"1079"> On dira - divisé par - = +, ensuite 24 divisé par 8 = 3; enfin c3 d4 t divisé par c2 d3 t = c d: ensorte que le quotient de cette division est + 3 c d; car le diviseur - 8 c2 d3 t multiplié par le quotient + 3 c d, redonne le dividende - 24 c3 d4 t.

On exprime aussi quelquefois une division algébrique en forme de fraction; ainsi a b c divisé par a c s'écrit [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en ôtant ce qui se détruit, c'est - à - dire en supprimant les lettres communes au numérateur & au dénominateur.

Quoiqu'il soit vrai en général que l'on doive supprimer les lettres communes au dividende & au diviseur, il ne faut pourtant pas se persuader que [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; car le quotient de cette division = 1. Toutes les lettres disparoissent véritablement, ainsi que le prescrit la regle; mais il faut toûjours supposer qu'une grandeur algébrique est précédée du coefficient 1; ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

En effet diviser a b c par a b c, c'est déterminer combien de fois a b c est contenu dans a b c. Or toute grandeur est contenue une fois dans elle - même; ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc en général une quantité quelconque divisée par elle - même donne toûjours 1 au quotient.

On indique encore plus volontiers la division algébrique sous la forme d'une fraction, quand le dividende & le diviseur n'ont rien de commun, ou qu'ils ont seulement quelques quantités communes. Ainsi 3 a c divisé par [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; de même 6 d t à diviser par [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en chassant la quantité 2 d, qui est un produisant ou un commun facteur au dividende & au diviseur.

Pour diviser le polynome 9 a b2 - 15 a2 b + 6 a3 par - 3 a b + 2 a2, on arrangera les termes, comme on le voit dans l'opération, selon les degrés de la lettre a qui paroît dominer.

S'il s'agit de diviser 8 c x2 + 15 b d s - 10 b d x <-> 12 c s x - 3 t g par 4 c x - b d; on ordonnera les termes du dividende & du diviseur, suivant les degrés de la lettre x. Comme il y a deux termés au dividende où cette lettre est élevée au même degré, on pourra écrire ces deux termes l'un sous l'autre, de même que les deux termes où la lettre d'origine ne se trouve pas.

En divisant done le premier terme 8 c x2 du dividende par le premier terme 4 c x du diviseur, le quotient est 2 x par lequel on multiplie tout le diviseur, ce qui donne 8 c x2 - 10 b d x, que l'on écrit sous le dividende, en changeant les signes de ce produit pour en faire la soustraction ou la réduction, comme on le voit exécuté dans l'opération: cette réduction étant faite, on opere sur le reste - 12 c s x + 15 b d s - 3 t g, en divisant toûjours le premier terme - 12 c s x de ce reste par le premier terme 4 c x du diviseur, dont le quotient est - 3 s, par lequel on multiplie tout le diviseur pour en retrancher le produit de ce qui est resté après la premiere division, & l'on a un second reste - 3 t g, lequel n'ayant point de facteurs communs avec le diviseur, fait voir que la division ne sauroit se faire exactement: ainsi on le disposera à la suite du quotient, au - dessus d'une petite ligne, sous laquelle on écrira le diviseur.

Pour la division par les logarithmes, voyez Logarithme.

La diviston géométrique regarde les lignes droites, & est utile dans la construction des problèmes plans; par exemple, un rectangle étant donné, ainsi qu'une ligne droite, trouver une autre ligne droite telle que le rectangle formé par cette ligne & la droite donnée, soit égal au rectangle donné.

On résoud ces sortes de problèmes par la regle de trois, en disant: la ligne donnée est à un côté du rectangle donné, comme l'autre côté de ce rectangle est à la ligne cherchée.

C'est ainsi que M. Descartes explique le moyen de faire une division géométrique avec la regle & le compas.

Supposons que la ligne a c = 6 (Pl. de Géomét. figure 27.) soit à diviser par la ligne a d = 3. Prenez un angle à volonté: portez ensuite le diviseur a d = 3 sur l'un des còtés de cet angle, en partant du sommet, & prenez tout de suite sur le même côté a u = 1; après cela portez sur l'autre côté de l'angle, en partant toûjours du sommet, le dividende a c = 6, & joignez les points d, c par la ligne d c; après quoi par le point u vous tirerez la ligne u b parallelement à d c, laquelle déterminera la ligne a b, qui sera le quotient cherché; car à cause des triangles semblables a d c, a u b, vous aurez a d: a c :: a u: a b ou a c. a d:: a b. a u. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc la ligne a b exprime la division de a c par a d; puisque le dividende a c est au diviseur a d, comme le quotient a b est à l'unité. (E)

