Différence (Page 4:985)

Différence, (Medecine.) DIAFORA\; ce terme est employé dans la théorie de la Medecine, pour exprimer la connoissance par laquelle on distingue une maniere d'être en santé d'une autre, une maniere d'être malade d'une autre.

Les actions dans lesquelles consiste l'exercice des fonctions de l'homme sain, sont différentes entr'elles; par conséquent il y a aussi de la différence entre les lesions de ces fonctions.

On ne doit pas rechercher ces distinctions jusqu'à la subtilité; mais il est utile de faire autant de classes de maladies, & de méthodes de les traiter, qu'il y a de classes de fonctions dans les différentes parties du corps humain considéré dans l'état naturel; qu'il y a de différences dans cet état naturel, respectivement à l'âge, au sexe, au tempérament, à la saison, au climat.

Ces différences, soit dans la santé soit dans la maladie, sont ou essentielles ou accidentelles à l'individu dans lequel on l'observe. Voyez Santé, Maladie, Physiologie, Pathologie . (d)

DIFFÉRENTIEL (Page 4:985)

DIFFÉRENTIEL, adj. On appelle dans la haute Géométrie, quantité différentielle ou simplement différentielle, une quantité infiniment petite, ou moindre que toute grandeur assignable. Voyez Quantité & Infini.

On l'appelle différentielle ou quantité différentielle, parce qu'on la considere ordinairement comme la différence infiniment petite de deux quantités finies, dont l'une surpasse l'autre infiniment peu. Newton & les Anglois l'appellent fluxion, à cause qu'ils la considerent comme l'accroissement momentané d'une quantité. Voyez Fluxion, &c. Leibnitz & d'autres l'appellent aussi une quantité infiniment petite.

Calcul différentiel (Page 4:985)

Calcul différentiel; c'est la maniere de différentier les quantités, c'est - à - dire de trouver la différence infiniment petite d'une quantité finie variable.

Cette méthode est une des plus belles & des plus fécondes de toutes les Mathématiques; M. Leibnitz qui l'a publiée le premier, l'appelle calcul différentiel, en considérant les grandeurs infiniment petites comme les différences des quantités finies: c'est pour quoi il les exprime par la lettre d qu'il met au - devant de la quantité différentiée; ainsi la différentielle de x est exprimée par d x, celle de y par d y, &c.

M. Newton appelle le calcul différentiel, méthode des fluxions, parce qu'il prend, comme on l'a dit, les quantités infiniment petites pour des fluxions ou des accroissemens momentanés. Il considere, par exemple, une ligne comme engendrée par la fluxion d'un point, une surface par la fluxion d'une ligne, un solide par la fluxion d'une surface; & au lieu de la lettre d, il marque les fluxions par un point mis au - dessus de la grandeur différentiée. Par exemple, pour la fluxion de x, il écrit x; pour celle de y, y, &c. c'est ce qui fait la seule différence entre le calcul différentiel & la méthode des fluxions. V. Fluxion.

On peut réduire toutes les regles du calcul différentiel à celles - ci.

1°. La différence de la somme de plusieurs quantités est égale à la somme de leurs différences. Ainsi d (x + y + z) = d x + d y + d z.

2°. La différence de x y est y d x + x d y.

3°. La différence de xm, m étant un nombre positif & entier, est m xm - 1 d x.

Par ces trois regles, il n'y a point de quantité qu'on ne puisse différentier. On fera, par exemple, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Voyez Exposant. Donc la différence (regle 2) est y - 1 X d x + x X d (y - 1) = (regle 3.) [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. La différentielle de [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version] d z. Car soit [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on a z = xq & d z = q xq - 1 d x & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. De même [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc la différence est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & ainsi des autres.

Les trois regles ci - dessus sont démontrées d'une maniere fort simple dans une infinité d'ouvrages, & sur - tout dans la premiere section de l'analy se des Infiniment petits de M. de l'Hopital, à laquelle nous renvoyons. Il manque à cette section le calcul différentiel des quantités logarithmiques & exponentielles, qu'on peut voir dans le I. volume des oeuvres de Jean Bernoulli, & dans la I. partie du traité du calcul intégral de M. de Bougainville le jeune. On peut consulter ces ouvrages qui sont entre les mains de tout le monde. Voyez Exponentiel. Ce qu'il nous importe le plus de traiter ici, c'est la métaphysique du calcul différentiel.

