieurs anciens usages des troupes de France.

Jusque dans la derniere guerre du regne de Louis XIV. l'infanterie étoit armée partie de piques, & partie de mousquets ou fusils. Les piques avoient été reprises en Europe environ deuxsiecles auparavant, à l'imitation des anciens Grecs & Macédoniens, & l'on faisoit consister dans cette arme la plus grande force de l'infanterie. Voyez Pique. Lorsqu'on formoit un bataillon, on mettoit toutes les piques au centre, & on les regardoit comme le corps du bataillon: on mettoit les mousquetaires, c'est - à - dire ceux qui étoient armés de mousquets ou de fusils, aux deux flancs des piquiers, & on s'avisa de les appeller les manches du bataillon.

Dans bien des occasions les manches étoient séparées du corps du bataillon. Dans les marches il étoit naturel que le bataillon, qui étoit alors fort nombreux, se séparât suivant la diversité de ses ar<cb-> mes. Les piquiers firent pendant long - tems le tiers du bataillon, qui se trouvoit ainsi partagé en trois parties égales.

On avoit coûtume de faire marcher d'abord une manche de mousquetaires, puis le corps des piquiers, puis l'autre manche. Cette maniere de marcher qui étoit la plus usitée, s'appelloit marcher par manches.

Dans la suite les piquiers ayant été réduits à la cinquieme partie du bataillon, & la coûtume subsistant toûjours de faire marcher les piquiers ensemble, sans les confondre ou mêler avec les mousquetaires, on partageoit en deux parties égales chaque manche de mousquetaires, & l'on appelloit cette maniere de marcher, marcher par demi - manches, ou demi - rangs de manches; le bataillon se trouvoit alors partagé en cinq parties égales.

Dans les occasions où il falloit séparer le bataillon en plus de parties, & donner moins de front aux divisions, on partageoit chacune des divisions précédentes en deux parties égales, & le bataillon se trouvoit avoir dix divisions. Lorsqu'il marchoit de cette maniere, on disoit qu'il marchoit par quart de manches, ou par quart de rangs de manches.

Quoique la diversité des armes dans l'infanterie ait cessé dès l'année 1704, dans laquelle les piques furent entierement supprimées, ces mêmes expressions ont continué d'être en usage, & les ordonnances ne font pas mention d'autre maniere de marcher ou de défiler: cependant comme elles ne sont plus naturelles, il seroit à - propos de leur en substituer de plus propres. C'est ce que plusieurs majors ont fait depuis la guerre de 1733: ils divisent les bataillons en deux, quatre, & huit divisions égales, sans se servir du terme de manches. Mais tant qu'il sera d'usage, il faut se ressouvenir,

1°. Que marcher par manches, c'est marcher lorsque le bataillon est sur trois divisions égales.

2°. Que marcher par demi - manches, c'est marcher lorsque le bataillon est sur cinq divisions.

Et enfin 3°. que marcher par quart de manches ou quart de rangs de manches, c'est marcher lorsque le bataillon est partagé en dix parties égales.

Ces divisions sont indépendantes de la compagnie des grenadiers, qui suivant les ordonnances doit faire une division à part, laquelle marche toûjours la premiere.

A l'égard des officiers, ceux des grenadiers, suivant les mêmes ordonnances, doivent marcher seuls avec leurs grenadiers. Le colonel & le lieutenant - colonel doivent marcher à la tête de la premiere division; & les capitaines, par une regle assez bisarre, doivent marcher la moitié à la tête de la premiere division, & la moitié à la queue de la derniere; ensorte que le bataillon en sortant d'un désilé, est formé avant que la moitié des capitaines soit arrivée à la tête.

Les - officiers subalternes sont partagés également pour marcher à la tête de toutes les divisions: ainsi le bataillon marchant par manches, le tiers des subalternes est à la tête de la premiere division, l'autre à la seconde, &c. Si le bataillon marche par demi-manches, la cinquieme partie des subalternes est à la tête de la premiere division; à la tête de la seconde est un autre cinquieme, &c.

Les divisions naturelles de l'escadron sont celles des quatre compagnies dont il est composé. Lorsqu'il ne marche pas de front, on peut le partager en deux divisions de deux compagnies chacune, d'une compagnie, &c. suivant le terrein par où l'escadron doit passer. (Q)

Division (Page 4:1082)

Division, (Marine.) voyez Escadre.

Division d'une armée navale; c'est une certaine quantité de vaisseaux faisant partie d'une armée navale, lesquels sont sous le commandement d'un offi<pb->

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