Dans la division, le dividende est au diviseur comme le quotient est à l'unité; ou le dividende est au quotient, comme le diviseur est à l'unité: c'est - là la vraie notion de la division, & la plus générale qu'on puisse en donner, comme on s'en convaincra par ce que nous allons dire. Remarquons d'abord que ces deux proportions qui paroissent les mêmes, ne le sont cependant pas, absolument parlant; car le dividende est toûjours censé un nombre concret (voy. Concret); & le diviseur peut être ou un nombre concret ou un nombre abstrait. Dans le premier cas, le quotient sera un nombre abstrait, & c'est la premiere proportion qui a lieu. Par exemple, si je divise 6 sous (nombre concret) par 2 sous (nombre concret), le quotient est un nombre abstrait 3, c'est - à - dire qui indique, non un nombre de sous, mais le nombre de fois que le dividende contient le diviseur, & on a cette proportion; 6 sous est à 2 sous, comme le nombre abstrait 3 est à l'unité abstraite 1: on ne pourroit pas dire 6 sous (dividende & nombre concret) est au quotient 3 (nombre abstrait), comme 2 sous (diviseur & nombre concret) est à 1 (nombre abstrait); du moins cette proportion ne porteroit aucune idée nette dans l'esprit, parce qu'un nombre concret & un nombre abstrait étant de différens [p. 1080] genres, ne peuvent être comparés, & qu'ainsi il ne peut y avoir entr'eux de rapport, du moins que très - improprement.

Dans le second cas, c'est - à - dire lorsque le diviseur est un nombre abstrait, le quotient est un nombre concret; & c'est la seconde proportion qui a lieu: ainsi divisant 6 sous par 3 (nombre abstrait), le quotient est 2 sous (nombre concret), & l'on dit: 6 sous est à 2 sous (quotient), comme 3 (diviseur) est à l'unité. Remarquez que dans les deux proportions l'unité est toûjours un nombre abstrait; ainsi on peut présenter la division sous deux points de vûe différens: c'est chercher combien de fois une quantité est contenue dans une autre de même genre, comme dans le premier cas; ou bien c'est chercher une quantité qui soit contenue un nombre de fois donné, dans une quantité donnée du même genre.

Nous nous servons ici du mot être contenu, parce que nous supposons jusqu'à présent que le diviseur soit plus petit que le dividende, & même que la division se fasse exactement & sans reste. Mais, 1° si le diviseur est plus petit, & que la division ne se fasse pas sans reste, la proportion entre le dividende, le diviseur, le quotient & l'unité, proportion qui constitue la division, n'en a pas moins lieu; ainsi dans l'exemple ci - dessus, supposons qu'on divise 32035 par 469 toises, le quotient [omission: formula; to see, consult fac-similé version], indique que 469 toises sont contenues dans 32035, comme l'unité est contenue dans le nombre mixte 68 [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; c'est - à - dire que 409 toises sont contenues dans 32035 toises, d'abord 68 fois entierement, & qu'ensuite il y a un reste de toises, qui est au diviseur 469 toises, comme le nombre abstrait 143, est au nombre abstrait 469. Supposons à - présent qu'on divise 32035 toises, non par 469 toises, mais par le nombre abstrait 469; c'est - à - dire qu'on cherche la 469e partie de 32035, le quotient [omission: formula; to see, consult fac-similé version] indique d'abord 68 toises; & que de plus si on divise une toise en 469 parties égales, & qu'on en prenne 143, ces 143 parties ajoûtées aux 68 toises completes, donneront la 469e partie exacte de 32035 toises.

2°. Si le diviseur est plus petit que le dividende, alors le quotient (suivant la proportion qui constitue la division) sera plus petit que l'unité, ou qu'une fraction d'unité. Ainsi si on divise 3 toises par 12 toises, c'est chercher, non combien 3 toises contiennent, mais combien elles sont contenues dans 12 toises; & le quotient [omission: formula; to see, consult fac-similé version] marquera que 3 toises sont un quart de 12 toises. Si on divise 3 toises par 12, c'est - à - dire si on cherche la 12e partie de 3 toises, on trouvera [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à - dire 1 quart de toise; en effet, 1 quart de toise pris 12 fois, fait 3 toises.