Cette métaphysique dont on a tant écrit, est encore plus importante, & peut - être plus difficile à développer que les regles mêmes de ce calcul: plusieurs géometres, entr'autres M. Rolle, ne pouvant admettre la supposition que l'on y fait de grandeurs infiniment petites, l'ont rejettée entierement, & ont prétendu que le principe étoit fautif & capable d'induire en erreur. Mais quand on fait attention que toutes les vérités que l'on découvre par le secours de la Géométrie ordinaire, se découvrent de même & avec beaucoup plus de facilité par le secours du calcul différentiel, on ne peut s'empêcher de conclure que ce calcul fournissant des méthodes sûres, simples & exactes, les principes dont il dépend doivent aussi être simples & certains.

M. Leibnitz, embarrassé des objections qu'il sentoit qu'on pouvoit faire sur les quantités infiniment petites, telles que les considere le calcul différentiel, a mieux aimé réduire ses infiniment petits à 'être que des incomparables, ce qui ruineroit l'exactitude géométrique des calculs; & de quel poids, dit M. de Fontenelle, ne doit pas être contre l'invention l'autorité de l'inventeur? D'autres, comme M. Nieuwentit, admettoient seulement les différentielles du premier ordre, & rejettoient toutes celles des ordres plus élevés: ce qui n'a aucun fondement: car imaginant dans un cercle une corde infiniment petite du premier ordre, l'abscisse ou sinus verse correspondant est infiniment petit du second; & si la corde est infiniment petite du second, l'abscisse est infiniment petite du quatrieme, &c. Cela se démontre aisément par la Géométrie élémentaire, puisque le diametre d'un cercle qui est fini, est toûjours à la corde, comme la corde est à l'abscisse correspondante. D'où l'on voit que les infiniment petits du premier ordre étant une fois admis, tous les autres en dérivent nécessairement. Ce que nous disons ici n'est que pour faire voir, qu'en admetrant les infiniment petits du premier ordre, on doit admettre ceux de tous les autres à l'infini; car on peut du reste se passer très - aisément de toute cette métaphysique de l'infini dans le calcul différentiel, comme on le verra plus bas.

M. Newton est parti d'un autre principe; & l'on peut dire que la métaphysique de ce grand géometre sur le calcul des fluxions est très - exacte & très lumineuse, quoiqu'il se soit contenté de la faire entre - voir.

Il n'a jamais regardé le calcul différentiel comme le calcul des quantités infiniment petites, mais comme la méthode des premieres & dernieres raisons, c'est - à - dire la méthode de trouver les limites des rap<pb-> [p. 986] ports. Aussi cet illustre auteur n'a - t - il jamais différentié des quantités, mais seulement des équations; parce que toute équation renferme un rapport entre deux variables, & que la différentiation des équations ne consiste qu'à trouver les limites du rapport entre les différences finies des deux variables que l'équation renferme. C'est ce qu'il faut éclaircir par un exemple qui nous donnera tout à la fois l'idée la plus nette & la démonstration la plus exacte de la méthode du calcul différentiel.

Soit A M (fig. 3. analys.) une parabole ordinaire, dont l'équation, en nommant A P, x, P M, y, & a le parametre, est y y = a x. On propose de tirer la tangente M Q de cette parabole au point M. Supposons que le problème soit résolu, & imaginons une ordonnée p m à une distance quelconquè finie de P M; & par les points M, m, tirons la ligne m M R. Il est évident, 1°. que le rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version] de l'ordonnée à la soûtangente, est plus grand que le rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], qui lui est égal à cause des triangles semblables M O m, M P R: 2°. que plus le point m sera proche du point M, plus le point R sera près du point Q, plus par conséquent le rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version] approchera du rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & que le premier de ces rapports pourra approcher du second aussi près qu'on voudra, puisque P R peut différer aussi peu qu'on voudra de P Q. Donc le rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est la limite du rapport de m O à O M. Donc si on peut trouver la limite du rapport de m O à O M, exprimée algébriquement, on aura l'expression algébrique du rapport de M P à P Q; & par conséquent l'expression algébrique du rapport de l'ordonnée à la soûtangente, ce qui fera trouver cette soûtangente. Soit donc M O = u, O m = z, on aura a x = y y, & a x + a u = y y + 2 y z + z z. Donc à cause de a x = y y, il vient au = 2 y z + z z & [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est en général le rapport de m O à O M, quelque part que l'on prenne le point m. Ce rapport est toûjours plus petit que [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; mais plus z sera petit, plus ce rapport augmentera; & comme on peut prendre z si petit qu'on voudra, on pourra approcher le rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version] aussi près qu'on voudra du rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est la limite du rapport de [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à - dire du rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est égal à [omission: formula; to see, consult fac-similé version] que nous avons trouvé être aussi la limite du rapport de m O à O M; car deux grandeurs qui sont la limite d'une même grandeur, sont nécessairement égales entr'elles. Pour le prouver, soient Z & X les limites d'une même quantité Y, je dis que X = Z; car s'il y avoit entr'elles quelque différence V, soit [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: par l'hypothèse la quantité Y peut approcher de X aussi près qu'on voudra; c'est - à - dire que la différence de Y & de X peut être aussi petite qu'on voudra. Donc, puisque Z differe de X de la quantité V, il s'ensuit que Y ne peut approcher de Z de plus près que de la quantité V, & par conséquent que Z n'est pas la limite de Y, ce qui est contre l'hypothèse. Voy. Limite, Exhaustion.