Si le diviseur est une fraction plus petite que l'unité, le quotient sera un nombre plus grand que le dividende; car alors le dividende doit être plus petit que le quotient. Cela paroît d'abord paradoxe; mais en y réfléchissant un peu, on observera que si le quotient est plus petit que le dividende dans la plûpart des divisions ordinaires, c'est que le diviseur y est plus grand que l'unité. Rendez le diviseur égal à l'unité, le quotient sera égal au dividende; rendez - leplus petit, le quotient sera plus grand que le dividende. Ainsi, qu'est - ce que diviser 12 toises par [omission: formula; to see, consult fac-similé version]? c'est chercher un nombre de toises qui soit à 12 toises comme l'unité est à [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à - dire comme 3 est à 1: donc le quotient sera 12 toises prises trois fois, c'est - à - dire 36 toises. De même diviser 12 toises par [omission: formula; to see, consult fac-similé version] de toise, c'est chercher un nombre qui soit à l'unité comme 12 toises est à [omission: formula; to see, consult fac-similé version] de toise; or 12 toises contiennent 36 fois [omission: formula; to see, consult fac-similé version] de toise, dont le quotient est 36. C'est ainsi qu'en réduisant les opérations à des notions claires, toutes les difficultés s'évanouissent. Il ne peut y en avoir ici, dès qu'on prendra la notion générale de la division, telle que nous l'avons donnée. Mais on se trouvera embarrassé lorsqu'on se bornera à la notion imparfaite & incomplete de la division qu'on trouve dans la plûpart des arithméticiens; savoir, que la division consiste à chercher combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Nous parlerons plus au long au mot Fraction, de la division, dans le cas où le diviseur est une fraction, le dividende étant un nombre quelconque, entier ou rompu.

Bornons - nous présentement aux regles de la division ordinaire, & tâchons d'en donner en peu de mots une idée bien nette. Nous prendrons pour exemple celui même qui a été donné ci - dessus; & les raisonnemens que nous ferons sur celui - là, pourront sans aucune peine s'appliquer à d'autres.

On propose de diviser 32035 par 469, c'est - à - dire de savoir combien de fois 469 est contenu dans 32035. Je vois d'abord que le dividende contient jusqu'à des dixaines de mille, & le diviseur des centaines; ainsi, comme dix mille contient cent fois cent, il peut se faire que le diviseur renferme des centaines, mais il ne peut pas aller plus haut. Il faut donc savoir combien de centaines de fois, de dixaines de fois, & d'unités de fois il est contenu. Pour savoir combien de centaines de fois le dividende contient le diviseur, je prends d'abord de la gauche vers la droite autant de chiffres dans le dividende que dans le diviseur, c'est - à - dire que je prends la partie du dividende 320, qui représente réellement 32000, en négligeant pour un moment les deux derniers chiffres 35. Je divise 32000 par 469, pour voir combien 469 est contenu de centaines de fois dans 32000: pour cela il suffit de diviser 320 par 469, & de remarquer que le chiffre qui viendra exprimera, non des unités simples, mais des centaines d'unités. Mais je vois que 320 ne peut se diviser par 469, ainsi le quotient ne doit point renfermer de centaines. Il en auroit renfermé, si au lieu de 320 j'avois eu, par exemple, 520, ou en géneral un nombre égal ou plus grand que 469; car alors on auroit eu au quotient au moins l'unité qui auroit marqué une centaine d'unités. Je vois donc que le quotient ne peut contenir que des dixaines d'unités; mais il est évident qu'il en contiendra nécessairement, car dès que le dividende a deux chiffres de plus que le diviseur, il est nécessairement plus de dix fois plus grand: en effet, 469 pris dix fois, donne 4690 qui n'a que quatre chiffres, au lieu que 32035 en a cinq. Je cherche donc combien de dixaines de fois 32035 contient 469; ou, ce qui est la même chose, je cherche combien de fois 32030 contient 469, en négligeant le nombre 5 pour un moment; ou, ce qui revient encore au même, je cherche combien de fois 3203 contient 469, en me souvenant que le nombre que je trouverai au quotient, donnera des dixaines d'unités: Or je remarque d'abord que jamais 3203 ne peut contenir 469 plus de fois, que le nombre 32 (qui est formé des deux premiers chiffres du dividende) ne contient le premier chiffre 4 du diviseur: car 32 contient 4 huit fois; & si je mettois 9, par exemple, au lieu de 8, je trouverois en multipliant 9 par 469, un nombre plus grand que 3203; ce qui est évident, puisque 4 fois 9 étant 36, les deux premiers chiffres du nombre égal à 9 fois 469, seroient plus grands que les deux premiers chiffres 32 du nombre 3203: ainsi il suffit (& cette remarque est évidemment applicable à tous les cas) de diviser par le premier chiffre du diviseur le premier chiffre du dividende, lorsque le dividende a autant de chiffres que le diviseur; ou les deux premiers chiffres, lorsque le dividende a un chiffre de plus.

Ce n'est pas à dire pour cela que cette opération ne donne jamais trop, on va voir le contraire; mais

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