De - là il résulte que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est égal à [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Or, suivant la méthode du calcul différentiel, le rapport de M P à P Q est égal à celui de d y à d x; & l'équation a x = y y donne a d x = 2 y d y & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est la limite du rapport de z à u; & oette limite se trouve en faisant z = o dans la fraction [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Mais, dira - t - on, ne faut - il pas faire aussi z = o & u = o, dans la fraction [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & alors on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]? Qu'est - ce que cela signifie? Je réponds, 1°. qu'il n'y a en cela aucune absurdité; car [omission: formula; to see, consult fac-similé version] peut être égal à tout ce qu'on veut: ainsi il peut être [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Je réponds, 2°. que quoique la limite du rapport de z à u se trouve quand z = o & u = o, cette limite n'est pas proprement le rapport de z = o à u = o, car cela ne présente point d'idée nette; on ne sait plus ce que c'est qu'un rapport dont les deux termes sont nuls l'un & l'autre. Cette limite est la quantité dont le rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version] approche de plus en plus en supposant z & u tous deux réels & décroissans, & dont ce rapport approche d'aussi près qu'on voudra. Rien n'est plus clair que cette idée; on peut l'appliquer à une infinité d'autres cas. Voyez Limite, Série, Progression , &c.

Suivant la méthode de différentier, qui est à la tête du traité de la quadrature des courbes de M. Newton, ce grand géometre, au lieu de l'équation a x + a u = y y + 2 y z + z z, auroit écrit a x + a o1 = y y + 2 y o + o o, regardant ainsi en quelque maniere z & u comme des zéros; ce qui lui auroit donné [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. On doit sentir par tout ce que nous avons dit plus haut l'avantage & les inconvéniens de cette dénomination: l'avantage, en ce que z étant = o disparoît sans aucune autre supposition du rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; l'inconvénient, en ce que les deux termes du rapport sont censés zéros: ce qui au premier coupd'oeil ne présente pas une idée bien nette.

On voit donc par tout ce que nous venons de dire que la méthode du calcul différentiel nous donne exactement le même rapport que vient de nous donner le calcul précédent. Il en sera de même des autres exemples plus compliqués. Celui - ci nous paroît suffire pour faire entendre aux commencans la vraie métaphysique du calcul différentiel. Quand une sois on l'aura bien comprise, on sentira que la supposition que l'on y fait de quantités infiniment petites, n'est que pour abréger & simplifier les raisonnemens; mais que dans le fond le calcul différentiel ne suppose point nécessairement l'existence de ces quantités; que ce calcul ne consiste qu'à déterminer algébriqluement la limite d'un rapport de laquelle on a déj à l'expression en lignes, & à égaler ces deux limites, ce qui fait trouver une des lignes que l'on cherche. Cette définition est peut - être la plus précise & la plus nette qu'on puisse donner du calcul différentiel; mais elle ne peut être bien entendue que quand on se sera rendu ce calcul familier; parce que souvent la vraie définition d'une science ne peut être bien sensible qu'à ceux qui ont étudié la science. Voyez le Dise, prélimin. page xxxvij.

Dans l'exemple précédent, la limite géométrique & connue du rapport de z à u est le rapport de l'ordonnée à la soûtangente; on cherche par le calcul différentiel la limite algébrique du rapport de z à u, & on trouve [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc nommant s la soûtangente, on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Cet exemple suffit pour entendre les autres. Il suffira donc de se rendre bien familier dans l'exemple ci - dessus des tangentes de la parabole; & comme tout le calcul différentiel peut se réduire au problème des tangentes, il s'ensuit que l'on pourra toûjours appliquer les principes précédens aux différens problèmes que l'on

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